单元集训卷13　平面向量-2027年高考数学一轮复习单元集训专题

**基本信息** 平面向量单元集训卷，覆盖坐标运算、数量积、三角形应用等核心知识点，基础题与综合题梯度设计，适配一轮复习巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|坐标运算、线性表示（如四边形向量分解）|基础巩固，直接考查概念应用| |选择题（多选）|3/18|向量平行与垂直、三角形重心（如第10题）|多角度辨析，综合概念理解| |填空题|3/15|向量垂直求参数、中点向量（如第13题）|简洁考查计算与转化能力| |解答题|5/77|夹角与投影、三角形动点范围（如第19题）|分层设问，几何与向量结合，体现逻辑推理|

单元集训卷13　平面向量 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】已知向量，，若，则，解得，故A正确. 2．如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的基底，利用向量的线性运算，结合几何图形求解即得. 【详解】依题意， . 故选：C 3．已知平面向量，且与的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数量积和模的坐标计算公式及夹角公式计算可得的值. 【详解】由， 可得，，， 所以，解得， 由可得，故. 4．已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上的投影向量为. 5．已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，化简可得， ，代入可得， 因为向量与向量都是非零向量， 所以向量与向量垂直，即夹角为. 6．在中，，若O为的外心，则的值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】连接，设分别是的中点，连接，根据垂径定理和向量投影即可计算. 【详解】 连接，设分别是的中点，连接， 因为，所以， 在上的投影为，， 同理在上的投影为，则， ， 故选：B． 7．在 中，点 、 、 分别在直线 、 、 上，设，，，其中 、 、 为实数，则 、 、 三点共线的充要条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件得到，，，再结合平面向量基本定理和三点共线充要条件即可求解. 【详解】由，可得， 即， 由，可得， 即， 则 由，可得， 即， 则 、 、 三点共线 存在实数 ，使得， 即， 因为不共线，由平面向量基本定理可得： ， 解得：，代入， 得：， 即 化简得： ， 即 . 8．已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形得到，根据二次函数的对称轴得到最小值，得到答案 【详解】，故， 故， 因为，所以， 设，则 ， 其中可看作关于的二次函数，开口向上， 当时，取得最小值， 最小值为， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与平行，则 【答案】ACD 【分析】利用向量共线的坐标表示计算判断A；利用向量垂直的坐标表示计算判断B；利用向量夹角的坐标表示计算判断C；利用向量共线列式求解判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，B错误； 对于C，由与的夹角为，得，解得，C正确； 对于D，依题意，不共线，由与平行，得，解得，D正确. 10．设是所在平面内一点，记（，），则（   ） A．当，时， B．当，时，是线段的中点 C．当，时，是的重心 D．当时，的面积是面积的 【答案】ACD 【分析】根据平面向量基本定理的应用，结合向量线性运算、三角形重心性质、共线向量等知识点，逐一验证各选项即可求解. 【详解】选项A，当时，可得， 则， ，得到，故A正确； 选项B，当时，， 则， 即是线段的中点，不是是中点，故B错误； 选项C，若是的重心，则， 设的中点为，则，重心分中线为， 因此, 所以当时，是的重心，故C正确; 选项D，由题意得与具有同底，则面积比等于对应高的比值， 如图，作出符合题意的图形，以为原点建立平面直角坐标系，      设，，，，得到， ，， 因为，所以，解得， 而的高为，的高为， 则与的面积比为， 当时，面积比为, 即的面积是面积的，故D正确. 11．如图，为边长为的等边三角形，以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；对C，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据条件可得，即可求解；对D，利用C中结果，可得，由三角函数的性质，即可求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知， 所以 ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 而，所以， 当时，的最大值为5，故C正确； 对于D，由C知，， 则，又， 则，整理得到， 所以， 当时，取到最大值，最大值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，向量，．若，则______． 【答案】 / 【详解】由题可知，，且， 所以， 展开整理得， 解得. 13．已知点分别在的边所在直线上，，为线段的中点，为与的交点，若，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据题目条件求出的关系后，换元代入得到二次函数，利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】因为是中点，所以，由， 代入得：， 又，，因此，， 代入得：， 因为在上，由三点共线的向量性质可得：， 令，则 ，即求的最小值，令， 将代入得： 这是开口向上的二次函数，对称轴为，代入得最小值： ， 故的最小值为. 14．在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则    设，则， 所以， ， 当且仅当时，取得最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，且，向量． (1)若，求实数的值． (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出，利用列出关于的方程，解方程求出； （2）由与的夹角为锐角，得出，解不等式求的范围，根据与共线，构造方程求出，排除共线的情况，最终得出实数的取值范围． 【详解】（1）， 解得， 已知，则 ， 解得． （2）与的夹角为锐角，则， 解得， 若与共线，则，解得或， 其中不在区间内，只需排除， 故实数的取值范围为． 16．已知向量与的夹角，且 (1)求； (2)求在方向上的数量投影； (3)求在方向上的投影向量. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵ 向量与的夹角，且，， ∴ . ， 代入数值可得. （2）根据向量数量投影的定义： 在方向上的数量投影为， 由（1）知. 先计算， 又∵ ， ∴ 所求数量投影为. （3）由（1）知. 根据投影向量的定义： 在方向上的投影向量为， 代入数值可得所求投影向量为. 17．在中，设 (1)若，求的长； (2)若点是中点，，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，即可求解； （2）由（1）知为等腰三角形，设，得到，再由，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为，可得， 所以，可得，所以， 因为，可得，所以，即， （2）由（1）知，所以为等腰三角形， 因为，且点是中点，可得， 设，因为，可得，且， 由， 则， 因为，可得，所以， 可得，即的取值范围为. 18．已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记,. (1)用表示向量； (2)若，且，求证：； (3)设，，求，的值. 【答案】(1)，， (2)因为，且， 所以，，， 所以， 所以， 所以，所以； (3)，. 【分析】（1）根据平面向量线性运算结合条件求解即得； （2）根据数量积运算律求，结合向量垂直与数量积关系证明结论； （3）结合条件利用表示可得结论. 【详解】（1）， ， . （2）略 （3）因为，， 由（1），， 所以，， 所以， 故，， 所以，. 19．如图，在中，，，，点、是线段上（包括端点）的动点，（在，之间），不变． (1)若，求的长； (2)求的取值范围； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），且， ∴， ∵，即，∴， ∴，∴， ， ， ∴，即，∴， ∴. （2）设，由正弦定理，，． 即，， ∴， 因此． ∵，∴，即， ∴． （3）∵， ∴当最小时，最小． 又， ， 由（2）可知， ． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷13　平面向量 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，且与的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 5．已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．在中，，若O为的外心，则的值为（   ） A．4 B．6 C． D． 7．在 中，点 、 、 分别在直线 、 、 上，设，，，其中 、 、 为实数，则 、 、 三点共线的充要条件是（    ）    A． B． C． D． 8．已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与平行，则 10．设是所在平面内一点，记（，），则（   ） A．当，时， B．当，时，是线段的中点 C．当，时，是的重心 D．当时，的面积是面积的 11．如图，为边长为的等边三角形，以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．的最大值为 D．若，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，向量，．若，则______． 13．已知点分别在的边所在直线上，，为线段的中点，为与的交点，若，则的最小值为_____. 14．在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，且，向量． (1)若，求实数的值． (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16．已知向量与的夹角，且 (1)求； (2)求在方向上的数量投影； (3)求在方向上的投影向量. 17．在中，设 (1)若，求的长； (2)若点是中点，，且，求的取值范围. 18．已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记,. (1)用表示向量； (2)若，且，求证：； (3)设，，求，的值. 19．如图，在中，，，，点、是线段上（包括端点）的动点，（在，之间），不变． (1)若，求的长； (2)求的取值范围； (3)求的最小值． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $