规范练54 双曲线-2027届高三数学一轮复习试题

**基本信息** 聚焦双曲线定义与性质，以题载法构建"定义应用-性质推导-综合拓展"的解题体系，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10题|定义法求焦点距离差、离心率公式转化、渐近线斜率分类讨论|从双曲线定义生成标准方程，推导离心率与渐近线关系，应用于基础计算| |综合提升练|6题|焦点三角形勾股定理、轨迹方程模型构建、圆与渐近线位置关系转化|结合圆/抛物线综合应用，深化a,b,c几何意义，培养复杂问题的数学模型观念|

课时规范练54　双曲线 (分值:81分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,则|PF2|-|PF1|=(　　) A.-8 B.8 C.10 D.-10 2.(2025·北京,3)双曲线x2-4y2=4的离心率为(　　) A. B. C. D. 3.(2024·全国甲,理5)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(　　) A.4 B.3 C.2 D. 4.已知双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,若左支上的两点A,B与左焦点F1三点共线,且△ABF2的周长为8,则|AB|=(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 5.(2025·广西柳州模拟)在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,则点M的轨迹方程为(　　) A.=1(x≠±5) B.=1(x≠±5) C.=1(x≠±5) D.=1(x≠±5) 6.(2025·河南南阳模拟)已知双曲线C的中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,且双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线C的离心率为(　　) A.2 B.3 C.3或 D.2或 7.(2025·四川自贡模拟)双曲线y2-=1的离心率为,则该双曲线的焦点到它的渐近线的距离为(　　) A.1 B.2 C. D.3 8.(2020·全国Ⅲ,理11)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 9.(2025·江西八所重点中学联考)若双曲线C1:=1(a>0,b>0)的渐近线与圆C2:(x-2)2+y2=3有公共点,则双曲线C1的离心率的取值范围为(　　) A.(0,] B.(1,] C.(0,2] D.(1,2] 10.(2025·安徽江淮十校模拟)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线的倾斜角分别为α,β,若α=3β,则双曲线C的离心率为　　　　　.  综合提升练 11.(2026·浙江宁波高三上学期高考模拟)双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是以F1F2为直径的圆与双曲线E的一个交点,若|PF1|+|PF2|=|F1F2|,则双曲线E的离心率为(　　) A. B. C. D. 12.(2025·天津,9)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P.若|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,则双曲线的离心率为(　　) A.2 B.5 C. D. 13.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过点F2作直线l与双曲线C的右支交于A,B两点.若△F1AB的周长为10b,则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A.[] B.[] C.[,2] D.[2,+∞) 14.(多选题)已知点P在双曲线C:=1上,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有(　　) A.点P到x轴的距离为 B.|PF1|+|PF2|= C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠F1PF2= 15.P为双曲线x2-=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为　　　　　.  16.(2023·新高考Ⅰ,16)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,=-,则C的离心率为　　　　　.  参考答案 课时规范练54　双曲线 1.A　解析 因为双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,所以|PF2|-|PF1|=-2a=-8. 2.B　解析 由题意得双曲线的标准方程为-y2=1,∴a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5,∴a=2,c=,则e=.故选B. 3.C　解析 设点P(-6,4),F1(0,-4),F2(0,4),则e==2.故选C. 4.A　解析 因为双曲线C:x2-y2=1,所以a=1.由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a=2,|BF2|-|BF1|=2a=2,两式相加得|AF2|+|BF2|-|AB|=4a=4.△ABF2的周长为8,即|AF2|+|BF2|+|AB|=8,两式相减得|AB|=2. 5.A　解析 设点M(x,y),由kAM·kBM=(x≠±5),可得4x2-9y2=100(x≠±5),即得点M的轨迹方程为=1(x≠±5).故选A. 6.D　解析 由题意,双曲线的渐近线方程为y=±x,当双曲线C的焦点在x轴上时,可得,所以e==2;当双曲线C的焦点在y轴上时,可得,所以e=. 综上,双曲线C的离心率为2或.故选D. 7.B　解析 在y2-=1中,a=1,故=c=,故b2=c2-a2=5-1=4,故b=2,所以双曲线的焦点坐标为(0,±),渐近线方程为y=±x,即x±2y=0,所以该双曲线的焦点到它的渐近线的距离为=2.故选B. 8.A　解析 不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n,依题意得,解得a=1. 9.D　解析 ∵双曲线的渐近线为bx±ay=0,且与圆(x-2)2+y2=3有公共点, ∴圆心到渐近线的距离不大于半径,即,∴b2≤3a2,∴b2=c2-a2≤3a2,∴1<e=≤2.故选D. 10.　解析 因为α=3β,α+β=π,所以α=,β=. 双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程分别为y=±x,若α=3β,则y=x的倾斜角为β,y=-x的倾斜角为α,即tan β==1,又e>1,所以可得e=,则双曲线C的离心率为. 11.D　解析 如图,不妨令点P在y轴右侧,则|PF1|-|PF2|=2a. 因为|PF1|+|PF2|=|F1F2|=c,所以|PF1|=c+a,|PF2|=c-a. 因为点P在以F1F2为直径的圆上,所以△PF1F2是直角三角形,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即(c+a)2+(c-a)2=4c2,化简得a2=c2,所以离心率e=.故选D. 12.A　解析 由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,而|PF1|+|PF2|=3|F1F2|=6c, ∴|PF1|=a+3c,|PF2|=3c-a.又=c,∴p=2c,即y2=4cx. 如图,设P(x0,y0),过点P作PH垂直于准线x=-,H为垂足. 由抛物线定义得|PF2|=x0+c=3c-a,∴x0=2c-a. 又|PH|=|PF2|,|PH|2+=|PF1|2,∴|PF2|2+=|PF1|2,∴y0=.代入方程y2=4cx,得12ac=4c(2c-a).∴2a=c,则e==2.故选A. 13.A　解析 由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,两式相加可得|AF1|+|BF1|=4a+|AB|,则△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=10b,即|AB|=5b-2a.由|AB|≥,可得5ab-2a2≥2b2,解得≤2.故e=∈[].故选A. 14.BC　解析 设点P(xP,yP).因为双曲线C:=1,所以c==5.又×2c|yP|=×10×|yP|=20,所以|yP|=4,故A错误.将|yP|=4代入=1得=1,得|xP|=.由双曲线的对称性,不妨取点P的坐标为(,4),得|PF2|=.由双曲线的定义得|PF1|=|PF2|+2a=+8=,所以|PF1|+|PF2|=,故B正确.在△PF1F2中,|PF1|=>2c=10>|PF2|=,且cos∠PF2F1==-<0,则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,故C正确.由余弦定理得cos∠F1PF2== ,所以∠F1PF2≠,故D错误.故选BC. 15.5　解析 双曲线的两个焦点F1(-4,0),F2(4,0)分别为两圆的圆心, 圆F1与圆F2的半径分别为r1=2,r2=1,易知|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2+3=5. 16.　解析 (方法1　坐标法) 设A(x,y),B(0,m),不妨令点A在第一象限,则m<0.设F1(-c,0),F2(c,0),其中c>0,则=(x+c,y),=(c,m),=(x-c,y),=(-c,m). 由=-, 有=(x+c)c+ym=0, (*) 由(*)式得代入(x+c)c+ym=0中,得m=-2c. 则点A坐标为(c,c),代入=1中,有=1,即25e2-=9,解得e2=或e2=(舍去),故e=. (方法2　解三角形法) 由=-,得. 设|F2A|=2x,|F2B|=3x. 由对称性可得|F1B|=3x. 由定义可得,|AF1|=2x+2a,|AB|=5x.设∠F1AF2=θ,则sin θ=, 从而cos θ=,解得x=a, 所以|AF1|=4a,|AF2|=2a. 在△AF1F2中,由余弦定理可得cos θ=, 即5c2=9a2,从而可得e=. 学科网（北京）股份有限公司 $