直线的方程及位置关系 专项训练-2026届高三数学一轮复习

直线的方程及位置关系 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2024·岳阳三模)直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是(　　) A．(3,2) B．(2,3) C．(3，－2) D．(2，－3) 2．若两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(　　) A．a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝ C．a＝－6，d＝ D．a＝6，d＝ 3．(人A选必一P80T15)若□ABCD的四条边所在直线的方程分别是l1：x－4y＋5＝0，l2：2x＋y－8＝0，l3：x－4y＋14＝0，l4：2x＋y＋1＝0，则□ABCD的面积为(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 4．(2024·湖北八市联考)设直线l：x＋y－1＝0，一束光线从原点O出发沿射线y＝kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N．若||＝，则k的值为(　　) A． B． C． D．2 二、多项选择题 5．已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是(　　) A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0 C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0 6．已知直线l1：3x＋2y－m＝0，l2：xsinα－y＋1＝0，则(　　) A．当m变化时，l1的倾斜角不变 B．当α变化时，l2过定点 C．l1与l2可能平行 D．l1与l2不可能垂直 7．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“W直线”．下列直线是“W直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x＋10 三、填空题 8．(2024·天津卷)若圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为____． 9．已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0．若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则实数a＝____． 10．已知点A(1，2)，B(a，b)，C(c，d)，若A是直线l1：ax＋by＋1＝0和l2：cx＋dy＋1＝0的公共点，则直线BC的方程为____． 四、解答题 11．设直线l1：2x－y＋3＝0和直线l2：x＋y＋3＝0的交点为P． (1) 若直线l经过点P，且与直线x＋2y＋5＝0垂直，求直线l的方程； (2) 若直线m与直线x＋2y＋5＝0关于点P对称，求直线m的方程． 12．已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0． (1) 求证：不论m为何实数，直线l过定点M； (2) 过定点M作一条直线l1，使直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，求直线l1的方程． B组　滚动小练 13．(2025·肇庆一模)(多选)将自然数1,2,3,4,5，…按照如图排列，我们将2,4,7,11,16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是(　　) A．37 B．58 C．67 D．79 14．(2025·无锡期中)已知函数f(x)＝x2＋aln(x＋1)，a∈R． (1) 若函数f(x)有两个不同的极值点，求a的取值范围； (2) 求函数g(x)＝f(x)－x的单调递减区间． 1. A 2. D　【解析】 依题意知直线2x－y＋3＝0与直线ax－3y＋4＝0平行，得2×(－3)－(－1)×a＝0，解得a＝6，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和6x－3y＋4＝0，即6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，所以两直线间的距离d＝＝. 3. A　【解析】 如图，由l1：x－4y＋5＝0，l2：2x＋y－8＝0联立得交点C(3，2)；由l1：x－4y＋5＝0，l4：2x＋y＋1＝0联立得交点B(－1，1)；由l2：2x＋y－8＝0，l3：x－4y＋14＝0联立得交点D(2，4).由点D到l1：x－4y＋5＝0的距离d＝＝，|BC|＝＝，故S▱ABCD＝|BC|×d＝×＝9. (第3题) 4. B　【解析】 如图，设点O关于直线l的对称点为A(x1，y1)，则解得即A(1，1).由题意知y＝kx(x≥0)与直线l不平行，故k≠－1.联立得即P，故直线AP的斜率为kAP＝＝，直线AP的方程为y－1＝(x－1).令y＝0，得x＝1－k，故M(1－k，0).令x＝0，得y＝1－，故由对称性可得N.由||＝得(1－k)2＋＝，即－2＝，解得k＋＝或k＋＝－.当k＋＝时，k＝或k＝.若k＝，则第二次反射后光线不会与y轴相交，故不符合条件；若k＝，经检验符合条件；又k＋≥2或k＋≤－2，故k＋＝－不符合条件．综上，k＝. 　 (第4题) 5. AC　【解析】 由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为＝－4，所以直线l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时，l的斜率为＝－，此时l的方程是y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0. 6. AB　【解析】 对于A，当m变化时，直线l1：3x＋2y－m＝0的斜率为k＝－，所以l1的倾斜角不变，故A正确；对于B，直线l2：x sin α－y＋1＝0恒过定点(0，1)，故B正确；对于C，假设l1与l2平行，则－3＝2sin α，即sin α＝－，这与sin α∈[－1，1]相矛盾，所以l1与l2不可能平行，故C不正确；对于D，假设l1与l2垂直，则3sin α－2＝0，即sin α＝，所以l1与l2可能垂直，故D不正确． 7. BC　【解析】 设点M到直线的距离为d，对于A，d＝＝3>4，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故A不符合题意；对于B，d＝2<4，所以在直线上可以找到不同的两点到点M的距离等于4，故B符合题意；对于C，d＝＝4，故直线上存在一点到点M的距离等于4，故C符合题意；对于D，d＝＝4>4，故直线上不存在到点M的距离等于4的点，故D不符合题意． 8. 　【解析】 圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1，0)，故＝1，即p＝2.由消去y可得x2＋2x－24＝0，解得x＝4或x＝－6(舍去)，故A(4，±4)，直线AF：y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，则原点到直线AF的距离为d＝＝. 9. －1或或－2　【解析】 由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×(－2)＝1×2，解得a＝－1；②当l3∥l2时，不能构成三角形，此时a×3＝4×2，解得a＝；③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时联立l1与l2，得解得所以l1与l2的交点为(－2，1)，将(－2，1)代入l3，得a×(－2)＋2×1－6＝0，解得a＝－2.综上，当a＝－1或或－2时，不能构成三角形． 10. x＋2y＋1＝0　【解析】 由点A(1，2)在l1：ax＋by＋1＝0上可知a＋2b＋1＝0.同理由点A(1，2)在l2：cx＋dy＋1＝0上可知c＋2d＋1＝0，故点B(a，b)与C(c，d)均满足方程x＋2y＋1＝0.由于两点确定一条直线，因此直线BC的方程为x＋2y＋1＝0. 11. 【解答】 (1) 由得交点P(－2，－1).由直线l与直线x＋2y＋5＝0垂直，则可设直线l的方程为2x－y＋c＝0.又直线l过点P(－2，－1)，代入得2×(－2)－(－1)＋c＝0，解得c＝3，所以直线l的方程为2x－y＋3＝0. (2) 方法一：由题意可得直线m与直线x＋2y＋5＝0平行，则可设直线m的方程为x＋2y＋t＝0(t≠5)，由直线m与直线x＋2y＋5＝0关于点P(－2，－1)对称，可得P(－2，－1)到两条直线的距离相等，即＝，解得t＝5(舍去)或t＝3，所以直线m的方程为x＋2y＋3＝0. 方法二：设直线m上任意一点M(x，y)，则点M关于点P(－2，－1)对称的点为N(－4－x，－2－y)，且点N(－4－x，－2－y)在直线x＋2y＋5＝0上，得(－4－x)＋2×(－2－y)＋5＝0，化简得直线m的方程为x＋2y＋3＝0. 12. 【解答】 (1) 直线l的方程转化为(2x＋y＋4)＋m(x－2y－3)＝0，令解得所以无论m为何实数，直线l过定点M(－1，－2). (2) 过定点M(－1，－2)作一条直线l1，使直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，则直线l1过点(－2，0)，(0，－4).所以直线l1的方程为＋＝1，即2x＋y＋4＝0. 13. ACD　【解析】 不妨设第n(n∈N*)个“拐弯数”为an，不难发现a1＝2，a2＝4＝a1＋2，a3＝7＝a2＋3，a4＝11＝a3＋4，…，所以an－an－1＝n(n≥2)，利用累加法得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，因而an＝，当n＝1时，也符合上式，所以an＝(n∈N*).代入选项验算可知A，C，D三个选项正确． 14. 【解答】 (1) 函数f(x)＝x2＋a ln (x＋1)的定义域为{x|x>－1}，求导得f′(x)＝2x＋＝，令f′(x)＝0，可得2x2＋2x＋a＝0.因为函数f(x)有两个不同的极值点，所以2x2＋2x＋a＝0有两个大于－1的不等实根，所以解得0<a<，所以a的取值范围为. (2) g(x)＝f(x)－x＝x2＋a ln (x＋1)－x，x>－1，求导得g′(x)＝2x＋－＝＝＝，令g′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.当a>8时，－1>1，由g′(x)<0，可得1<x<－1，函数g(x)在上单调递减；当a＝8时，－1＝1，由g′(x)<0，可得x∈∅，函数g(x)无单调递减区间；当0<a<8时，－1<－1<1，由g′(x)<0，可得－1<x<1，函数g(x)在上单调递减；当a≤0时，－1≤－1，由g′(x)<0，可得－1<x<1，函数g(x)在(－1，1)上单调递减．综上，当a>8时，函数g(x)在上单调递减，当a＝8时，函数g(x)无单调递减区间，当0<a<8时，函数g(x)在上单调递减，当a≤0时，函数g(x)在(－1，1)上单调递减． 学科网（北京）股份有限公司 $