专题1.3 空间向量基本定理（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，系统梳理基底概念及辨析、用基底表示向量、求参数、正交分解等基础内容，进而延伸至证明平行共面、求夹角距离等应用，构建从理论到实践的学习支架。 资料设计8大题型并配套例题与变式，结合立体几何图形情境，助力学生以数学眼光观察空间形式，通过逻辑推理（数学思维）掌握向量表达（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后便于学生针对性练习，查漏补缺。

专题1.3 空间向量基本定理（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 1 【题型2 用空间基底表示向量】 4 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 6 【题型4 空间向量的正交分解】 9 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 12 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 15 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 18 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 23 考点1 空间向量基本定理 知识点1 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（25-26高二下·广西南宁·期中）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 【变式1-1】（2026高二·全国·专题练习）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【解题思路】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答过程】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【解答过程】对于A，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于B，假设共面，则存在实数使得， 整理得，这与不共面矛盾，故不共面，可以构成一组基底； 对于C，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于D，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 故选：B. 【变式1-3】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【解答过程】对于A，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故A不符合题意； 对于B，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故B不符合题意； 对于C，若共面， 则存在实数，使得， 因为为空间中的一组基底，所以，无解， 所以不共面， 所以能作为空间中的一组基底，故C符合题意； 对于D，因为， 所以是共面向量， 所以不能作为空间中的一组基底，故D不符合题意. 故选：C. 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（25-26高二下·广东广州·期中）如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的几何体及空间的基底，利用空间向量线性运算求解即可. 【解答过程】由为的中点，得， 所以. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量基本定理，结合向量加法和数乘的几何运算求解. 【解答过程】， 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二下·湖南·期中）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量基本定理，以为基底表示出即可. 【解答过程】由题意， . 故选：D. 【变式2-3】（25-26高二上·福建三明·期末）如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，用，，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的基本定理求解即可. 【解答过程】因为在平行六面体中，是的中点， 所以. 故选：A. 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 【例3】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知在四面体中，，为的中点，若.则（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【解答过程】因为，为的中点， 所以， 又，则， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·天津和平·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【解答过程】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选：A. 【变式3-2】（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【解答过程】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值．    (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)，， 【解题思路】根据空间向量的线性运算与空间向量基本定理算出答案即可． 【解答过程】（1）因为， 又， 所以，，． （2）因为 ， 又， 所以，，． 考点2 空间向量的正交分解 知识点2 空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 空间向量的正交分解】 【例4】（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，根据空间向量基本定理建立关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】解：设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【解答过程】设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 【变式4-2】（25-26高二上·山东青岛·期末）是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则__________． 【答案】 【解题思路】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【解答过程】因为，且， 由于是空间的一个单位正交基底，所以，解得， 因此. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高二上·广东广州·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则__________. 【答案】 【解题思路】设，列得相应方程组，求解可得. 【解答过程】设，则. 所以，解得. 所以. 故答案为：. 考点3 用空间向量基本定理解决相关问题 知识点3 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 【例5】（25-26高一下·河北保定·期中）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【解答过程】因为、、三点不共线，点在平面外，点满足， 设， 由题意可知、、不共面，所以，故. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·福建福州·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【解题思路】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【解答过程】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明 即可得． 【解答过程】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 【变式5-3】（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据空间向量的基本定理即可得证； （2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可推出，从而得证； （3）由，结合（2）中结论与即可得证. 【解答过程】（1）由，， 知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； （2）由，，， 得 ， 所以； （3）由（2）知， 所以 ， 所以， 即，又与有一个公共点， 所以三点共线． 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 【例6】（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【解答过程】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 【变式6-1】（25-26高二上·浙江温州·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量的线性运算可求解； （2）求得与可求直线与直线所成角的余弦值. 【解答过程】（1） （2）根据题意可设设， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【变式6-2】（25-26高二上·浙江·期中）如图，分别是三棱锥的棱、的中点，是线段上一点且，记，，．    (1)用，，表示，，； (2)若，，，，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)，，； (2). 【解题思路】（1）利用向量的线性运算及向量基本定理，将，，用，，表示出来即可； （2）由（1）得，，可求得，以及，再结合空间夹角公式，代入求值即可. 【解答过程】（1）如图，连接，结合向量线性运算及向量基本定理，可得 ， ， ．    （2）由题意，得，，， 又由（1）得，，， 所以， ， 所以， 设异面直线与所成角为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为． 【变式6-3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知在三棱柱中， ，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用空间向量的基本定理及线性运算可得，可得从而证得； （2）由向量的线性运算可得，，再根据异面直线与所成角的余弦值的公式求解即可. 【解答过程】（1）由已知该几何体是三棱柱， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以， 故，即. 所以四边形为矩形. （2）由已知， 又， ； 同理， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 【例7】（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）以为基底向量，，又，计算向量的数量积可证结论； （2）利用向量的模的计算公式可求得的长. 【解答过程】（1）以为基底向量， 则，又， 所以 ， 所以，所以； （2）由（1）可得， 所以 ， 所以，所以的长为. 【变式7-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证：. 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【解答过程】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. （3）因为． 所以. 【变式7-2】（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，当时， 【解题思路】（1）利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式； （2）假设存在点，使得，设，将、用基底表示出来，根据题意可得出，利用空间向量数量积的运算性质求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1） （2）假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 【变式7-3】（25-26高二上·四川资阳·阶段检测）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【解答过程】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，    （3）， ， ， ， 所以 ，所以的长为. 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 【例8】（25-26高二上·辽宁大连·期中）平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用空间向量基本定理表示出，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【解答过程】解：如图， 可得， 故 ． ． 故选：A. 【变式8-1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】利用基底法表示出，再根据向量模的计算公式和向量数量积的运算律即可得到答案. 【解答过程】由题意得 ， 而， ， ， 则 . 故选：A. 【变式8-2】（25-26高二上·重庆万州·阶段检测）如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算表示所求向量. （2）利用空间向量的数量积求向量的模. 【解答过程】（1） . （2）由题意：，，， ， 所以. 【变式8-3】（25-26高三上·广东广州·阶段检测）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用空间向量的基本定理可将用向量、、表示； （2）由题意得出结合空间向量数量积的运算性质得出关于的值，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】（1）由题意可得 . （2） ， 因为，所以，解得， 所以， 故. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 空间向量基本定理（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 1 【题型2 用空间基底表示向量】 2 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 3 【题型4 空间向量的正交分解】 5 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 6 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 8 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 9 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 11 考点1 空间向量基本定理 知识点1 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（25-26高二下·广西南宁·期中）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026高二·全国·专题练习）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式1-2】（25-26高二上·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（25-26高二下·广东广州·期中）如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·湖南·期中）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·福建三明·期末）如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，用，，表示为（   ） A． B． C． D． 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 【例3】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知在四面体中，，为的中点，若.则（　　） A． B． C． D．3 【变式3-1】（25-26高二上·天津和平·阶段检测）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【变式3-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值．    (1)； (2)． 考点2 空间向量的正交分解 知识点2 空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 空间向量的正交分解】 【例4】（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·山东青岛·期末）是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则__________． 【变式4-3】（25-26高二上·广东广州·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则__________. 考点3 用空间向量基本定理解决相关问题 知识点3 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 【例5】（25-26高一下·河北保定·期中）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·福建福州·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【变式5-3】（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 【例6】（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【变式6-1】（25-26高二上·浙江温州·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. (1)试用，，表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【变式6-2】（25-26高二上·浙江·期中）如图，分别是三棱锥的棱、的中点，是线段上一点且，记，，．    (1)用，，表示，，； (2)若，，，，求异面直线与所成角的余弦值． 【变式6-3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知在三棱柱中， ，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 【例7】（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长. 【变式7-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证：. 【变式7-2】（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【变式7-3】（25-26高二上·四川资阳·阶段检测）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 【例8】（25-26高二上·辽宁大连·期中）平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【变式8-2】（25-26高二上·重庆万州·阶段检测）如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【变式8-3】（25-26高三上·广东广州·阶段检测）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $