第25章 一元二次方程专题练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心考点，从根的性质到实际应用，构建“概念-计算-应用”递进逻辑，覆盖中考高频题型 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程的解|4题|已知系数关系求必有根|方程根的定义应用| |整体换元法|3题|代数式整体代换求根|换元思想转化方程| |整体降次求值|7题|用方程根降次求代数式值|根的性质简化高次运算| |根的判别式|3题|判断根的情况及几何应用|判别式与根的关系| |参数求解|2题|据根的个数求参数范围|判别式与二次项系数综合| |韦达定理求值|5题|利用根与系数关系求代数式值|韦达定理直接及变形应用| |韦达定理求参数|4题|据根关系等式求参数|韦达定理与方程根的综合| |根的分布|1题|两根正负性求参数|判别式与韦达定理结合| |动点问题|1题|矩形动点几何存在性|几何量用t表示列方程| |利润问题|1题|增长率及销售利润|实际问题转化为方程|

一、一元二次方程的解 1 ．关于x 的一元二次方程 ax2 -bx - 2025 = 0满足 a + b = 2025 ，则方程必有一根为 ． 2 ．若方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 中，a ，b ，c 满足a + b + c = 0 和a -b + c = 0 ，则方程的根是 ． 3 ．已知4a + c = 2b ，则一元二次方程 ax2 + bx + c = 0必有一根是 ． 4 ．已知 3b- c = 9a ，则一元二次方程ax2 + bx + c = 0必有一根是 ． 二、整体换元法求方程的根 1 ．已知方程 x2 + 2x - 3 = 0 的解是x1 = 1，x2 = -3 ，则方程(2x + 3)2 + 2(2x + 3)- 3 = 0 ，它的解是 ． 2 ．关于x 的方程ax2 + bx + c = 0两根分别为-3 ， 7 ，则方程a(x +1)2 + b(x +1) + c = 0 的两根为 ． 3 ．已知关于 x 的一元二次方程a (x - m )2 + n = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别为-2 ，3 ，则方程a (x + 1 - m )2 + n = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别为 ． 三、方程的根 —— 整体降次求值 2023 ( 2 a + 1 )1 ．已知a 是方程2x2 _ 2023x +1 = 0 的一个根，则代数式2a +1+ 2 的值为 ． ( 63 )2 ．若x = m 是一元二次方程x2 + 7x _ 9 = 0 一个解，则代数式m2 + 8m + m2 _ 9 的值是 ． 3 ．已知a 是方程x2 _ 2025x +1 = 0的一个根，则 a3 _ 2025a． 4 ．已知m 是方程x2 + x _1 = 0的一个根，则式子2m3 + 4m2 +1 的值为 ． 5．已知a 是一元二次方程x2 __ 3x _1 = 0的一个解，求值： 3a3 __ 7a2 __ 9a + 2021 = ． 6 ．已知 m 是方程式x2 + x _ 3 = 0的根，则式子 m3 + 2m2 _ 2m + 2025 的值为 ． 7 ．已知 m 为方程x2 + 3x _ 2022 = 0 的根，那么m3 + 4m2 _ 2019m _ 2023的值为 ． 四、根的判别式的应用 1 ．已知a, b, c 分别是 ABC 的边长，则一元二次方程(a +b)x2 + 2cx + a + b = 0 的根的情况是 ( ) A ．没有实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法判断 2 ．对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ，下列说法： ①若a + b + c = 0 ，则b2 _ 4ac ≥ 0 ； ②若方程ax2 + c = 0有两个不相等的实根，则方程ax2 + bx + c = 0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax2 + bx + c = 0的一个根，则一定有ac + b +1 = 0 成立； ④若x0 是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根，则b2 _ 4ac = (2ax0 + b )2 ，其中正确的有 ． 3 ．如图 1 ，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt△ABC和Rt△BED 边长，易知AE = ·2c ，这时我们把关于 x 的形如ax2 + ·2cx +b = 0 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程” ax2 + ·2cx +b = 0 必有实数根； (3)如图 1 ，若x= _ 1 是“勾系一元二次方程” ax2 + ·2cx +b = 0 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是 6 ·2 ，求△ABC 面积； 五、根据根的情况求参数 1．已知关于x 的一元二次方程(k-1)x2 + 2x - 2 = 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ． 已知关于x 的方程(k-1)x2 + 2x - 2 = 0 有两个实数根，则k 的取值范围是 ． 已知关于x 的方程(k-1)x2 + 2x - 2 = 0 有实数根，则k 的取值范围是 ． 2 ．定义新运算“ ※” ：对于实数m ，n ，p ，q ，有[m, p]※[q, n] = mn + pq ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： [2, 3] ※[4, 5] = 2 × 5 + 3× 4 = 22 ．若关于x 的方程x2 +1, x ※ [5 - 2k , k-1 ]= 0 有两个实数根，则k 的取值范围是 ． 六、韦达定理求值 1．若 m，n 是方程 x2﹣2x﹣2 ＝0 的两个根，则代数式 m2﹣m+n﹣mn 的值为 ． 2．若 m，n 是两个不相等的实数，m2﹣m ＝3，n2﹣n ＝3，则代数式 3n2+2mn+3m+2025 的值为 ． 3 ．设 x1 ， x2 是方程x2 + x _ 3 = 0的两个根，那么x1 (3) _ 4x2 (2) +15 的值为 4 ．设 “ ， β 是方程x2 _ x _ 2024 = 0的两个实数根，则 “3 _ 2026“ _ β+1的值为 ． 5 ．已知 x1 ， x2 是方程2x2 _ 5x +1 = 0 的两实数根，则 x1 _ x2 的值是 七、韦达定理求参数 1 ．若关于 x 的一元二次方程x2 - x + 2m = 0有两个实数根，且方程的两根满足(x1 -1)(x2 -1) = m2 - 8 ，则 m 的值为 2．已知关于x 的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4 ＝0 的两个实数根为x1，x2，若方程的两根满足(x1 __ 3)(x2 __ 3) = m2 __ 1 ，则 m 的值为 ． 3 ．若 x1 ，x2 是关于 x 的方程：x2+mx﹣2m ＝0 的两个根，且x1 (2) + x2 (2) = 5 则 m 的值是 ． 4 ．已知关于x 的方程x2 - (2m -1)x + m2 - 2m -1 = 0 的两个根是 x1 、 x2 ，且x1 (2) + x2 (2) - x1x2 = 7 ，则m 的值为 . ___________ 八、根的分布（两根正负性） 1. 已知二次方程 kx2 + (2k- 3)x + k-10 = 0 ，根据下列条件，分别求 k 的取值范围： ①两根皆负；②两根一正一负 九、动点问题 1．在矩形ABCD 中，AB = 12cm ，BC = 6cm ，点P 从点C 开始以1cm / s 的速度沿CB 边向点B 移动，点Q 从点D 开始以2cm / s 的速度沿DC 边向点C 移动，P，Q 分别从点C丶D 同时出发，设运动时间为t 秒(0 ≤ t ≤ 6)． (1)经过几秒， △PCQ 是等腰三角形？ (2)是否存在某个时刻，使△PCQ 的面积是矩形面积的 1 ？ 8 (3)是否存在某个时刻，使△APQ 成为直角三角形？为什么？ 十、利润问题 1 ．随着“绿色出行，低碳生活 ”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具、新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车 1 月份销售量为 7.5 万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3 月份的销售量达到 10.8 万辆车．求从 1 月份到 3 月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为 15 万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为 25 万元/辆时，平均每周售出 8 辆；售价每降低 0.5 万元，平均每周多售出 1 辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为 96 万元．为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级下册数学一元二次方程专题训练 答案与详细解析 一、一元二次方程的特殊根（系数关系定根） 核心考点：利用方程根的定义，代入特殊值等，匹配系数和差关系。 1. 答案： 解析：将代入方程， 左边。 由条件，得左边，因此是方程的一个固定根。 2. 答案： 解析： · 当时，，故是方程的根； · 当时，，故是方程的根。 3. 答案： 解析：由变形得。 将代入方程，左边，因此是方程的根。 4. 答案： 解析：由变形得。 将代入方程，左边，因此是方程的根。 二、整体换元法求方程的根 核心考点：整体思想，将括号内的代数式看作新未知数，利用已知方程的根直接求解。 1. 答案： 解析：令，则原方程变为。 由已知该方程的解为，因此： · ； · 。 2. 答案： 解析：令，则方程变为，其两根为。 因此： · ； · 。 3. 答案： 解析：令，则方程变为，其两根为。 因此： · ； · 。 三、方程的根 —— 整体降次求值 核心考点：利用根的定义得到高次项与低次项的关系，逐步降次代入求值。 1. 答案： 解析：是方程的根，，即。 代数式可变形为： 。 2. 答案： 解析：是方程的根，，且。 代数式可变形为： 代入，得。 3. 答案： 解析：是方程的根，。 对三次项降次：。 代入代数式： 。 4. 答案： 解析：是方程的根，，且。 对三次项降次： 。 5. 答案： 解析：是方程的根，。 对三次项降次： 。 6. 答案： 解析：是方程的根，，且。 对三次项降次： 。 7. 答案： 解析：是方程的根，。 对三次项降次： 。 四、根的判别式的应用 核心考点：判别式与实数根个数的关系，结合几何背景综合应用。 1. 答案： 解析：一元二次方程的判别式： 。 根据三角形三边关系：，即；又， 因此，方程没有实数根。 2. 答案： 解析： · ① 若，则是方程的根，故方程必有实根，，正确； · ② 若有两个不等实根，则，即； 对，，由、得，必有两个不等实根，正确； · ③ 若是方程的根，则，即；当时等式也成立，不一定有，错误； · ④ 若是方程的根，则，即； 右边，等式成立，正确。 3. 答案： (1) 示例：（满足即可） (2) 证明见解析； (3) 。 解析： (1) 取直角三角形三边，代入形式即可。 (2) 计算判别式： 。 由勾股定理，代入得： ，因此方程必有实数根。 (3) 是方程的根，代入得，即。 四边形的周长。 将代入，得，解得。 因此，两边平方得，即。 又，故，得。 。 五、根据根的情况求参数 核心考点：二次项系数不为 0 的隐含条件，判别式与根的个数的对应关系。 1. 三个小问 (1) 有两个不相等的实数根 答案：且 解析：方程为一元二次方程，故，即； ，解得。 综上：且。 (2) 有两个实数根 答案：且 解析：方程为一元二次方程，； ，解得。 综上：且。 (3) 有实数根 答案： 解析：未说明 “两个实数根”，需分两种情况： · 当即时，方程为，有一个实数根，符合； · 当时，，得且。 综上：。 2. 答案：且 解析：根据新运算定义：， 代入得：， 整理为标准形式：。 方程有两个实数根，故为一元二次方程，即； ， 解得。 综上：且。 六、韦达定理求值 核心考点：韦达定理（根与系数关系）+ 降次思想综合应用。 1. 答案： 解析：由韦达定理：，； 又是方程的根，故，即。 代入代数式： 。 2. 答案： 解析：由题意，是方程的两个不等实根， 由韦达定理：，； 又是根，故。 代入代数式： 。 3. 答案： 解析：由韦达定理：； 由根的定义：，。 对高次项降次： 。 代入代数式： 。 4. 答案： 解析：由韦达定理：； 由根的定义：。 对三次项降次： 。 代入代数式： 。 5. 答案： 解析：由韦达定理：，。 由完全平方公式： 。 七、韦达定理求参数 核心考点：韦达定理代入条件列方程，注意检验判别式非负。 1. 答案： 解析：方程有两个实数根，故，即。 由韦达定理：，。 展开条件：。 列方程：，即，解得或。 结合，舍去，故。 2. 答案： 解析：方程有两个实数根，，即。 由韦达定理：，。 展开条件：。 列方程：，即，解得或。 结合，舍去，故。 3. 答案： 解析：由韦达定理：，。 由，得， 代入得：，即，解得或。 检验判别式：； · 时，，无实根，舍去； · 时，，符合。 故。 4. 答案： 解析：由韦达定理：，。 条件可变形为： ， 代入得：， 展开化简：，即， 解得或。 检验判别式：，即。 舍去，故。 八、根的分布（两根正负性） 核心考点：利用韦达定理与判别式判断根的符号分布。 题目：已知二次方程，求：①两根皆负；②两根一正一负。 ① 两根皆负 答案：或 解析：二次方程故，需同时满足： 1. ：； 2. 两根和为负：或； 3. 两根积为正：或。 取交集得：或。 ② 两根一正一负 答案： 解析：两根一正一负只需满足两根之积小于 0（此时判别式必然大于 0）： 。 九、动点问题 核心考点：一元二次方程的几何应用，分类讨论直角三角形存在性。 (1) 几秒后是等腰三角形 答案：秒 解析：由题意：，，。 等腰直角三角形需，列方程： ，符合。 (2) 面积是矩形面积的 答案：存在，秒。 解析：矩形面积，目标面积。 。 列方程：，符合取值范围。 (3) 为直角三角形 答案：存在，秒、秒、秒时均为直角三角形。 解析：设坐标：，，，分三种情况： 1. 为直角：，解得，舍去； 2. 为直角：，解得或（舍去 24）； 3. 为直角：，解得或，均符合范围。 综上，、、时，为直角三角形。 十、利润问题 核心考点：一元二次方程的实际应用，增长率与销售利润模型。 (1) 月平均增长率 答案： 解析：设月平均增长率为，由题意： ， 解得（负根舍去），。 (2) 下调后售价 答案：万元 / 辆 解析：设下调后每辆售价为万元， 每辆利润：万元； 每周销量：辆。 总利润列方程：， 整理得：，解得，。 要尽量让利于顾客，选择更低售价。 学科网（北京）股份有限公司 $