精品解析：辽宁省大连市沙河口区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 -

沙河口区 2024~2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 （共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 在下列由线段组成的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某中学校史展览馆要招募一名讲解员，小明经历了笔试和试讲两轮测试．他笔试和试讲成绩分别为90分，98分．综合成绩中笔试占，试讲占，那么小明的综合成绩为（ ） A. 93.2分 B. 94分 C. 94.8分 D. 95分 7. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 根据国家统计局公布的数据，2022年全国粮食总产量为68653万吨，2024年全国粮食总产量为70650万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点 B，下列结论正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 当时， C. 的面积是4 D. 10. 如图，在中，，，以点B为圆心、的长为半径作弧交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交边于点F，则四边形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 第二部分 非选择题 （共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点 关于原点对称的点为，则点的坐标为_______． 12. 计算的结果为_______． 13. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移5个单位长度后经过原点，b的值为 ______． 14. 古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是____________． 15. 如图，将矩形纸片沿剪开，再把沿着方向平移，得到，，． 若重叠部分为菱形，则菱形的边长是_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： ； （2）解方程： 17. 如图，在中，E、F是对角线上两点，且，．求证：． 18. 某校为了解七、八年级学生课外阅读情况，从七、八年级学生中各随机抽取20名进行问卷调查，获取了他们某天课外阅读的时间x （分）． 【收集数据】七、八年级20名学生某天课外阅读的时间如下： 七年级： 12 23 25 31 31 35 35 35 40 41 41 42 42 43 45 48 49 50 51 55 八年级： 17 18 19 26 29 34 35 36 36 36 37 37 43 45 49 53 55 56 57 58 【整理数据】七、八年级20名学生某天课外阅读的时间频数分布表如下： 时间（分） 七年级 1 2 5 9 3 八年级 3 2 7 3 5 【分析数据】七、八年级 20名学生的某天课外阅读时间平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（平方分） 七年级 41 a 八年级 b 36 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： a的值是 ，b的值是 ； （2）若该校七年级共有400名学生，请估计该校所有七年级学生中某天阅读时间不少于40分钟的人数； （3）请结合分析数据，你认为哪个年级学生某天的阅读情况比较好，并说明理由． 19. 如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， （1）如图1，求木杆折断之前的高度； （2）如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 20. 气球从高的楼顶出发，10分钟后，无人机从地面出发．图中l，折线分别表示气球与无人机飞行的高度与气球飞行时间的关系，其中线段分别表示无人机的上升、伴飞、返回三个阶段，且上升与返回阶段速度相同． （1）分别求出线段对应的函数表达式（不用写出自变量x的取值范围）； （2）求a值． 21. 如图，和都是等腰直角三角形，，， （1）如图1，当点 D在边上时，若，，，求的长； （2）如图2，当的延长线与边相交于点F时，若 ，写出 的数量关系，并证明． 22 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师发给每名同学一张纸，宽为，长为，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 【操作与发现】 小明在边上取一点E，连接，将这个纸片沿翻折，使点A的对应点落在边上，如图1所示． 小聪在边上取一点E，连接，将这个纸片沿翻折，使点A的对应点落在边上，如图2所示． 小慧将这个纸片沿翻折，点C的对应点落在矩形外，如图3所示，连接，． 发现1：小明发现，图1中的线段与图2中的线段相等； 发现2： 小慧发现，是直角． …… 【问题提出与解决】 （1）小明发现的与相等的结论是否正确？请你用所学的知识进行说明． （2） 如图3，①证明，②求出的长． 【拓展延伸】 小刚受到探究过程的启发，提出新问题： （3）如图4，在正方形中，在边上取点E，在边上取点F，使得四边形是长与宽的比是的矩形． （作图要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不需要说理） 23. 在平面直角坐标系中，点在直线l：上，若点的坐标为，则称点为点P关于直线l的“点线变换点”． 例如：点 在直线上，点关于直线l的“点线变换点”为，即．如图，直线与直线相交于点C， （1）分别求出点C关于直线，直线的“点线变换点”的坐标； （2）点在x轴上，过点D作x轴的垂线，与相交于点M，与相交于点N，设点M关于直线的“点线变换点”为点，设点N关于直线的“点线变换点”为点； ①当时，求的面积； ②当时，求直线与y轴交点坐标； ③当线段与直线组成的图形有两个交点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沙河口区 2024~2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 （共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查自变量的取值范围，掌握被开方数大于等于0是解题关键． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、找不到一点，使图形此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形； B、找不到一点，使图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形； C、能找到一点（正方形的中心），使图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故是中心对称图形； D、找不到一点，使图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形； 故选：C． 3. 在下列由线段组成的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据各个选项中的线段长，由勾股定理的逆定理代值验证即可得到答案，熟记勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，由勾股定理的逆定理可知，，，不能组成直角三角形，不符合题意； B、由，由勾股定理的逆定理可知，，，不能组成直角三角形，不符合题意； C、由，由勾股定理的逆定理可知，，，不能组成直角三角形，不符合题意； D、由，由勾股定理的逆定理可知，，，能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的运算，利用二次根式的性质和运算法则逐项判断即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，无法直接相加，故A错误． B．，计算正确，故B正确． C．，故C错误． D．，结果不等于3，故D错误． 故选B． 5. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先把1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式． 【详解】解：将方程 的常数项移到右边，得： 将其两边都加4得： 将左边写成完全平方形式，右边计算得： 故选A． 6. 某中学校史展览馆要招募一名讲解员，小明经历了笔试和试讲两轮测试．他的笔试和试讲成绩分别为90分，98分．综合成绩中笔试占，试讲占，那么小明的综合成绩为（ ） A. 93.2分 B. 94分 C. 94.8分 D. 95分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，根据笔试和试讲成绩所占比例求综合成绩即可． 【详解】解：（分）， ∴小明的综合成绩为94.8分． 故选：C． 7. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有实数根． 【详解】解：对于方程， 其判别式为： 因为方程有实数根，需满足，即： 解得： 因此，实数的取值范围是． 故选B． 8. 根据国家统计局公布的数据，2022年全国粮食总产量为68653万吨，2024年全国粮食总产量为70650万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程，根据年平均增长率模型，2022年的产量经过两年增长到2024年的产量，应列方程为初始产量乘以等于最终产量． 【详解】解：设年平均增长率为，2022年的产量为68653万吨，则2023年的产量为万吨，2024年的产量在此基础上再增长，即万吨． 根据题意，2024年的实际产量为70650万吨，因此方程为． 故选A． 9. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点 B，下列结论正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 当时， C. 的面积是4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，30度角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：A、一次函数的，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意； B、∵当时，，即一次函数与x轴交点坐标， ∴当时，，原说法错误，不符合题意； C、当时，，即一次函数与y轴交点坐标为，即， 当时，，即一次函数与x轴交点坐标为，即， ∴，原说法正确，符合题意； D、∵一次函数与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴，， 若，则， 由勾股定理可知，即不成立，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在中，，，以点B为圆心、的长为半径作弧交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交边于点F，则四边形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的定义，平行四边形的判定与性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据作图过程得到，为的平分线，即可证明四边形为平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 根据作图过程得到，为平分线， ∴ ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形的周长为． 故选：B． 第二部分 非选择题 （共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点 关于原点对称的点为，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求关于原点对称点的坐标，根据两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数求解即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 点的横坐标为，纵坐标为， ． 故答案为：． 12. 计算的结果为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 13. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移5个单位长度后经过原点，b的值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，掌握平移规律“上加下减”是解题的关键． 根据题意得出直线向上平移5个单位长度后的解析式，再将原点坐标代入即可解决问题． 【详解】解：直线向上平移5个单位长度后的解析式为， 因为平移后的直线经过原点， 所以， 解得． 故答案为：． 14. 古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是____________． 【答案】答案不唯一，如20，99，101 【解析】 【分析】由题目,如果m表示大于1的整数,a＝2m,b＝m2－1,c＝m2＋1,那么a,b,c为勾股数,则m取大于1的任意一个整数代入即可求解. 【详解】由题意可得: m取大于1的任意一个整数,例如：m取2,则a=4,b=3,c=5,即3,4,5是一组勾股数, m取10,则a=20,b=99,c=101,则20,99,101是一组勾股数, 故答案为: 20,99,101. 【点睛】本题主要考查勾股数满足的条件,解决本题的关键是要根据勾股数满足的条件代入求解即可. 15. 如图，将矩形纸片沿剪开，再把沿着方向平移，得到，，． 若重叠部分为菱形，则菱形的边长是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，图形的平移变换及其性质，菱形的性质，直角三角形的性质，理解矩形的性质，熟练掌握图形的平移变换及其性质，菱形的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 设与相交于点，由平移的性质得，，，，设重叠部分的菱形的边长为，则，，在中，根据得，则，由此解出即可得出答案． 【详解】解：设与相交于点，如图所示： 由矩形及平移的性质得：，，，， 设重叠部分的菱形的边长为，则， ， ∵， ∴， 在中，， ， ， 解得：， 重叠部分的菱形的边长为2． 故答案为：2． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： ； （2）解方程： 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程．熟练掌握二次根式运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先用完全平方公式计算并化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）用配方法解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2） 解： ， ， ， ，． 17. 如图，在中，E、F是对角线上两点，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，则，再由“”证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ． 18. 某校为了解七、八年级学生课外阅读情况，从七、八年级学生中各随机抽取20名进行问卷调查，获取了他们某天课外阅读的时间x （分）． 【收集数据】七、八年级20名学生某天课外阅读的时间如下： 七年级： 12 23 25 31 31 35 35 35 40 41 41 42 42 43 45 48 49 50 51 55 八年级： 17 18 19 26 29 34 35 36 36 36 37 37 43 45 49 53 55 56 57 58 【整理数据】七、八年级20名学生某天课外阅读的时间频数分布表如下： 时间（分） 七年级 1 2 5 9 3 八年级 3 2 7 3 5 【分析数据】七、八年级 20名学生的某天课外阅读时间平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（平方分） 七年级 41 a 八年级 b 36 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： a的值是 ，b的值是 ； （2）若该校七年级共有400名学生，请估计该校所有七年级学生中某天阅读时间不少于40分钟的人数； （3）请结合分析数据，你认为哪个年级学生某天的阅读情况比较好，并说明理由． 【答案】（1）35， （2）估计该校所有七年级学生中某天阅读时间不少于40分钟的人数约为240人 （3）七年级学生某天的阅读情况较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计与分析，解题关键是准确从题目中获取信息，按照数据分析有关知识求解计算即可． （1）根据众数、中位数的定义直接解答即可； （2）用400乘以某天阅读时间不少于40分钟学生的百分比，即可求解； （3）根据平均数，中位数，方差判断即可． 【小问1详解】 解：根据题意得七年级某天课外阅读的时间为35的人数最多， ∴众数35， 即， 八年级某天课外阅读时间从小到大排列后，位于正中间的两个数分别为36,37， ∴八年级某天课外阅读时间的中位数为， 即； 故答案为：35，； 【小问2详解】 解：（人）． 答：估计该校所有七年级学生中某天阅读时间不少于40分钟的人数约为240人； 【小问3详解】 解：七年级学生某天的阅读情况较好． 理由如下：虽然两个年级的平均数相同，但七年级的方差比八年级小，课外阅读的时间更稳定，所以七年级学生某天的阅读情况较好（答案不唯一）． 19. 如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， （1）如图1，求木杆折断之前的高度； （2）如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】（1）木杆折断之前的高度是 （2）的长是 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． 【小问2详解】 解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 20. 气球从高的楼顶出发，10分钟后，无人机从地面出发．图中l，折线分别表示气球与无人机飞行的高度与气球飞行时间的关系，其中线段分别表示无人机的上升、伴飞、返回三个阶段，且上升与返回阶段速度相同． （1）分别求出线段对应的函数表达式（不用写出自变量x的取值范围）； （2）求a的值． 【答案】（1）对应的函数表达式为，对应的函数表达式为 （2）的值是40 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．用待定系数法求得一次函数的解析式是解决本题的关键． （1）设对应的函数表达式为，把点A、B的坐标代入求解；设对应的函数表达式为，将，和，代入求解． （2）求出无人机的上升速度，也就是它的下降速度，进而把代入的解析式求得y的值，进而除以无人机的下降速度，再加上，即为a的值． 【小问1详解】 解：设对应的函数表达式为． 将，和，代入， 得，解得， 对应的函数表达式为； 设对应的函数表达式为． 将，和，代入， 得，解得， 对应的函数表达式为． 【小问2详解】 解：上升阶段速度为， 当时，，． 解得：， 答：的值是40． 21. 如图，和都是等腰直角三角形，，， （1）如图1，当点 D在边上时，若，，，求的长； （2）如图2，当的延长线与边相交于点F时，若 ，写出 的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质及角度等量代换，证明，得到，设，则，根据，列方程求解即可； （2）连接，根据全等三角形的性质设，根据等边对等角，证得是直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：和都是等腰直角三角形，，， ． ，． ． ． ，． ． 设，则， ∵， ， , ． 解得，（舍去）， ． 【小问2详解】 解：， 证明：如图2，连接， 由（1）可得， ，，． 设， ， ， ， ， ， ． ． ， ． ， ， ． ， 是直角三角形． ， 在中，， ， ． 22. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师发给每名同学一张纸，宽为，长为，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 【操作与发现】 小明在边上取一点E，连接，将这个纸片沿翻折，使点A的对应点落在边上，如图1所示． 小聪在边上取一点E，连接，将这个纸片沿翻折，使点A的对应点落在边上，如图2所示． 小慧将这个纸片沿翻折，点C的对应点落在矩形外，如图3所示，连接，． 发现1：小明发现，图1中的线段与图2中的线段相等； 发现2： 小慧发现，是直角． …… 【问题提出与解决】 （1）小明发现的与相等的结论是否正确？请你用所学的知识进行说明． （2） 如图3，①证明，②求出的长． 【拓展延伸】 小刚受到探究过程的启发，提出新问题： （3）如图4，在正方形中，在边上取点E，在边上取点F，使得四边形是长与宽的比是的矩形． （作图要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不需要说理） 【答案】（1）小明发现的结论是正确的，理由见解析（2）①见解析②（3）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、尺规作图等知识，正确理解题意，综合运用相关知识是解题关键． （1）首先结合折叠的性质计算的值，再在图2中，利用勾股定理可得的长度，即可获得答案； （2）连接，与相交于点，设与相交于点，首先由勾股定理可得，由矩形的性质易得，再结合翻折的性质可得，，进一步证明是直角；在中，利用面积法计算，的长度，进一步由勾股定理求得的值，即可获得答案； （3）连接交于点，分别以为圆心，已为半径作弧，分别交于点，连接，即可获得答案（答案不唯一）． 【详解】（1）小明发现的结论是正确的； 证明：在图1中，由折叠知， ． 在图2中，，， 由勾股定理得：， ， ， 所以小明的结论是正确的； （2）如图3，连接，与相交于点，设与相交于点， 四边形是矩形，， ， ， 由翻折可得：，， ，， ， 是直角， 在中，由面积公式得：， ∴， 在中，根据勾股定理：， ． （3）如下图，连接交于点，分别以为圆心，已为半径作弧，分别交于点，连接， ∵四边形为正方形，可设该正方形的边长为， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形，且，符合题意．（答案不唯一） 23. 在平面直角坐标系中，点在直线l：上，若点的坐标为，则称点为点P关于直线l的“点线变换点”． 例如：点 在直线上，点关于直线l的“点线变换点”为，即．如图，直线与直线相交于点C， （1）分别求出点C关于直线，直线的“点线变换点”的坐标； （2）点在x轴上，过点D作x轴的垂线，与相交于点M，与相交于点N，设点M关于直线的“点线变换点”为点，设点N关于直线的“点线变换点”为点； ①当时，求的面积； ②当时，求直线与y轴交点坐标； ③当线段与直线组成图形有两个交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）点关于直线的“点线变换点”的坐标为，点关于直线的“点线变换点”的坐标为 （2）①10，②，③或且 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，再根据“点线变换点”定义分别计算关于直线、的变换点坐标； （2）①先求时、坐标，再求、坐标，最后根据三角形面积公式计算；②利用待定系数法求直线解析式，再求与y轴交点；③排除特殊 m 值​：当或落在一条直线上时，可能导致交点重合或增加；联立方程求交点范围，​根据图形关系分析m取值范围． 【小问1详解】 解：，解得， 点的坐标为； 点关于直线的“点线变换点”的坐标为，即． 点关于直线的“点线变换点”的坐标为，即． 【小问2详解】 设点，点， 则，， ①当时，则，，如图1， ． ， ②设直线对应的函数表达式为， 将点，，代入得， ，解得， ， 当时，， 直线与y轴交点坐标为． ③​若在上​：则， ，解得，， 在上，与有两个交点， ​若 在上​：则， ，解得，，此时重合，故舍去， ​线段：过交点时，与有一个交点， ，解得，， 当且时，线段与直线组成的图形有两个交点； 将代入，得， 解得，，即当在上时，线段与直线组成的图形刚好有两个交点， 当时，线段与直线组成的图形有两个交点； 综上，当线段与直线组成的图形有两个交点时，或且． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义“点线变换点”，通过联立方程求交点，利用坐标变换和直线解析式求解相关问题，关键是理解新定义并准确计算坐标变换． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$