1.3 空间向量及其运算的坐标表示 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，从空间直角坐标系建立入手，系统梳理空间向量的坐标表示、运算（和差、数乘、数量积）、平行垂直判定、模长夹角公式及中点重心坐标公式，构建连贯的知识支架。 资料特色在于题型设计多样，结合正方体、四棱锥等几何体实例，通过单选、多选、解答题训练，培养空间观念（数学眼光）与逻辑推理（数学思维）。课时精练分层设计，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固，提升应用意识（数学语言），有效查漏补缺。

1.3空间向量及其运算的坐标表示 【基础回顾】 知识点1：空间直角坐标系及空间向量的坐标表示 (1)空间直角坐标系 在空间选定一点0和一个单位正交基底，j,(如图)，以点0为原点，分别以i,j,的方向为正方 向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个 空间直角坐标系O,O叫作原点，i,j,k都叫作坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称 为xOy平面，yOz平面，xOz平面，它们把空间分成八个部分 （2)空间向量的坐标表示 ①在空间直角坐标系Oxy2中，i,),飞为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA,且 点A的位置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组X,y,z,使 OA=xi+yj+zk. 在单位正交基底，j,)下与向量OA对应的有序实数组x,y,z,叫作点A在空间直角坐标系中的坐标， 记作Ax,y,z,其中x叫作点A的横坐标，y叫作点A的纵坐标，Z叫作点A的竖坐标。 ②在空间直角坐标系OxXy中，给定向量ā，作OA=a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 x,y,z,使ā=xi+yj+zk.有序实数组x,y,z叫作ā在空间直角坐标系OXyz中的坐标，上式可简 记作d=x,y,z. 知识点2：空间向量运算的坐标表示 1.点坐标与向量坐标的关系：若AX1,y1,Z1,Bx2,y2,Z2, AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-x1,y1,z1=x2-x1,y2-y1,22-21 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 2.设a=a1,a2,a3,b=b1,b2,b3,则 (1)两向量和的坐标等于两向量相应坐标的和， 即a+b=a1+b1,a2+b2,a3+b3. (2)两向量差的坐标等于两向量相应坐标的差， 即a-b=a1-b1,a2-b2,a3-b3. (3)数乘向量所得向量的坐标等于用这个数乘原来向量的相应坐标，即入ā=入a1,入a2,入a3. (4)两向量的数量积等于这两个向量相应坐标的乘积的和，即 a·b=a1b1+a2b2+a3b3: 知识点3：空间向量的平行或垂直的坐标表示 (1)空间向量平行（共线）的充要条件 设a=a1,a2,a3,6=b1,b2,b36≠0)， 则a/1ba1=1b1,a2=1b2,a3=λb31∈R. (2)空间向量垂直的充要条件 设非零向量a=a1,a2,a3,b=b1,b2,b3, aLb=ab=0=ab+azb2+a3b3=0. 知识点4：空间向量的模长公式及夹角的坐标表示 (1)空间向量长度公式的坐标表示： 若a=a1,a2,a3,则a=Vaa=a+a+a. 2 (2)空间两点的距离公式： 若AX1,y1,Z1,Bx2,y2,Z2,则 1 AB=OB-OA=x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,22-21) 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 AB)=AB2=(x2-x1+(y2-y1+(z2-z1 dn.B=x2-x1P+(y2-yiP+(zz-ziP, 注意：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量AB的坐标表示，然后再用模长公式推 出。 (3)向量的夹角坐标公式 设非零向量a=a1,a2,a3,b=b1,b2,b3,则 cos(a,B)=a.B a1b1+a2b2+a3b3 1a:bVa+a+a·Vb+b+b .夹角公式是根据向量数量积的定义à石=a·cos0推 出的.注意日的范围是0°≤0≤180°，当0=0°，90°，180°时，两向量的位置关系分别是同向共线，垂直，反向共 线 知识点5：中点坐标公式及三角形重心坐标公式 (1)中点坐标公式 空间中有两点Ax1,y1,Z1,Bx2,y2,Z2,则线段AB的中点C的坐标为 x1+x2y1+y2乙1+Z2 2 ’2’2 （2)重心坐标公式 已知△ABC的三个顶点Ax1,y1,Z1,Bx2,y2,Z2,CX3,y3,Z3,则△ABC的重心G的坐标为 x1+x2+xy1+y2+y3Z1+2+Z3 3 3 ’3 3 题型一 空间向量的坐标表示及运算 1. 已知空间向量à=2，-1,2，b=1,2,2,则向量ā在向量6上的投影向量为() 488 488 A. 9’9’9 B. 9’9’9 488 212 C.333 D. 3,3’3 2.已知点A1,1,2,向量AB=2,3,2,则点B的坐标为() A.（1,2,0) B.（-1,-2,0 C.(3,4,4 D.1,-2,0 3.已知空间向量ā=2,0，-1，b=1,1,0,c=0,入，-1，若a,6,c共面，则λ=() A.2 B.1 C.-2 D.-1 4.在空间直角坐标系O-y2中，点1，-2,3关于平面xOy对称的点为() A.1,-2,-3 B.-1,2,-3 C.1,2,-3 D.-1,-2,-3 5.已知a=2,-3,1,b=2,0,3,c=0,0,2,则a+6i-8c为() A.14,-3,3B.14,-3,-7C.10,-3,-1 D.10,-3,3 6.己知a=-3,2,5,b=1,5,-2,则a+b:ā-b=() A.21 B.8 C.68 D.3 7.在空间直角坐标系中，已知O0,0,0,A-1,0,2,B2,2,1,C4,-4,2四点，则三棱锥0-ABC的体积 为(). A.10 B.20 8.(多选)如图，在长方体ABCD-A1BC1D1中，AB=5,AD=4,AA1=3,直线DA,DC,DD1分别 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则() D D A.点B1的坐标为4,5,3) B.点C1关于点B对称的点为(5,8，-3 4 C.点A关于直线BD1对称的点为0,5,3 D.点C关于平面ABB1A1对称的点为8,5,0) 9.(多选)下列结论正确的有() A.己知a=2,-3,0,i=1,0,-2,则a-2b=5 B.若a,i,c为空间的一个基底，则a+b,b+c,a-c可构成空间的另一个基底 C.已知向量à=1，-2，x,i=x,2,1,若x<2,则à，b为钝角 D.点M为平面ABC外一点，N为平面ABC内一点，若M=府+号M峦+专MC,则t=1 10.(多选)如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为3，点M是侧面ADDA上的一个动点（含边界）， 点P在棱CC上，且PC=1.则下列结论正确的是() D A B MiD A.若保特PM=B.则点M的运动锐迹长度为号 B.保持PM与BD垂直时，点M的运动轨迹长度为2V2 C.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为2V10 99 D.当M在D点时，三棱锥B-MAP的外接球表面积为4T 题型二 向量平行的坐标表示 1.设à=1,2，-1,6=-23,2，若ka+b/a-3b, 则k的值是() A.3 C.3 D.-3 2.设x,y∈R,向量a=x,1,1,b=1,y,1,c=2,-2,2,且a1c,b/1c,则a+i=() A.2V2 B.3 c.5 D.4 5 3.设x,y∈R,向量a=2,x,1b=1,-2,yWc=2,-4,4,且à1i,b/1c,则a+b 等于() A.2V2 B.3V2 C.3 D.4 4.设x,y∈R,向量m=x,1,1,n=1,y,1,a=2,-4,2,且m⊥a,i/∥a,则x+y=() A.-1 B.-2 C.1 D.2 5.设x,y∈R,向量a=x,1,2,b=2,y,1,c=4,-4,2,且a1c,b∥c,则a-b=() A.3 B.2V3 c./14 D.27 6.在空间直角坐标系O-Xy2中，已知A(1,2,-2),B(0,1,1),下列结论错误的是() A.AB=-1,-1,3 B.点A关于Oy平面对称的点的坐标为1，-2,2) C.若i=2,1,1,则m1AB D.若i=a,-2,6,n‖BA,则a=-2 7.在空间直角坐标系中，向量ā=2,1，m,6=-2,1,2,下列结论正确的是（). A.若a∥b,则m=2 B.若à1i,则m=- 2 c.若a,为锐角，则m>号 2 D.若在6上的投影向整为号6，则m子 8.(多选)已知空间向量m=(-1,2,-3),=(3,-6,x),则下列选项中正确的是() A.当i‖n时，x=9 B.当m⊥i时，x=5 C.当x=-1时，|m+n=6 D.当x=1时，c0s(m,)=6161 161 9.(多选)给出下列命题，其中错误的是() A.若室间向量m=313,n-1,入，-1小且应五，则实数A=号 B.若a‖b,则存在唯一的实数入，使得a=λ C.若空间向量a=1,0,1,b=2,-1,2小，则向量b在向量a上的投影向量是3,0,3) D.点M3,-2,1关于平面yOz对称的点的坐标是-3，-2，-1 10.(多选)下列选项正确的是（) A.已知点B是点A2,3,1在坐标平面xOy内的射影，则OB=V13 6 B.若ā，b,c为空间的一个基底，则ā+b,ā-2i,c可构成空间的一个基底 c.已知向量ā=2,3，x,6=2x,3,1.若x<号，则<a,6>为纯角 D.若a=1,-2,3,b=-2,1,1,则a在b上的投影向量为 1-1-1 3?6,6 题型三向量垂直的坐标表示 1.在正方体ABCD-A1B,C1D1中，分别过A1,D1作直线AC1的垂线，垂足分别为M,N,则MN=（) A.子A花B.专AG c.NC, o号A花 2.已知向量m=-1,a,-1,n=1,-1,1,若m-nLn,则实数a=() A.5 B.-5 C.1 D.-1 3.己知向量à=2,0,1，b=1,1,0,且ka+b1a-2b 则k的值为() A.-1 B.1 C.2 D.3 4.已知向量a=0,2,-1,b=2,1,1,若a+mb1b,则m=() 1 A.6 B君 c分 D.-2 1 5.已知向量ā=（2，-1,1)，b=(1,x,1),c=(1,-2,-1),当a1b时，向量b在向量c上的投影数量为() A.V6 B.-V6 6V11 C. D.-6 11 11 6.正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为4，点M为CC1的中点，点P为底面A1BC1D1上的动点，满足 BP⊥AM的点P的轨迹长度为() A.2V2π B.2V2 C.2V3 D.2V3元 7.如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，点P、M、N分别为棱AA1、AB、A1B1的中点， 点Q为线段MN上的动点，则下列选项中不正确的是() B 7 A.直线C1Q与直线CP始终异面 B.直线C1Q与直线CP可能垂直 C.直线C1Q与直线BP可能垂直 D.直线C1Q与直线PQ可能垂直 8.(多选)在空间直角坐标系中，己知点A(1,1,0),B(1,0,2),C(0,1,3),D(2x-1,1,-x),则下列结论 正确的是() A.若AD L BC,则X=三 B.i=(0,2,-4)是直线AB的一个方向向量 C.cos(AB,AC)=22 D.若点Q是点B(1,0,2)在Oyz平面内的射影，则AQ1=/3 9.(多选)在空间直角坐标系中，已知点A1,1,0,B1,0,2,C2,-1,5,D1,-2,4,则下列结论正确的是 () A.AB=0,-1,2 B.A,B,C三点共线 C.BC=V11 D.AD⊥BC 10.(多选)设0为坐标原点，Q(x,y,z)是空间上任一点，向量0A=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2】 ，下列说法正确的是() A.若Q点坐标为3，-1,0)，则AB与P0共线 B.若AB⊥PQ,则X-y-Z=2 C.若Q点坐标为2,3,2)，且P,AB,Q四点共面，则z=4 2 D.若点Q在直线OP上运动，则QA·QB的最小值为3 题型四 空间向量夹角的坐标表示 1.下列命题正确的是() A.若向量à，b满足a·b<0,则向量a,b的夹角是钝角 B.若向量ā，b,c是非零向量，则向量组à，b,c是空间的一个基底 5 c.若直线l的方向向量为1,0,0，平面c的法向量为1，-1,3，则直线与平面c所成角的余弦值为5 211 D.已知向量à=1，-1,1,6=21,1，则向量à在向量6上的投影向量是333 2.已知空间内三点A-1,1,2,B-3,0,5,C0,-2,4,则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为() 8 A.73 7V3 7 B.2 C.7 D.2 3.设空间两个单位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p与向量0C=1,11的夹角都等于4，求cos∠A0B的值 () 7±1 V5±1 2±V3 3±1 A. 7 B. 7 C. D. 4 4.己已知空间三点A0,2,3,B-2,1,6,C1,-1,51.则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积是（) A.53 B.6V3 c.73 D.7V2 5.在空间直角坐标系中，A2,2,0,B1,0,2,C1,3,2,则△ABC的面积为() 3V5 A. 2 B.3V5 c D.3 ,7V2 6.己知0A=a,b,0川a<b为单位向量，且O1与0C=11,0夹角的余弦值为10，向量OB=0,b,c,则 cos∠AOB() A.有经大伯 B.有最小值5 C.有最大值5 3 D.有最小值 7.已知动点P是棱长为1的正方体ABCD-A1BC1D的对角线BD1上一点，记BD, BP=入，当∠APC为钝角 时，入的取值范围为() 0,3 B. 31 c.(o. 0 8.(多选)己知向量ā=1,1,0，b=0,1,1c=1,2,1,则下列结论正确的是（) A.向量a与向量b的夹角为6 B.c a-bl 好 C.向量ā在向量b上的投影向量为0，，)！ D.向量ā、b、c不能构成空间的一组基底 9.(多选)已知空间中三点A2,0,1,B2,2,0,C0,2,1,则下列说法正确的是() A.与AB方向相同的单位向量的坐标是0， 25_5 5，-5 9 B.AB在AC上的投影向量的坐标是-1,1,0】 C.正与成夹角的余弦值是 D.A、B两点间距离为5 10.(多选)在空间直角坐标系中，已知00,0,0，OA=0,-1,1,0B=3,0,0,OC=0,2,1,则() A.AC⊥AB B.与OA平行且模为3V2的向量的坐标为0，-3,3或0,3，-3 14 C.AC与CB夹角的余弦值为7 D.可成在0成上报影同的学标为0，号司 课时精练 一、单选题 1.设向量a=1,2,m,i=2,0,-1,若a1b,则m=() A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知d=2,-3,1,b=2,0,3,则à-6=() A.4,-3,4 B.(0,3,2 C.0,-3,-2 D.0,-3,2 3.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-x,8),a∥b,则x=() A.-5 B.-6 C.4 D.6 4.已知a=1,0,1,b=-2,-1,1,c=3,1,0,则2à-b+2c的坐标为() A.10,3,1 B.-9,-3,0 C.0,2,-1 D.9,3,0 2 5.已知AB=2,3,23,AC在AB的投影向量为AB,且BC=5,则cos<AB,ACi=() V5 2V5 4 A.5 B. 5 c. D. 6.在空间四边形ABCD中，若向量AB=-3,5,2,CD=-7,-1,-4,点E,F分别为线段BC,AD的中点， 则EF=() 10 22 30 A. 2 B. 2 c.V22 D.30 7.已知空间向量ā=(7，-1,1，平面a的一个法向量为n=3,0,4,则向量ā在平面c上的投影向量是() A.-4,1,3 B. C.4,-1,-3 D 8.已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切）， 在圆台上底面圆O1的圆周上取一点A,在圆台下底面圆O2的圆周上取一点B,且O1A⊥O2B,则直线AB与平 面O1O2A所成角的正弦值为() V7 B.4 2 .3 C.6 V13 A.7 D. 13 二、多选题 9. （多选)已知空间中三点A0,1,1,B2,2,1,C2,1,0,则() A.AC)=5 13 B.C克方向上的单位向量是0,22 C.n=1,-2,2是平面ABC的一个法向量 D.BC在AC上的投影向量的模为5 10.（多选)己知向量a=1,-1,m,b=-2,m-1,2,则下列结论中正确的是（) A.若a=2,则m=2 B.不存在实数入，使得a=λb C.若a1b,则m=-1 D.若a·b=-1,则a+b=-1,-2,2 11.(多选)如图，正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为2，E是DD1的中点，则() D C 11 A.三棱锥C1-B,CE的体积为3 B.C1E⊥平面BCE C.三棱锥C1~B1CE的外接球的表面积为 41π 4 D.由B1,C,E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为3V2+2/5 三、填空题 12.在长方体ABCD-A1BC1D1中，CC1=C1D1=2,C1B=1,P为线段BC1上一动点，则CP·D1P的最 小值为 13.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABC1D1中，Q是棱DD1上的动点.则棱锥C1-A1QC的体积为 当C1Q⊥A1C时，B1Q长度为 B 14.已知圆锥的顶点为P,AB为底面直径，M为PA中点，C为底面圆周上一点，∠BAC=30°，圆锥的体积 为，且MC·AB=2,则MB·PC= 四、解答题 15.在棱长为1的正方体ABCD-A1BC1D1中，E是棱DD1的中点，P、Q分别为线段B:D1,BD上的点， 且3B,P=PD. C A B D (1)求PE的长度： (2)若PQ⊥AE,BD=λDQ,求λ的值. 16.如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD,AB∥CD,AB=AS=AD=3,SB=32,SD=3V3, CD=2. 12 (1)求证：AB⊥SD: ..BM (2)若点M是线段BS(含端点)上一点，直线MC与平面BDS所成角的正弦值为求Bs的值. 17.如图，四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC都是等腰直角三角形，∠BAC=∠ADC=90,平面 PAB⊥平面ABCD,PA=3V2,AD=2,PB=V26,点M在棱PB上. B (1)证明：PA⊥平面ABCD: (2)若PD/I平面AMC,求线段PM长度. 18.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那 么这样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标 系称为“斜60坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i,, 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量i=xi+yj+z,则与有 序实数组x,y,z相对应，称向量的斜60°坐标为x,y,z,记作=x,y,z 1)若a=1,2,3,b=|-1,1,2,求à+b的斜60坐标： (2)在平行六面体ABCD-A1B,CD1中，AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，如 图，i,j,分别为与AB,AD,AA同方向的单位向量，以i,j,为基底建立“空间斜60°坐标系”. 2 ①若B范=EB1,求向量ED1的斜60坐标： 13 ②若AM=|2,t,0,且AM1AC1,求AM. 19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=12,∠BCD=?,对角线AC与BD相交于点 O,点P在平面ABCD上的投影为点H,|PH=63. (1)若点H与点O重合，求证：PA=PC: (2)若|PO=313,求直线P0与直线AC所成角的余弦值的取值范围. 14 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【基础回顾】 知识点 1: 空间直角坐标系及空间向量的坐标表示 （1）空间直角坐标系 在空间选定一点 和一个单位正交基底 （如图），以点 为原点,分别以 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫作坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 叫作原点， 都叫作坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为 平面， 平面， 平面, 它们把空间分成八个部分. （2）空间向量的坐标表示 ①在空间直角坐标系 中， ， ， 为坐标向量，对空间任意一点 ， 对应一个向量 ，且点 的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使 . 在单位正交基底 下与向量 对应的有序实数组 ，叫作点 在空间直角坐标系中的坐标，记作 ,其中 叫作点 的横坐标, 叫作点 的纵坐标， 叫作点 的竖坐标。 ②在空间直角坐标系 中，给定向量 ，作 ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使 . 有序实数组 叫作 在空间直角坐标系 中的坐标，上式可简记作 知识点 2: 空间向量运算的坐标表示 1.点坐标与向量坐标的关系：若 , 则 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 2.设 ，则 （1）两向量和的坐标等于两向量相应坐标的和， 即 . （2）两向量差的坐标等于两向量相应坐标的差， 即 . （3）数乘向量所得向量的坐标等于用这个数乘原来向量的相应坐标， 即 . （4）两向量的数量积等于这两个向量相应坐标的乘积的和，即 知识点 3: 空间向量的平行或垂直的坐标表示 （1）空间向量平行（共线）的充要条件 设 , 则 . （2）空间向量垂直的充要条件 设非零向量 , 则 . 知识点 4: 空间向量的模长公式及夹角的坐标表示 （1）空间向量长度公式的坐标表示： 若 ，则 . （2）空间两点的距离公式： 若 ，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ② 或 . 注意: 两点间距离公式是模长公式的推广, 首先根据向量的减法推出向量 的坐标表示,然后再用模长公式推出。 （3）向量的夹角坐标公式 设非零向量 ,则 . 夹角公式是根据向量数量积的定义 推出的. 注意 的范围是 ,当 时，两向量的位置关系分别是同向共线,垂直,反向共线. 知识点 5: 中点坐标公式及三角形重心坐标公式 （1）中点坐标公式 空间中有两点 ,则线段 的中点 的坐标为 （2）重心坐标公式 已知 的三个顶点 ,则 的重心 的坐标为 . 题型一 空间向量的坐标表示及运算 1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 2．已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题，，， 所以，，， 因此点的坐标为. 3．已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，列出方程组求解即可． 【详解】因为共面，所以存在，使得， 即，解得， 所以． 4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于平面对称的点，横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为原坐标的相反数， 已知点的坐标为，按照规律可得关于平面的对称点坐标为. 5．已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 6．已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 7．在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（    ）． A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量法证明三棱锥的高，再求解向量的夹角，从而可求三棱锥的体积． 【详解】由，，， 得，，所以，． 又，，平面， 所以平面． 因为，所以， 所以． 故选：D 8．（多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及已知可得，点的坐标为，A选项正确； 点关于点对称的点为，B选项错误； 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为，C选项正确； 点关于平面对称的点为，D选项正确； 9．（多选）下列结论正确的有（   ） A．已知，，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角 D．点为平面外一点，为平面内一点，若，则 【答案】AD 【分析】对于根据空间向量坐标运算求模即可；对于根据向量共面判定定理判定；对于，令，则，此时从而判定；对于根据四点共面的向量判定定理求解. 【详解】对于,因为，， 则， 所以， 故正确； 对于若三个向量共面， 则存在实数， 使得， 解得， 则， 所以三个向量共面， 不可以构成空间向量的基底，故错误； 对于,因为，， 当时，，， 则，此时,不为钝角， 则错误； 对于因为是平面内一点， 根据四点共面的向量判定定理知： ，解得， 故正确， 故选： 10．（多选）如图，正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且．则下列结论正确的是（    ） A．若保持．则点的运动轨迹长度为 B．保持与垂直时，点的运动轨迹长度为 C．沿正方体的表面从点到点的最短路程为 D．当在点时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【分析】由可知，可过点作平面，即可找到动点的运动轨迹；找出与垂直的平面，与平面的交线即为动点的轨迹；将平面和平面沿展开在同一平面上求点到点的最短路程；将建立空间直角坐标系求解三棱锥的外接球的半径. 【详解】对于A，过点作平面，以为圆心，为半径在平面内作圆交于点,则即为点的运动轨迹， ∵，∴ , ∴，∴， ∴的长为，则A正确； 对于B，∵平面,平面，∴, ∵，平面，平面，， ∴平面， ∵平面，∴，同理可证， ∵平面，，平面，∴平面， 找上的点，使得，找上的点，使得,连接， ∵，， ∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵ ，平面， 平面，∴平面， ∵平面，平面，， ∴平面平面，∴平面， 在上找一点使得，连接, ∵，，∴， ∴四点共面，∴平面， ∴点的轨迹为线段, ，则B正确； 将平面和平面沿展开在同一平面上，从点到点的最短路程为,则,则C错误； 分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径, ∴三棱锥的外接球表面积为,则D正确； 故选：ABD 题型二 向量平行的坐标表示 1．设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 2．设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 3．设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合向量垂直和共线向量的充要条件可得出的值，再利用向量的加法和模长公式求解得出。 【详解】 ， 即，得，所以， ，. 故答案选： 4．设，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据向量垂直和平行的坐标运算化简求值. 【详解】由题意得，，，得，， 则. 故选：A 5．设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量平行及垂直的坐标表示求出，然后由向量模的坐标表示求解． 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以. 故选：C 6．在空间直角坐标系中， 已知，， 下列结论错误的是（   ） A． B．点关于平面对称的点的坐标为 C．若， 则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据点的坐标可得向量坐标，即可判断A；根据对称的性质可判断B；向量法可判断直线的位置关系，即可判断C；根据向量共线定理可判断D. 【详解】对于A，由题意，故A正确； 对于B，关于平面对称的点的坐标相同，坐标相反， 因此点关于平面对称的点的坐标为，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若且，则，解得，D正确. 故选：B． 7．在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】C 【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，且，所以， 即，方程组无解，故不存在使得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确； 对于D：因为，， 若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误； 故选：C 8．（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当 时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 9．（多选）给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】BCD 【分析】根据空间向量平行的坐标表示判断A；根据向量共线定理判断B；求出向量在向量上的投影向量，判断C；求出点关于平面对称的点的坐标，判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，所以A说法正确； 对于B，当时，恒成立，而实数不唯一或不存在，所以B说法错误； 对于C，向量在向量上的投影向量是，所以C说法错误； 对于D，点关于平面对称的点的坐标是，所以D说法错误. 故选：BCD. 10．（多选）下列选项正确的是（    ） A．已知点是点在坐标平面内的射影，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，若，则为钝角 D．若，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】求出点的坐标，并求出，判断A；根据基底的定义判断B；利用空间向量的数量积求与夹角的余弦值，判断C；求出在上的投影向量，判断D. 【详解】点是点在坐标平面内的射影，所以点的坐标为，所以.所以A正确. 若为空间的一个基底，则不在由确定的平面内. 则均在由确定的平面内，且不共线，所以可与构成空间的另一个基底.所以B正确. 已知向量， 若，则， 此时，，所以C错误. 若， 则在上的投影向量为.所以D正确. 故选：ABD. 题型三 向量垂直的坐标表示 1．在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，，结合题意求得，进而利用可求解. 【详解】在正方体中， 以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 则，，， 设，所以， 所以，解得，所以. 设，所以， 所以，解得，所以. 所以. 2．已知向量，，若，则实数（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】应用向量的坐标运算求得，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，而， 所以， 所以. 故选：B 3．已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求出和的坐标，由两向量垂直得其数量积为零，从而求出的值. 【详解】由已知得. 因为， 所以，解得． 故选：C. 4．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直则向量的数量积为零，结合向量的坐标运算计算即可. 【详解】，因为，故， 得，解得. 故选：B. 5．已知向量，当时，向量在向量上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，列出方程求得，得到，结合向量的数量积和投影的数量的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，即， 则，且， 所以向量在上的投影数量为. 故选：B. 6．正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段，进而求解即可. 【详解】以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 所以，设点， 所以， 由， 所以，所以， 又，所以， 所以点的轨迹为平面上的线段：，即图中线段， 所以. 7．如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是（    ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线可能垂直 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义可判断A选项；解法一：建系，利用空间向量法可判断BCD选项；解法二：利用空间向量垂直的关系可判断BD选项；证明出平面，可判断C选项. 【详解】在正三棱柱中，且，四边形为平行四边形， 且， 点分别为棱的中点，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 四点不共面，直线与始终异面，故A正确； 法一：为等边三角形，为的中点，， 又平面，平面， 如图，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设， 对于B，，， 若，则，，， ，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误； 对于C，，， 若，则，，， 故当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确； 对于D，，， 若，则，，或， 故当点在的位置或为中点时，直线与直线垂直，故D正确； 法二：对于B，设， 则，， 若直线与直线垂直，则，， ，，解得， ，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误； 对于C，连接、， 如图3，，为的中点，， 平面，平面，， ，、平面，平面， 又平面，， 当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确； 对于D，， ， ，解得或， 故当在点的位置或为中点时，，故D正确. 故选：B． 8．（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】AB 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示即可判断C；对D，根据点在平面的投影可得点，由向量模长公式计算可判断D. 【详解】对于A，，，因为， 则，解得，故A正确； 对于B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，易知点在平面内的射影为， 可知，所以，故D错误. 9．（多选）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 【答案】AC 【分析】使用空间向量的坐标表示及其运算即可求得A，使用空间向量共线定理结合数乘运算解B，使用空间向量的模的运算解C，由空间向量垂直的判定结合空间向量数量积的坐标运算解D即可. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得， 若三点共线，则存在实数，使得， 即，无解，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由题意得， ， 即与不垂直，故D错误. 10．（多选）设O为坐标原点，是空间上任一点，向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若Q点坐标为，则与共线 B．若，则 C．若Q点坐标为，且P，A，B，Q四点共面，则 D．若点Q在直线OP上运动，则的最小值为 【答案】AC 【分析】根据空间向量共线定理可判断A；根据空间向量垂直的坐标表示可判断B；根据空间向量共面定理求解可判断C；根据空间向量共线定理可表示出，进而计算，利用二次函数的性质求出最值可判断D． 【详解】向量，，，Q点坐标为， 则，， 所以，则与共线，故A正确； ，， 若，则，即，故B错误； 若Q点坐标为，则，又，， 若P，A，B，Q四点共面，则， 即， 则，解得，故C正确； ∵，点直线上运动， ∴可设， 又向量， ∴， ， ∴当时，取得最小值，故D错误， 故选：AC． 题型四 空间向量夹角的坐标表示 1．下列命题正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是 【答案】D 【详解】对于A，若，反向，满足，但向量，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，假设，则共面，此时不能作为空间的基底，故B错误； 对于C，设与所成角为，则，即与所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 2．已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】应用向量夹角余弦公式计算，再结合同角三角函数关系得出正弦，进而应用面积公式计算求解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 故选：A. 3．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的坐标表示代入化简可得，结合单位向量模长，代入化简可得，进而可得. 【详解】由已知，均为单位向量，可知， 又，则； 同理，则， 代入， 即，解得， 故选：C. 4．已知空间三点，，.则以，为邻边的平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的坐标表示及运算结合三角形面积公式计算即可. 【详解】易知, 所以，则， 所以，为邻边的平行四边形的面积为. 故选：C 5．在空间直角坐标系中，，则的面积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据坐标求三角形的边长和夹角的余弦值和正弦值，最后代入三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题可知，且， ，故的面积为. 故选：A. 6．已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的定义和坐标运算可得，再结合即可得出，最后利用夹角公式求最值. 【详解】由题可知①， 又②，①②联立， 结合，得，. 因为， 所以当时，取得最大值为. 故选：A 7．已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 8．（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量、、不能构成空间的一组基底 【答案】BCD 【分析】利用空间向量的夹角公式可判断A选项；利用空间向量垂直的坐标关系可判断B选项；利用投影向量的概念可判断C选项；利用空间向量基底的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 又因为，所以，故向量与向量的夹角为，A错； 对于B选项，， 所以，故，B对； 对于C选项，向量在向量上的投影向量为，C对； 对于D选项，设，即， 所以，解得，故，即、、共面， 所以向量、、不能构成空间的一组基底，D对. 故选：BCD. 9．（多选）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A、B两点间距离为 【答案】ABD 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】由题可得， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确， 在上的投影向量的坐标是，故B正确； 与夹角的余弦值是，故C错误； A、B两点间的距离即，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】根据向量的坐标运算即可求解AB，根据夹角公式以及投影向量的计算公式即可求解CD. 【详解】对A， 因为，所以A错误； 对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确； 对C，又因为， 所以与夹角的余弦值为，所以C错误； 对D在上投影向量为：，所以选项D正确． 故选：BD． 课时精练 一、单选题 1．设向量，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得， ∵，， ∴，解得. 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以. 3．已知，，，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【详解】因为，所以，故. 4．已知，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得. 5．已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 6．在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 7．已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 8．已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆的圆周上取一点A，在圆台下底面圆的圆周上取一点B，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用内切圆台的性质求出圆台高，建立空间直角坐标系后，结合线面角的定义，用点到平面距离除以线段长得到所求正弦值. 【详解】已知圆台上下底面半径分别为，，且圆台存在内切球， 根据圆台内切球性质，母线长. 由勾股定理，圆台的高满足： 代入得，即. 以为原点，以所在直线为轴，以过与平行的直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 平面即为（平面），点到平面的距离； ， 设直线与平面所成角为，由线面角定义可知 . 二、多选题 9．（多选）已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 【答案】CD 【分析】根据向量的模及单位向量的定义求解选项AB，根据法向量定义求解选项C，根据投影向量概念求解选项D. 【详解】对于选项A，，，故A错误； 对于选项B，,方向上的单位向量是，故B错误； 对于选项C，，由于共面且不共线， , 所以，是平面的一个法向量，故C正确； 对于选项D, , 在上的投影向量的模为,故D正确. 10．（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．不存在实数，使得 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】选项A， 根据空间向量模长公式，若，则， 得，即，故A错误； 选项B， 若存在实数使得，则对应坐标成比例 ， 由解得，此时矛盾，因此不存在这样的，故B正确； 选项C ，若，则，计算得 令，得，故C错误； 选项D， 若，即，得， 此时，符合结论，故D正确. 11．（多选）如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．平面 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据等积变换可求三棱锥的体积；对于选项B，可用反证法说明；对于选项C，可通过建立空间直角坐标系求出外接球的半径，从而得出表面积；对于选项D，作出过三点确定的平面与正方体相交形成的截面，进而求得截面的周长. 【详解】对于A，三棱锥的体积 ，故A正确； 对于B，因为，所以与不垂直， 所以与平面不可能垂直，故B错误； 对于C，坐标法：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设外接球的球心为，则 ， ， ， 求得，故C正确； 对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形为的中点（平行则四点共面）， 等腰梯形的周长为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积计算公式即可求解． 【详解】如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 则当时取得最小值，此时最小值为． 13．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 【答案】 【分析】利用等体积法计算得三棱锥的体积；建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示求出点坐标，进而求出长度. 【详解】在棱长为1的正方体中，是棱上的动点， ，因此棱锥的体积； 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，于是， 由，得，解得，因此， 所以长度为. 14．已知圆锥的顶点为，为底面直径，为中点，为底面圆周上一点，，圆锥的体积为，且，则__________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求出圆锥的底面半径和高，利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】如图，取的中点，的中点，以为原点，所在的射线分别为轴建立空间直角坐标系. 设圆锥的底面半径为，高为. 则，，，. 所以，， 由 . 又圆锥的体积为，所以 . 所以，所以，， 所以 . 故答案为： 四、解答题 15．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，设点P的坐标为，根据求出点坐标，即可利用向量的模求出的长度； （2）设Q的坐标为，根据向量垂直即可求出Q的坐标，进而利用可求出. 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则 ， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 16．如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)求证：； (2)若点是线段（含端点）上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理结合已知条件证明结论； （2）建立空间直角坐标系，得出点和相关向量坐标，进而求出法向量，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程，进而求出． 【详解】（1）已知，则， 为直角三角形，且， ，且，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面， 平面， ． （2）以为坐标原点，为轴正向，为轴正向，过点垂直于轴为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则，设， ， ，解得， ， 设，，则， ， ，故， ，设平面的法向量为，则 ，令，故， 直线与平面所成角的正弦值为，设该角为， 则， ，化简整理得， 解得或， ， ，故． 17．如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上． (1)证明：平面； (2)若平面，求线段PM长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先判断PA与AB的垂直关系，再根据面面垂直的性质定理，推出平面 （2）先建立空间直角坐标系，写出相关点和向量坐标，根据可由和线性表示，列出方程求解计算即可 【详解】（1）因为与都是等腰直角三角形，，， 所以， 中，， 故，即 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面 （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，如图所示 ， ，， 设，则， 因为平面，，所以可由和线性表示， 设，则，解得 所以， 所以 18．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作. (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，，，分别为与，，同方向的单位向量，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜60°坐标； ②若，且，求. 【答案】(1) (2)①；②2 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设分别为与同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到 ，从而得到求向量的斜坐标；②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【详解】（1）， 的斜坐标为． （2）设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 19．如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过全等三角形得到结论； （2）利用，，求出，从而得到的运动轨迹是圆，通过空间向量法得到的方程及方程中的范围，利用数量积得到直线与直线所成角的余弦值，结合的范围得到所求余弦值的范围. 【详解】（1）证明：在平面上的投影为，点与点重合， 平面，平面，，. 四边形为菱形，，，. （2），. ， 是以为圆心，以3为半径的圆上的点， 以为原点，分别为轴，过作的平行线作为，如图所示， 设，则有，则， ，，，， ，，， 设直线与直线所成角为， 则， ，，，， ，故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $