第一章集合与常用逻辑用语单元测试- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第一章“集合与常用逻辑用语”单元卷，涵盖集合关系运算、逻辑用语等核心知识，通过基础题、创新题梯度设计，培养抽象能力与推理意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合关系（如N⊆Z）、充分条件|结合地方期中真题，基础概念辨析| |多项选择|3/18|集合运算性质、命题否定|选项分层，考查逻辑推理（如AC选项正确性判断）| |填空|3/15|三角形三边关系、孤立元新定义|融入生活情境（第12题）与创新概念| |解答|5/77|集合交并补、充要条件应用|综合考查运算与论证（如第19题平方差公式证集合关系）|

第一章　集合与常用逻辑用语 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2026云南宣威期中)下列关系式正确的是(　　) A.-⊆Q B.0∈⌀ C.N⊆Z D.{0}∈N 2.已知集合A={x|-1<x≤2},B={x∈Z|-2<x≤1},则A∪B=(　　) A.{x|-1<x<1} B.{x|-2<x≤1} C.{x|-1≤x≤2} D.{x|-2<x≤2} 3.(2026河南新乡期中)已知集合A={(x,y)|x2+2y2≤2,x∈Z,y∈Z},则集合A的真子集的个数为(　　) A.32 B.31 C.16 D.15 4.设a∈R,则“a>0”是“|a|>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知全集U=R,集合A={x|x<-1或x>4},B={x|-2≤x≤3},那么阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|-2≤x<4} B.{x|-2≤x≤4} C.{x|-1≤x≤3} D.{x|x≤3或x≥4} 6.(2026吉林长春期中)下列命题中是真命题的为(　　) A.∃x∈N,使4x<-3 B.∃x∈Z,使3x-2=0 C.∃x∈R,x2+2x+3=0 D.∀x∈R,x2+2>0 7.(2026湖北武汉阶段练习)已知集合A={x|x=,k∈Z},B={y|y=,k∈Z},则下列选项正确的是(　　) A.A⊉B B.A⊈B C.A∩B=⌀ D.A=B 8.某班45名学生参加“3·12”植树节活动,每位学生都参加除草、植树两项劳动.依据劳动表现,评定为“优秀”“合格”2个等级,结果如下表: 项目 等级 合计 优秀 合格 除草 30 15 45 植树 20 25 45 若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人,则在两个项目中都“优秀”的人数最多为(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2026广东深圳期中)已知全集U,若对任意的x∈A,都有x∈B,那么下列等式正确的是(　　) A.A∩B=A B.A∪B=B C.A∩(∁UB)=⌀ D.B∩(∁UA)=B 10.(2026黑龙江牡丹江期中)下列说法正确的是(　　) A.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件 B.命题“∀x>0,x2-3>0”的否定是“∃x≤0,x2-3≤0” C.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件 D.“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件 11.(2026江苏南京期中)设集合A={x|y=},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x},D=,则下列关系中正确的是(　　) A.A=B B.B⊆C C.D⊆C D.A∩C=⌀ 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.命题p:存在实数x∈M,使得x,3,4能成为三角形的三边长.若命题p为假命题,则x的取值集合M=　　　　　　　　　　.  13.设集合S={x|x>5或x<-1},T={x|a<x<a+8},S∪T=R,则a的取值范围是　　　　　. 14.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,若k-1∉A,且k+1∉A,则称k是A的一个“孤立元”.集合T={1,2,3,5}中的“孤立元”是　　　　　;对给定的集合S={1,2,3,4,5,6},由S中的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合有　　　　　个.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B={x|x+3≥0}.求: (1)A∩B; (2)A∪B; (3)∁R(A∩B). 16.(15分)(2026江苏淮安期中)已知命题p:关于x的方程x2-2ax+a2+a-3=0有实数根,q:m-1≤a≤m+5. (1)若命题¬p是真命题,求实数a的取值范围; (2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 17.(15分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},非空集合B={x|2ax2-3(a2+1)x+4=0}. (1)若A∩B={2},求a的取值集合; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求a的取值集合. 18.(17分)已知全集U=R,集合A={x||x-2|≥2},B={x|a+1<x<2a-1}. (1)若A∩B=B,求实数a的取值范围; (2)若∀x∈A,均有x∉B,求实数a的取值范围; (3)若∃x∈B,且x∉A,求实数a的取值范围. 19.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z}. (1)判断8,9,10是否属于集合A; (2)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:“x∈A”的充分不必要条件是“x∈B”; (3)写出所有满足集合A的偶数. 附加题: 对非空整数集合M及k∈N,定义M􀱇k={m+t|m∈M,t=-k,-k+1,…,k},对于非空整数集合A,B,定义d(A,B)=min{k∈N|A⊆B􀱇k,B⊆A􀱇k}.注:min{k∈N|A⊆B􀱇k,B⊆A􀱇k}是指满足A⊆B􀱇k且B⊆A􀱇k的最小自然数k. (1)设M={3,5,7},请直接写出集合M􀱇1; (2)设A={1,2,3,…,80},d(A,B)=1,求出非空整数集合B的元素个数的最小值. 参考答案 1.C　-是元素,不是集合,故A错误;⌀不含任何元素,故B错误;N表示自然数集,Z表示整数集,所以N是Z的子集,故C正确;{0}表示的是集合,{0}⊆N,故D错误.故选C. 2.C　因为B={x∈Z|-2<x≤1}={-1,0,1},又A={x|-1<x≤2},所以A∪B={x|-1≤x≤2}.故选C. 3.B　A={(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)},即A中有5个元素,则集合A的真子集的个数为25-1=31.故选B. 4.A　由题意可知,a>0⇒|a|>0,|a|>0⇒a>0或a<0,即由|a|>0不能推出a>0,所以“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件.故选A. 5.C　阴影部分为B∩∁UA, ∁UA={x|-1≤x≤4},所以B∩∁UA={x|-1≤x≤3}. 故选C. 6.D　最小的自然数为0,不可能使4x<-3,故A错误;3x-2=0,解得x=∉Z,故B错误;方程x2+2x+3=0的判别式Δ=4-4×3<0,方程无实数解,故C错误;因为x2≥0,所以x2+2≥2>0,故D正确.故选D. 7.D　A={x|x=,k∈Z},B={y|y=,k∈Z},∵k∈Z,∴2k-1表示所有奇数,4k±3也表示所有奇数,∴A=B.故选D. 8.C　用集合A表示除草优秀的学生,B表示植树优秀的学生,全班学生用全集U表示,则∁UA表示除草合格的学生,则∁UB表示植树合格的学生,作出Venn图,如图,设两个项目都优秀的人数为x,两个项目都是合格的人数为y,由图可得20-x+x+30-x+y=45,x=y+5,因为ymax=10,所以xmax=10+5=15.故选C. 9.ABC　由题意,A⊆B,所以A∩B=A,A∪B=B,A,B正确; 对于C,如图所示,∁UB表示①,而①与②无公共部分,故A∩(∁UB)=⌀,C正确; 对于D,∁UA表示①和③,B表示②和③,B∩(∁UA)表示③,故D错误.故选ABC. 10.AC　对于A,由a>1,b>1,得ab>1一定成立,所以充分性成立;反之,例如a=4,b=,此时满足ab>1,但a>1,b>1不成立,即必要性不成立,所以“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件,所以A正确; 对于B,命题“∀x>0,x2-3>0”的否定是“∃x>0,x2-3≤0”,所以B不正确; 对于C,若方程x2-2x+m=0有一正一负根,则解得m<0,所以“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件,所以C正确; 对于D,令x=-3,y=2,此时满足|x|>|y|,但x<y,所以充分性不成立;反之,令x=1,y=-2,此时满足x>y,但|x|<|y|,所以必要性不成立,所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件,所以D错误.故选AC. 11.ACD　由题意得A={x|x≥1},B={y|y≥1},所以A=B,故A正确;又C={(x,y)|y=x},D={(1,1)},所以D⊆C,故C正确;又集合A和集合B都是数集,而集合C和集合D都是点集,所以B错误,D正确.故选ACD. 12.{x|x≤1或x≥7}　当命题p为真命题时,可得4-3<x<3+4,即1<x<7, 所以当命题p为假命题时,可得{x|x≤1或x≥7}. 13.{a|-3<a<-1}　借助数轴可知∴-3<a<-1. 14.5　4　因为1+1=2∈T,2+1=3∈T,3-1=2∈T,所以1,2,3都不是T的“孤立元”. 因为5-1=4∉T,5+1=6∉T,所以5是T的“孤立元”. 不含“孤立元”是指在集合中有与“孤立元”k相邻的元素, 所以不含“孤立元”的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},共4个. 15.解 由已知得B={x|x≥-3}, (1)A∩B={x|-3≤x≤-2}. (2)A∪B={x|x≥-4}. (3)∁R(A∩B)={x|x<-3或x>-2}. 16.解 (1)因为命题¬p是真命题,则命题p是假命题, 即关于x的方程x2-2ax+a2+a-3=0无实数根, 因此Δ=4a2-4(a2+a-3)<0,解得a>3, 所以实数a的取值范围是(3,+∞). (2)由(1)知,若命题p是真命题,则p:a≤3, 因为命题p是命题q的必要不充分条件, 则{a|m-1≤a≤m+5}是{a|a≤3}的真子集, 因此m+5≤3,解得m≤-2, 所以实数m的取值范围是(-∞,-2]. 17.解 (1)因为A={1,2},A∩B={2},所以2∈B且1∉B,所以8a-6(a2+1)+4=0,即(3a-1)(a-1)=0,解得a=或a=1,当a=1时,B={x|x2-3x+2=0}={1,2},不符合题意,舍去;当a=时, B={x|x2-5x+6=0}={2,3},满足题意,所以a的取值集合为{}. (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则B⊆A, 又B≠⌀,由(1)可知B={1}或{2}或{1,2}. ①由(1)可知当B={1,2}时,a=1. ②当B={1}时,方程2ax2-3(a2+1)x+4=0有两个相等的实数根1,所以1+1=,整理得3a2-4a+3=0,方程无解,所以B={1}不合题意. ③当B={2}时,方程2ax2-3(a2+1)x+4=0有两个相等的实数根2,由2×2=,得a=,但是a=显然不满足2+2=,所以B={2}不合题意. 综上,a的取值集合是{1}. 18.解 (1)由题意,A={x|x≤0或x≥4}. ∵A∩B=B,∴B⊆A. 当B=⌀时,a+1≥2a-1,解得a≤2,符合题意; 当B≠⌀,即a>2时,由B⊆A,得a+1≥4或2a-1≤0,得a≥3. 综上,实数a的取值范围为{a|a≤2或a≥3}. (2)由题意,A∩B=⌀,当B=⌀时,a≤2,符合题意; 当B≠⌀时,解得2<a≤. 综上,实数a的取值范围是. (3)∁RA={x|0<x<4},B={x|a+1<x<2a-1}, 由题意,∃x∈B,使得x∈∁RA成立,所以必有B≠⌀,即a>2,结合数轴有0<a+1<4或0<2a-1<4,解得2<a<3, 所以实数a的取值范围是{a|2<a<3}. 19.(1)解 因为8=32-12,9=52-42, 所以8∈A,9∈A. 假设10=m2-n2,m∈Z,n∈Z, 则|m|2-|n|2=10,即(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10, 且|m|+|n|>|m|-|n|>0,(|m|+|n|)∈Z,(|m|-|n|)∈Z, 所以显然均无整数解, 所以10∉A.综上,8∈A,9∈A,10∉A. (2)证明 因为2k+1=(k+1)2-k2,k∈Z,所以2k+1∈A,即所有奇数都属于集合A,则x∈B,必有x∈A. 又8∈A,而8∉B,即x∈A,推不出x∈B, 所以“x∈A”的充分不必要条件是“x∈B”. (3)解 由m2-n2=(m+n)(m-n),m∈Z,n∈Z, 当m和n同为奇数和偶数时,m+n,m-n均为偶数, 所以(m+n)(m-n)为4的倍数; 当m和n一奇一偶时,m+n,m-n均为奇数, 所以(m+n)(m-n)为奇数. 综上,所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z). 附加题 解 (1)若M={3,5,7},由集合新定义知M􀱇1={2,3,4}∪{4,5,6}∪{6,7,8}={2,3,4,5,6,7,8}. (2)设B有b个元素, 令B1={2,5,8,…,77,80},则B􀱇0=B,则集合A不是集合B􀱇0的子集, 所以d(A,B)≠0,即d(A,B)≥1, 而B1⊆A􀱇1={0,1,2,3,4,…,81},A⊆B1􀱇1={1,2,3,4,…,81}, 此时d(A,B1)=1满足题意,此时b=+1=27. 若b=j≤26,不妨设B={b1,b2,…,bj}且b1<b2<…<bj, 由题意可知A⊆B􀱇1={b1-1,b1,b1+1}∪{b2-1,b2,b2+1}∪…∪{bj-1,bj,bj+1}, 而集合B􀱇1中最多含有3j≤78个元素,当且仅当{bk-1,bk,bk+1}(1≤k≤j)两两不同且b=j=26时,等号成立, 但这与集合A有80个元素矛盾,所以b=j≥27. 综上所述,非空整数集合B的元素个数的最小值是27. 3 学科网（北京）股份有限公司 $