专题02 空间向量基本定理及数量积运算 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量基本定理与数量积运算，系统梳理基底判定、向量表示、数量积定义及运算规律，延伸至模长计算、夹角求解及投影向量，构建从基础定理到几何应用的完整学习支架。 资料通过题型分类（如基底判断、向量分解）与归纳总结，引导学生用数学眼光抽象空间向量关系，以逻辑推理和运算培养数学思维，用向量语言表达几何问题（如证明垂直）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题02 空间向量基本定理+数量积运算 一．空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得=x+y+z. 2. 基底与基向量： 空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量； 如果=x+y+z，则称x+y+z为在基底{，，}下的分解式. 【注意点】 ①零向量可与任意非零向量共线、与任意两个非零向量共面，因此能构成基底的三个向量一定都不能是零向量； ②一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念； 【考点一 空间向量基底及应用】 【题型一 空间基底的判断】 【归纳总结】空间向量基底的判断 1．根本原理： 不共面的三个向量才能构成基底，判断三个空间向量是否构成基底，即判断三个向量是否共面。 若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底； 2．具体方法： ①如果向量中存在零向量，则不能作为基底； ②如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底； ③假设法，设（），建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底。 1．已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据空间向量基底的判定，即向量组是否共面，若不共面则构成空间的一组基底. 【详解】设，即， ，此方程组无解， ，，不共面，可构成基底，正确. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 故选：. 【变式】（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 【题型二 空间基底的应用：表示向量】 【归纳总结】用基底表示向量 1．定基底：结合题干几何条件，筛选出一组两两不共面的三个向量，确定为基底； 2．转化目标向量：借助三角形法则、平行四边形法则，搭配相等向量替换、向量线性运算对目标向量变形化简，将目标向量拆解为基底组合形式； 3．整理化简：选定基底后，最终表达式只能保留，不能出现其他无关向量，化简过程灵活使用向量加减、数乘运算律，多层嵌套向量分步拆解，保证结果无其他无关向量。 2．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 【变式】如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解. 【详解】解：因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且， 所以 ， 故选：D. 3．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D．    【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 【变式】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 二．空间向量的数量积 1、数量积的定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0，即 2、数量积的运算规律： 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 3、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤(当且仅当共线时等号成立) 【考点二 空间向量的数量积】 【题型 空间向量的数量积运算】 【归纳总结】求空间向量的数量积 1.直接运算法则 当向量的模长与夹角均已知时，直接套用数量积公式计算； 向量由几何体线段构成，先根据边长得到模长，平移向量至共起点确定夹角； 2.向量模长或夹角未知，则先将向量进行转化，表示成已知模长和夹角的向量后，再进行运算 ①将各向量分解成已知模长和夹角的向量的组合形式 ②利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积， ③代入求解. （直接运算法则） 4．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． （先用基底表示，变成单×多，多×多再计算） 5．三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【详解】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 【练习】如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算法则计算求解，再用已知条件求出相关向量数量积，运用向量加减法运算求出，通过向量数量积运算求解． 【详解】（1），． ． 点为的中点， ． ， ， ， ． 6．如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由平面，平面，得， 由题可知， . 故选：B 三．空间向量的模长 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 【推广】 四．空间向量的夹角 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 2、 夹角计算公式： 根据空间两个向量数量积的定义：，可得空间两个向量、的夹角的余弦为. 3、范围 规定：，且 （1）当、共线且同向时，； （2）当、共线且反向时，； （3）当当、垂直时，即时，． 【考点三 空间向量的模长与夹角】 【题型一 空间向量的模长】 【归纳总结】求空间向量的模长 技巧：见模长想平方 1. 核心公式：。线段长度等于对应向量的模长，距离问题均可转化为向量模长计算。 2. 将代表线段的向量拆分为基底组合，计算，展开后代入基底模长、基底间数量积，算出数值后开平方得到长度； 7．三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，平方后求解即可． 【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，， 故选：D． 【变式】如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 8．已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 【答案】 【分析】利用向量模长计算公式可得答案. 【详解】由于两两夹角均为 60°，且模长均为 2，有： ， ， ， ， 因此：. 故答案为： 【题型二 空间向量的夹角】 【归纳总结】求空间向量的夹角 1.思路1：结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，要注意向量夹角的范围角的大小； 2.思路2：先通过基底运算求出，，再利用公式求，再结合夹角范围反求角度，从而确定． 9．在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 10．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则 ， 又，所以 . 【题型三 利用向量证明空间中的垂直关系】 【归纳总结】向量法证明垂直关系的步骤 ①用已知向量表示所证向量； ②结合数量积公式和运算律证明数量积为0； 11．已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 【答案】证明见解析 【解析】设， 由题意得，，， 因为，所以， 又， 所以， 所以. 【练习】如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥． 【答案】证明见解析 【解析】因为⊥，⊥，⊥， 所以， 因为分别是的中点， 所以． 因为分别是的中点， 所以 ， 故 所以⊥，得证． 五．投影及投影向量 1、定义： （1）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）． （2）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 2、计算公式 在上的投影：||cos = 在上的投影向量：||cos || = ||cos 【考点四 空间向量的投影、投影向量】 【题型 空间向量投影、投影向量】 12．如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D．    【答案】D 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    【练习】在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 13．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 14．已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量基本定理+数量积运算 一．空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得=x+y+z. 2. 基底与基向量： 空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量； 如果=x+y+z，则称x+y+z为在基底{，，}下的分解式. 【注意点】 ①零向量可与任意非零向量共线、与任意两个非零向量共面，因此能构成基底的三个向量一定都不能是零向量； ②一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念； 【考点一 空间向量基底及应用】 【题型一 空间基底的判断】 【归纳总结】空间向量基底的判断 1．根本原理： 不共面的三个向量才能构成基底，判断三个空间向量是否构成基底，即判断三个向量是否共面。 若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底； 2．具体方法： ①如果向量中存在零向量，则不能作为基底； ②如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底； ③假设法，设（），建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底。 1．已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式】（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型二 空间基底的应用：表示向量】 【归纳总结】用基底表示向量 1．定基底：结合题干几何条件，筛选出一组两两不共面的三个向量，确定为基底； 2．转化目标向量：借助三角形法则、平行四边形法则，搭配相等向量替换、向量线性运算对目标向量变形化简，将目标向量拆解为基底组合形式； 3．整理化简：选定基底后，最终表达式只能保留，不能出现其他无关向量，化简过程灵活使用向量加减、数乘运算律，多层嵌套向量分步拆解，保证结果无其他无关向量。 2．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式】如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D．    【变式】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．    二．空间向量的数量积 1、数量积的定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0，即 2、数量积的运算规律： 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 3、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤(当且仅当共线时等号成立) 【考点二 空间向量的数量积】 【题型 空间向量的数量积运算】 【归纳总结】求空间向量的数量积 1.直接运算法则 当向量的模长与夹角均已知时，直接套用数量积公式计算； 向量由几何体线段构成，先根据边长得到模长，平移向量至共起点确定夹角； 2.向量模长或夹角未知，则先将向量进行转化，表示成已知模长和夹角的向量后，再进行运算 ①将各向量分解成已知模长和夹角的向量的组合形式 ②利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积， ③代入求解. （直接运算法则） 4．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 （先用基底表示，变成单×多，多×多再计算） 5．三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【练习】如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，则的值为 ． 6．如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 三．空间向量的模长 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 【推广】 四．空间向量的夹角 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 2、 夹角计算公式： 根据空间两个向量数量积的定义：，可得空间两个向量、的夹角的余弦为. 3、范围 规定：，且 （1）当、共线且同向时，； （2）当、共线且反向时，； （3）当当、垂直时，即时，． 【考点三 空间向量的模长与夹角】 【题型一 空间向量的模长】 【归纳总结】求空间向量的模长 技巧：见模长想平方 1. 核心公式：。线段长度等于对应向量的模长，距离问题均可转化为向量模长计算。 2. 将代表线段的向量拆分为基底组合，计算，展开后代入基底模长、基底间数量积，算出数值后开平方得到长度； 7．三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 8．已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 【题型二 空间向量的夹角】 【归纳总结】求空间向量的夹角 1.思路1：结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，要注意向量夹角的范围角的大小； 2.思路2：先通过基底运算求出，，再利用公式求，再结合夹角范围反求角度，从而确定． 9．在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【题型三 利用向量证明空间中的垂直关系】 【归纳总结】向量法证明垂直关系的步骤 ①用已知向量表示所证向量； ②结合数量积公式和运算律证明数量积为0； 11．已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 【练习】如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥． 五．投影及投影向量 1、定义： （1）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）． （2）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 2、计算公式 在上的投影：||cos = 在上的投影向量：||cos || = ||cos 【考点四 空间向量的投影、投影向量】 【题型 空间向量投影、投影向量】 12．如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D．    【练习】在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 13．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 14．已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $