广东潮州市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题

2025一2026学年度第二学期高一级期末教学质量监测 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将日己的姓名和考号填写在答题卜上 2.选择题何小题选出答案后，用2邓铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦下净 后，再选涂其它答案：答案不能答在试卷上· 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答突必须写在各题H指定区域内相应位置上：如带改动， 先划掉原来的答案，然后冉写上新的答案：不准使中铅笔和涂改波。个按以土要求作答的答案无效， 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.) 1.若复数z= 1-i (i为虚数单位)，则川z=（) A.② C.1 D.2 2.在△ABC中，已知AD为BC边上的中线，则AD=() A.丽+44c B4孤-}C .而-c D.+C 3.抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（) A.正面向上的概率为0.48 B.反面向上的概率是0.48 C.正面向上的频率为0.48 D.反面向上的频率是0.48 4.已知a,b是互不重合的直线，a,B是互不重合的平面，下列命题正确的是() A.若a∥b,bca,则a∥a B.若a⊥a,b⊥a,则a∥b C.若a∥a,a∥B,则a∥B D.若anB=b,aca,a⊥b,则a⊥B 5.己知一个圆锥的母线长与底面直径均为2，则圆锥的体积为() A B.π C.3z D.√5元 3 6.甲、乙两人独立破译一个密码，甲成功破译密码的概率为0.4，乙成功破译密码的概率为0.6， 则恰有一人成功破译密码的概率为( A.0.4 B.0.52 C.0.6 D.0.76 7.己知ā=(3，-)，万=(L,2),则向量ā在向量6上的投影向量为（ A.(3. c(引 D.( 高一期末数学试卷卷第1页火4页 8.“凤凰塔”是我市的古建筑之一，始建于明万历十三年(1585)，塔有七层八面，第一、二 层为石砌，第三层以上为砖砌，塔身中空，夹壁中有螺旋形台阶可登顶层，塔基须弥座分雕 龙、凤、鹤、马、羊等各种祥禽瑞兽和精美的花卉，建造工程浩大，彰显我市古代人们的智 慧。为了测量其高度，设凤凰塔高为AB,在与点B同一水平面且共线的三点C,D,E处分 别测得顶点A的仰角为30°，45°，60°，且CD=DE=37m,则凤凰塔的高AB约为()（参 考数据：√6≈2.449) B 3- 458 309>C 60°X D A.40m B.45m C.50m D.55m 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知向量=(x,1),6=(2,x-1),则下列结论正确的是() A.若al6,则x= 3 B.若a∥b,则x=2 C.若x=l,则a与万夹角为石 D.a+≥2 10.甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，】.记事件A为“两人都击中， 42 事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，则下列说法正确的是() A.事件A与C是互斥事件 B.事件B与C是对立事件 C.事件A与B相互独立 D.4Un-号 11.已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，下列说法正确的是() A.异面直线A,D与BD所成角为45° B.若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为3π C.若点P为线段CD上的任意一点，则AD⊥BP D.若点卫为体对角线BD,上的动点，则∠AQC的最大值为 高一期末数学试卷卷第2页共4页 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为 了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样， 且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是」 13.在△ABC中，若AB=√13，BC=3,∠C=120°，则AC=」 14.在复平面内，向量OA对应的复数z,=1+2i,OA绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2, 则22=】 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本题13分)已知复数z=(m2-m-2)+m(m+1)i,m∈R. (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)在复平面内，z对应的点位于第三象限，求m的取值范围 16.(本愿15分)如图，在△ABC中，D是BC上的点，已知B=35,BD=4C=号， AD=√7， (1)求角B的大小： (2)求△ACD的面积. 17.（本题15分)为了提高学生的安全意识，我市某学校利用自习课时间开展防溺水”安全 知识竞赛，通过知识竞赛的形式，不仅帮助学生发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还 教会了学生溺水自救的方法，提高了应急脱险能力，现抽取了甲组20名学生的成绩记录如下： 甲：92,96,99,103,104,105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,132， 134,136,141,142.抽取了乙组20名学生的成绩，将成绩分成[100,110)110,120)[120,130)， [130,140)[140,150]五组，并画出了其频率分布直方图 (1)根据以上记录数据求甲组20名学生成绩 频率 的第80百分位数，并根据频率分布直方图估计乙0.030 0.025 组20名学生成绩的众数： 0.020 0.015 (2)现从甲乙两组学生的不低于140分的成绩 0.010 0.005 中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩 100110120130140150乙的成缋 不在同一组的概率。 高一期末数学试卷卷第3页共4页 18.（本题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB/IDC, AD⊥DC,DA=AB=PD=2,DC=4,E,F分别为棱CD,PD的中点. (I)求证：PB/平面AEF; (2)求证：AE⊥平面PBD: (3)求点D到平面PBC的距离. E B 19.（本题17分)设平面内两个非零向量m,n的夹角为0，定义一种运算“⑧” :m⑧nm‖n|sin0.试求解下列问题： (1)若向量a=(V3,1),lb=2,ab=2√3，求a⑧b的值； (2)设a=(x,y),b=(x2,y2),试用向量a,6的坐标表示a⑧b的值； (3)设点A(-2,1),B(-上，2)，C(0,4),求△ABC的面积 高一期末数学试卷卷第4页共4页 2025一2026学年度第二学期高一级期末教学质量监测 数学参考答案 一、二选择题（单项选择题共8小题，每小题5分，共40分；多项选择题共3小题，每 小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 2 3 4 5 6 9 10 11 答案 A C B B B AD ABD BCD 三、填空题共3小题，每小题5分，共15分 12.32 13.114.-2+i 详细解析： i(1+i)-1+i1,1. 1.【详解】依题意，z= (1-i01+i)222 所以啡+= 2故选：A 2.【详解】在ABC中，由AD是BC边的中线知D为BC的中点， 所以D=B+片8C=丽+(ac-=子+4C故选：D 3.【详解】对于A,正面向上的概率为0.5，是固定不变的，故错误： 对于B,反面向上的概率也是0.5，是固定不变的，故错误： 对于C,抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，根据频率的定义可知，正面向 上的频率为0.48，正确： 对于D,抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，反面向上的次数为52次，根据 频率的定义可知，反面向上的频率是0.52，故错误. 故选：C. 4.【详解】对A,a/1b,bca,则a/1a或aCa,故A错误： 对B,由线面垂直的性质知，结论正确： 对C,a/1a,a/1B,则a11B或a、B相交，故C错误： 对D,a⌒B=b,aca,a⊥b,垂直交线不能判断两平面互相垂直，故D错误； 故选：B 高一数学答案第1页共8页 5.【详解】设圆锥的母线为1，由题意得l=2,底面半径r=1, 所以圆锥的高为h=V2-r2=√3， 所以圆准的体现为r-写汤=有xPx5=选：c 3 6.【详解】设甲独立破译密码为事件A,乙独立破译密码为事件B, 则恰有一人破译密码为AB+AB,而AB,AB互斥， 由互斥事件概率公式得P(AB+AB)=P(AB)+P(AB), 由题意得A,B相互独立，A,B相互独立， 由独立事件概率公式得P(AB)=P(A)×P(B)=P(A)×[1-P(B)], P(AB)=P(×P(B)=P(B)×-P(A)], 由题意得P(A)=0.4,P(B)=0.6,则P(AB)=0.4×[1-0.6]=0.16, P(AB)=0.6×1-0.4]=0.36,得到P(AB+AB)=0.52, 则恰有一人破译密码的概率为0.52，故B正确， 故选：B 7.【详解】向量ā在向量6上的投影向量为 故选：A 8.【详解】由题知，设AB=x, 则BC=,X=BxBD=,x tan30° an45°=xBE。，x-V5 tan60°3h 又CD=DE=37m, 所以在BEC中，cos∠BEC=BE2+EC2-BC? 32+742-3x2 2BE·EC 2x3 一，① x×74 3 高一数学答案第2页共8页 x2+372-x2 在BDE中，coS∠BED= BE2+ED2-BD2 3 -,② 2BE·BD 2x3 ×37 联立①②，解得x=3×V6≈45.33≈45. 故选：B. 2 9.【详解】对于A,若ā16，则a6=2x+x-1=0,解得x= 3, 故A正确： 对于B,若ā∥b,则x(x-)-2=0,解得x=2或x=-1,故B错误： 对于C,当x=1时，a=(),6=(2,0,则os<a,6> a.b2√2 啊222 所以ā与6夹角为云，故C错误： 对于D,因为a+=x+2+x2=V2(x++2≥反，故D正确. 故选：AD. 10【详解】优愿意，0-P代到=1-P可=1-0-0-之-专： Pg=画=1-30-为-8 对于A,因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”， 故事件A与C是互斥事件，即A正确： 对于B,因至少1人击中包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即无人 击中”，即B正确： 对于C,依意，因AnB=A,则P4n创=到=爱而P) 3.721 8×8=6 ≠P(A∩B), 故事件A与B不相互独立，即C错误： 7 对于D,因AUB=B,故P(MUB)=P(B)=8,故D正确， 故选：ABD. 11.【详解】对于A,连接BD,AB,如下图所示： D C 易知BD∥B,D,所以异面直线AD与BD所成角为即为 ∠A,DB或其补角， D 高一数学答案第3页共8页 在△ABD中，AB=BD=AD=√2，所以∠A,DB=60°， 即异面直线AD与B,D所成角为60°，所以A错误： 对于B,易知该正方体的外接球直径即为该正方体的体对角线， 设该球半径为R,则1+1+1=(2R)2, 所以该球体的表面积为4元R2=3π，即B正确： 对于C,连接BC,BD,B,C,如下图所示：由正方体性质可知CD⊥平面BCC,B, 又B,Cc平面BCC,B,所以C,D⊥B,C, D C 又BC,⊥B,C,且BC,∩CD=C, B BC,C,D,C平面BCD,所以B,C⊥平面BC,D, D 显然ADWB,C,所以可得A,D⊥平面BC,D: 又BPc平面BC,D,所以AD⊥BP, 即点P为线段CD上的任意一点时，AD⊥BP总成立，即C正确： 对于D,连接AC,BD,如下图所示： Ci 易知AQ=CQ,当AQ,CQ最小时，可使∠AQC最大： A 当AQ⊥BD时，AQ取得最小值为 1x√2√6 2 53 D C 66) 由余弦定理可知cos∠AQC= 3 (3 -( 2x6V6 33 即可得∠AQC=：所以乙AQC的最大值为2红 一，即D正确. 故选：BCD 3 高一数学答案第4页共8页 12.【详解】依题意高一年级应抽取的人数为0×80=32人.故答案为：32 13.【详解】依题意c2=4+6-2 abcosC,13=9+b'+2×3xb×)→b=l,负根舍去. 2 所以AC=1.故答案为：1 14.【详解】由题意可设z2=a+bi(a<0,b>0),z2对应的向量为(a,b),z,对应的向量为(1,2)， 由旋转性质得z2和z模相等，且它们对应的向量垂直， a2+b2=5解得 a=-2, 则 a+2b=0, b=1, .22=-2+i.故答案为：-2+i. 15.(本题13分) [m2-m-2=0 【详解】(1)因为z是纯虚数，所以 m(m+1)≠0 3 由m2-m-2=0,解得m=2或-1,4 由m(m+1)≠0得，m≠0且m≠-1，故m=26 m2-m-2<0, (2)因为z对应的点位于第三象限，所以 m(m+1)<0 9 -1<m<2 解得 -l<m<011 所以解得m的取值范围是(-1,0)13 16.(15分)【详解】：(1)在△ABD中AB=3V5,BD=4,AD=√万， 由余弦定理，得cosB=B2+BD2-AD: 1 2AB·BD -353+4-万25 2×3V3×42 4 因为0<B<π，5 所以B= 6 .7 高一数学答案第5页共8页 (2)由(1)知，B= 因为C=骨，所以∠BAC= 2 9 所以△ABC为直角三角形.所以AC=3,BC=6..11 又因为BD=4,所以CD=2.…12 所以Sco=号AC-.CD-sinC.…13 ×3×2× 33√5 2 22 .15 17.(15分)【详解】 (1).20×80%=16,1 ÷甲组20名同学成绩的第80百分位数为132+134=133,3 2 众数为130+140=135：…5 2 (2)甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个，设为A,B6 乙组20名同学的成绩不低于140分的有0.015×10×20=3个，设为a,b,c…7 记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”， 任意选出2个成绩的所有样本点有：（A,B),(A,a),(A,b),（A,c),(B,a,(B,b),(B,c), (a,b),(a,c),(b,c)共有10个，12 其中两个成绩不是同一组的样本点有(A,a),（A,b),（A,c),（B,a),(B,b),(B,c),共 6个，.14 :P(0=03 63 15 18.(17分) 【详解】(1) D 如图，连接BE,设BDúAE=O,连接OF, 因AB1IDC,DE=DC=AB=2, 2 高一数学答案第6页 可得ABED是平行四边形，则OD=OB,.2 又DF=PF,则得OF/IPB,3 因OFC平面AEF,PB文平面AEF,.4 故PB/1平面AEF.5 (2)由（1)已得。ABED,因DA=AB=2,故四边形ABED为菱形，则AE⊥BD,7 因PD⊥平面ABCD,AEC平面ABCD,则PD⊥AE,8 又BDOPD=D,BD,PDC平面PBD,9 故AE⊥平面PBD..10 (3)在R1△ABC中，BD=V22+22=2N2, 因PD⊥平面ABCD,BD、CDC平面ABCD,则PD⊥BD,PD⊥CD 在RtPOB中，PD=2,BD=25,PB=22+E=26, 同理，BC=22,PC=2√5,12 故满足勾股定理PB2+BC2=PC2,则PB⊥BC, 故c=号P88C-方×25x2反=26n…13 而队o兮9mPD=月X5x4x2x2 32 3，…14 设点D到平面PBC的距离为d, 由等体积法得度写5cd=m号得a- 3 16 故点D到平面PsC的距离为2 17 3 高一数学答案第7页共8页 19.（17分) 【小问1详解】由已知a=(（N3,1),得|a上2,1 由a-6a61cos0=4cos0=25,可得cos9=5 3 2 又0≤0≤元sin0= 2’4 a®6=asin8=2x2x =2.5 2 【小问2详解】 由a=(x,y),b=(x2,2),则|a卡√x+y,b上√x好+y，6 ..Cos0=_ -b Xx2+yy2 a小bVx好+y界x号+y F,8 .sin20=1 ++) ，10 又0≤0≤元∴.sin0= xiy2 -x2) V+网+万’12 .a⑧b-a‖bl小sin0=xy2-x2y14 【小问3详解】 A(-2,1),B(-1,2),C(0,4), .AB=(1,1),AC=(2,3),15 .由(2)知AB⑧AC1×3-2×1=116 5c=引14csim(,40=×®4c 57 高一数学答案第8页共8页