精品解析：辽宁大连市沙河口区2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

2025~2026 学年度第二学期质量检测 七 年 级 数 学 试 卷 （本试卷共三道大题，23道小题，满分120分，考试时长120分钟） 第一部分 选择题 （30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给定的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸是中国古老的民间传统艺术，已列入国家级非物质文化遗产代表作名录，如图是马年剪纸造型，下列选项中，能由图平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，适合用全面调查方式的是（ ） A. 了解星海广场水域水质状况 B. 调查央视2026年春节晚会的收视率 C. 调查某班学生的体重情况 D. 调查大连市6月份的空气质量状况 5. 如图，直线，垂足为O，直线经过点O，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同位角相等 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 两直线平行，同旁内角互补 7. 已知，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在数轴上有A，B，C，D四个点，则下列说法正确的是（ ） A. 点A表示的数可能是 B. 点B表示的数可能是 C. 点C表示的数可能是 D. 点D表示的数可能是 9. 若等腰三角形两边长分别是2和6，则它的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8 10. 下表记录了年我国新能源汽车销量，将此表的数据绘制成图，以下说法不正确的是（ ） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 2025 新能源汽车销量/万辆 136.7 352.1 688.7 949.5 1286.6 1649.0 A. 根据各组数据可以绘制趋势图，趋势图可以描述年份与销量之间的关系 B. 根据各组数据可以绘制折线图，从折线图可以看出，新能源汽车销量整体呈上升趋势 C. 根据各组数据可以绘制条形图，从条形图可以看出，新能源汽车销量整体呈上升趋势 D. 利用数据表和统计图可以计算出2026年新能源汽车销量的精确数值 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 16的平方根是______． 12. 如图，，与相交于点 C，，，则________． 13. 已知方程组中，a和b互为相反数，则m的值是______． 14. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为_____． 15. 将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算与解方程组： （1）； （2）解方程组：； 17. 解不等式组 18. 教育部提倡中学生每天课外阅读至少．为了解学生每天课外阅读时长，某校随机调查了部分学生，并对调查数据进行了收集、整理与描述． 【数据收集】 所调查的40名学生每天课外阅读时长如下 （单位：小时）： 0.3，0.3，0.4，0.4，0.4，0.5，0.5，0.6，0.6，0.6， 0.7，0.8，0.8，0.8，0.9，0.9，1.0，1.0，1.0，1.0， 1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.3， 1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8． 【数据整理】 每天课外阅读时长的频数分布表 分组 频数 a 11 b 4 合计 40 【数据描述】 每天课外阅读时长频数分布直方图 【数据分析】 （1）①填空： ， ； ②补全频数分布直方图， （2）该校共有2200名初中生，请估计全校每天课外阅读时长不少于1小时的学生人数； （3）经过引导鼓励，学生课外阅读时长有所增加，样本中原有4名阅读时长不足1小时的学生，现归入组别，若根据调整后的样本数据绘制扇形统计图，组别对应的圆心角度数会增加_______ 19. 在中，点D、E、F分别在线段上，连接和． （1）如图1，若，求证：． （2）把下列解题过程补充完整，并在括号内填写相应的依据． 如图2，，垂足为F，且， 求证： 证明：∵（已知） ∴（ ）， ∴（ ）， ∵（已知）， ∴（ ）； ∴（ ）． ∴ （ ）． 20. 【项目背景】 全球气候变暖，这与大气中二氧化碳排放密切相关.每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并践行“低碳”生活是每个人的责任．七年级（8）班开展“低碳”家庭实践活动，根据然然同学家4月消费数据制作下表． 【数据的收集与整理】 （单项碳排放量=月实际消耗量×碳排放系数） 种类 月消耗量 碳排放系数（/单位） 单项碳排放量（） 家庭用电 100（） 0.785 78.5 天然气 2 私家车出行 0.3 地铁出行 0.03 【任务清单】 （1）若然然家这个月私家车、地铁总行驶里程为，两项出行总碳排放量为，求私家车和地铁各出行多少千米？ （2）在（1）的条件下，若本月然然家希望将表中四项的碳排放总量控制在以内（包含），求天然气最大消耗量？ （3）若然然家5月计划用电量降低，同时将私家车出行里程替换为地铁出行，相较于4月，这三项一共可减少多少碳排放量？ 21. 东北超美，不来后悔．2026年“东北超”足球联赛火爆全国，赛场周边应援商品热销．已知一根应援棒的价格比一面应援旗贵6元；购买7面应援旗比购买4根应援棒多花3元． （1）求应援棒与应援旗的单价； （2）某球迷协会计划用 600元购买一批应援棒和应援旗，两种商品每种至少购买12件，且应援棒数量为5 的倍数．问有几种采购方案？ （3）协会后续追加采购需求，第二次计划购进两种商品共60件，且应援棒的数量不少于应援旗数量的2倍，求第二次采购总花费的最小值． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，将线段平移得到线段，点A，点B的对应点分别是点D和点C，点C落在y轴负半轴上，连接和，且，交x轴于点 E． （1）①求点D的坐标； ②求四边形的面积； （2）如图2，过点E作，和的外角平分线交于点G，求的度数； （3）若点是线段上动点，点在x轴上，使得，求点Q的坐标． 23. 【定义】 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角的2倍，则称这个三角形为“二阶三角形”生活中处处都有数学，如图1：我们常用的三角板都是“二阶三角形”，它们的度数分别是，，和 ，，． 【简单应用】 （1）如图2，，，是的角平分线，试说明是“二阶三角形”； 【问题探究】 （2）在中，． ①如图3，过点C的直线交的平分线和的外角平分线于点N，M，若是“二阶三角形”，求的度数； （3）②如图4，的平分线和的外角平分线交于点D，点F是线段上的一动点（F不与B、O、D三点重合），，若是“二阶三角形”，直接写出n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026 学年度第二学期质量检测 七 年 级 数 学 试 卷 （本试卷共三道大题，23道小题，满分120分，考试时长120分钟） 第一部分 选择题 （30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给定的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸是中国古老的民间传统艺术，已列入国家级非物质文化遗产代表作名录，如图是马年剪纸造型，下列选项中，能由图平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平移前后图形的大小、方向、形状不发生变化，只是位置发生变化．通过平移的定义进行判断即可． 【详解】解：观察各选项图形可知，只有B选项的图案可以通过平移得到． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的横纵坐标的符号判断所在象限即可． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，符合第四象限点的坐标特征， ∴点位于第四象限． 3. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义逐一判断选项即可，二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是的整式方程． 【详解】解：、的次数为，不满足二元一次方程的定义，不符合题意； 、是分式，方程不是整式方程，不符合题意； 、方程含两个未知数，所有含未知数的项次数都是，且是整式方程，满足所有条件，符合题意； 、项的次数为，不满足二元一次方程的定义，不符合题意． 4. 下列调查中，适合用全面调查方式的是（ ） A. 了解星海广场水域水质状况 B. 调查央视2026年春节晚会的收视率 C. 调查某班学生的体重情况 D. 调查大连市6月份的空气质量状况 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查对象的范围大小、调查的可操作性判断，全面调查适合范围小，易操作的调查，范围广，难以全面调查的场景适合抽样调查． 【详解】解：A选项，星海广场水域范围大，无法完成全面水质检测，适合抽样调查，不符合要求， B选项，春晚收视率调查涉及人群范围极广，无法开展全面调查，适合抽样调查，不符合要求， C选项，一个班的学生数量少，范围小，可对每位学生的体重完成调查，适合全面调查，符合要求， D选项，调查大连市6月份的空气质量状况，统计空气质量无法开展全面调查，适合抽样调查，不符合要求． 5. 如图，直线，垂足为O，直线经过点O，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直的定义可得，利用互余关系求出的度数，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 与是对顶角， ． 6. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同位角相等 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】解：根据题意可知， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选A． 【点睛】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 7. 已知，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变，∴两边同时减，得，故A错误，不符合题意； ∵不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，∴两边同时乘，得，故B错误，不符合题意； ∵不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴两边同时乘，得，故C正确，符合题意； 对于D选项，取，，满足，此时，，得，故D错误，不符合题意． 8. 如图，在数轴上有A，B，C，D四个点，则下列说法正确的是（ ） A. 点A表示的数可能是 B. 点B表示的数可能是 C. 点C表示的数可能是 D. 点D表示的数可能是 【答案】D 【解析】 【分析】先估算各选项中无理数的大小，确定其所在的整数区间，再结合数轴上各点的位置进行判断． 【详解】解： ， ， ， 而点在与之间，故A选项错误；  ， ， 而点在与之间，故B选项错误；  ， ， 而点在与之间，故C选项错误；  ， ， 而点在与之间，故D选项正确． 9. 若等腰三角形两边长分别是2和6，则它的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】分腰为2和6两种情况分别讨论，再根据三角形的三边关系进行取舍，再求周长即可． 【详解】解：当腰为2时，则三边为2、2、6，此时，不满足三角形的三边关系，不符合题意； 当腰为6时，则三边为6、6、2，满足三角形的三边关系，周长为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，注意利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键． 10. 下表记录了年我国新能源汽车销量，将此表的数据绘制成图，以下说法不正确的是（ ） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 2025 新能源汽车销量/万辆 136.7 352.1 688.7 949.5 1286.6 1649.0 A. 根据各组数据可以绘制趋势图，趋势图可以描述年份与销量之间的关系 B. 根据各组数据可以绘制折线图，从折线图可以看出，新能源汽车销量整体呈上升趋势 C. 根据各组数据可以绘制条形图，从条形图可以看出，新能源汽车销量整体呈上升趋势 D. 利用数据表和统计图可以计算出2026年新能源汽车销量的精确数值 【答案】D 【解析】 【详解】解：A ．趋势图可以直观描述两个变量之间的变化关系，根据已知数据可以绘制趋势图描述年份与销量的关系， A说法正确． B．折线图可以清晰反映数据的变化趋势，∵表格中新能源汽车销量逐年递增，∴销量整体呈上升趋势，B说法正确． C．条形图可以直观展示每年的销量大小，对比各年销量可判断变化趋势，∵数据显示销量逐年增加，∴可得整体呈上升趋势，C说法正确． D．现有数据仅为年的历史销量，∵数据表和统计图只能对未来销量做趋势预测，无法得到未发生年份销量的精确值，∴D说法不正确． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 12. 如图，，与相交于点 C，，，则________． 【答案】##度 【解析】 【详解】解：， ， ． 13. 已知方程组中，a和b互为相反数，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先对方程组消元，用含的式子表示和，再根据相反数的性质得到，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：， ，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ，互为相反数， ， ， 解得． 14. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设木条长尺，绳子长尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设木条长尺，绳子长尺， 依题意，得： ， 故答案为． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15. 将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，根据圆柱和正方体的体积公式列方程，再利用立方根的意义求解，最后对结果取整数即可. 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入， 可得：， ， ， 正方体的棱长为． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算与解方程组： （1）； （2）解方程组：； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：整理得， 得， 解得：， 将代入①得， 解得：， ∴． 17. 解不等式组 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 所以原不等式组的解集为． 18. 教育部提倡中学生每天课外阅读至少．为了解学生每天课外阅读时长，某校随机调查了部分学生，并对调查数据进行了收集、整理与描述． 【数据收集】 所调查的40名学生每天课外阅读时长如下 （单位：小时）： 0.3，0.3，0.4，0.4，0.4，0.5，0.5，0.6，0.6，0.6， 0.7，0.8，0.8，0.8，0.9，0.9，1.0，1.0，1.0，1.0， 1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.3， 1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8． 【数据整理】 每天课外阅读时长的频数分布表 分组 频数 a 11 b 4 合计 40 【数据描述】 每天课外阅读时长频数分布直方图 【数据分析】 （1）①填空： ， ； ②补全频数分布直方图， （2）该校共有2200名初中生，请估计全校每天课外阅读时长不少于1小时的学生人数； （3）经过引导鼓励，学生课外阅读时长有所增加，样本中原有4名阅读时长不足1小时的学生，现归入组别，若根据调整后的样本数据绘制扇形统计图，组别对应的圆心角度数会增加_______ 【答案】（1）①5；20；② （2）1320名 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据所给数据即可得到答案；②根据（1）①所求补全频数分布直方图即可； （2）用2200乘以样本中每天课外阅读时长不少于1小时的学生人数占比即可得到答案； （3）用360度乘以组别增加的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：①由题意得，； ②略 【小问2详解】 解：名， 答：估计全校每天课外阅读时长不少于1小时的学生人数为1320名； 【小问3详解】 解：， ∴对应的圆心角度数会增加． 19. 在中，点D、E、F分别在线段上，连接和． （1）如图1，若，求证：． （2）把下列解题过程补充完整，并在括号内填写相应的依据． 如图2，，垂足为F，且， 求证： 证明：∵（已知） ∴（ ）， ∴（ ）， ∵（已知）， ∴（ ）； ∴（ ）． ∴ （ ）． 【答案】（1）证明：∵，， ∴； （2）垂线的定义；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质和角的和差关系证明即可； （2）根据平行线的性质与判定定理，直角三角形的性质和余角的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 【项目背景】 全球气候变暖，这与大气中二氧化碳排放密切相关.每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并践行“低碳”生活是每个人的责任．七年级（8）班开展“低碳”家庭实践活动，根据然然同学家4月消费数据制作下表． 【数据的收集与整理】 （单项碳排放量=月实际消耗量×碳排放系数） 种类 月消耗量 碳排放系数（/单位） 单项碳排放量（） 家庭用电 100（） 0.785 78.5 天然气 2 私家车出行 0.3 地铁出行 0.03 【任务清单】 （1）若然然家这个月私家车、地铁总行驶里程为，两项出行总碳排放量为，求私家车和地铁各出行多少千米？ （2）在（1）的条件下，若本月然然家希望将表中四项的碳排放总量控制在以内（包含），求天然气最大消耗量？ （3）若然然家5月计划用电量降低，同时将私家车出行里程替换为地铁出行，相较于4月，这三项一共可减少多少碳排放量？ 【答案】（1）私家车出行，地铁出行 （2）天然气最大消耗量为 （3）一共可减少碳排放量． 【解析】 【分析】（1）设私家车出行，地铁出行，根据碳排放公式列方程求解即可； （2）设天然气月消耗量为，天然气碳排放为，根据题意列不等式求解即可； （3）分项求解即可． 【小问1详解】 解：设私家车出行，地铁出行， 根据碳排放公式列方程得， 解得， ， 答：私家车出行，地铁出行； 【小问2详解】 解：已知家庭用电碳排放、出行总碳排放， 设天然气月消耗量为，天然气碳排放为， 总碳排放要求：， 解得：， 答：天然气最大消耗量为； 【小问3详解】 解：1、用电减排：4月用电，5月降低， 减排量：； 2、出行替换减排：私家车改地铁， 私家车原排放：， 地铁新排放：， 这部分减排：； 3、总减排量：； 答：三项一共可减少碳排放量． 21. 东北超美，不来后悔．2026年“东北超”足球联赛火爆全国，赛场周边应援商品热销．已知一根应援棒的价格比一面应援旗贵6元；购买7面应援旗比购买4根应援棒多花3元． （1）求应援棒与应援旗的单价； （2）某球迷协会计划用 600元购买一批应援棒和应援旗，两种商品每种至少购买12件，且应援棒数量为5 的倍数．问有几种采购方案？ （3）协会后续追加采购需求，第二次计划购进两种商品共60件，且应援棒的数量不少于应援旗数量的2倍，求第二次采购总花费的最小值． 【答案】（1）应援棒单价为元，应援旗单价为元. （2）有种采购方案. （3）第二次采购总花费的最小值为元. 【解析】 【分析】（1）设应援旗单价为元，则应援棒单价为元，再根据“7面应援旗总花费比4根应援棒总花费多3元”的等量关系列一元一次方程求解即可． （2）设购买应援棒根，根据总花费600元列出应购买应援旗面，结合两种商品数量都不少于12、应援棒数量是5的倍数的约束条件，列出不等式组并推导出符合要求的正整数解的个数． （3）设购进应援棒根，则应援旗面，总花费为元，结合“应援棒数量不少于应援旗数量的2倍”的条件确定的取值范围，再根据两种商品的单价列出总花费关于自变量的一次函数表达式，利用一次函数的增减性求最小值． 【小问1详解】 解：设应援旗单价为元，则应援棒单价为元， 根据题意列方程：， 解得， 则应援棒单价为（元）．  答：应援棒单价15元，应援旗单价9元． 【小问2详解】 解：设购买应援棒根，则购买应援旗面， ∵两种商品都至少购买12件， ∴， 得， ∵是正整数且是5的倍数， ∴范围内符合要求的为15、20、25、30， 仅当时，是正整数，满足条件， ∴共有种采购方案． 【小问3详解】 解：设购进应援棒根，应援旗面，总花费为元， 根据条件， 解得， 总花费表达式：， ∵，随增大而增大， ∴时最小，最小值为（元）， ∴第二次采购总花费最小值为元． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，将线段平移得到线段，点A，点B的对应点分别是点D和点C，点C落在y轴负半轴上，连接和，且，交x轴于点 E． （1）①求点D的坐标； ②求四边形的面积； （2）如图2，过点E作，和的外角平分线交于点G，求的度数； （3）若点是线段上动点，点在x轴上，使得，求点Q的坐标． 【答案】（1）①；②9 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①先求出点C的坐标，进而根据点B和点C的坐标判断出平移方式，再根据平移方式可得点D的坐标；②根据列式求解即可； （2）根据平行线的性质得到，，则可证明；根据角平分线的定义可推出，再根据四边形内角和定理可得答案； （3）过点D作轴于点H，连接，证明，得到，则；由平移的性质可得，则，进而得到， 即可得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将线段平移得到线段，点A，点B的对应点分别是点D和点C， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴点D的坐标为，即； ②∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴； ∵和的外角平分线交于点G， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点D作轴于点H，连接， ∴； 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵点是线段上动点， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或， ∴点Q的坐标为或． 23. 【定义】 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角的2倍，则称这个三角形为“二阶三角形”生活中处处都有数学，如图1：我们常用的三角板都是“二阶三角形”，它们的度数分别是，，和 ，，． 【简单应用】 （1）如图2，，，是的角平分线，试说明是“二阶三角形”； 【问题探究】 （2）在中，． ①如图3，过点C的直线交的平分线和的外角平分线于点N，M，若是“二阶三角形”，求的度数； （3）②如图4，的平分线和的外角平分线交于点D，点F是线段上的一动点（F不与B、O、D三点重合），，若是“二阶三角形”，直接写出n的值． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，， 可得， ∴是“二阶三角形”； （2）①或或；②2或 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和为以及，求解出相应角的度数，再根据角平分线的定义得到，再由角度的关系得到，由此可说明； （2）①先根据，以及角平分线的定义求解和的度数，再根据是“二阶三角形”分情况得到的度数，由此求解即可； ②先根据，求解的度数，再由角平分线的定义求解和的度数，设，根据题意可得，再由，可得与之间的关系，再由是“二阶三角形”，分情况表示2倍的关系，由此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的外角平分线， ∴， ∴， ∵是“二阶三角形”， 当时，则， 可得， 在中，； 当时，则， 可得，则， 在中，； 当时，则， 在中，； 综上，的度数为或或； ②∵， ∴， 在中，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的外角平分线， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 点F是线段上的一动点（F不与B、O、D三点重合），如图， ∵， 设，则， ∵， ∴，则， ∴， 在中，， ∵是“二阶三角形”， 且在中，，，， 当时，则有， 即，解得，不满足题意，舍； 当时，则有， 即，解得，不满足题意，舍； 当时，则有， 即，解得； 当时，则有， 即，解得； 当时，则有， 即，等式无解； 当时，则有， 即，解得，不满足题意，舍； 综上，n的值为2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $