第一章 集合与常用逻辑用语（举一反三单元自测·拔尖卷）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学第一章集合与常用逻辑用语单元拔尖卷，覆盖集合概念、逻辑用语等核心知识，通过基础题与创新题梯度设计，考查抽象能力、推理意识及数学语言表达，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合概念、命题否定、充分条件|基础巩固，如集合相等判断（题3）| |多选|3/18|逻辑关系、集合运算|概念辨析，如充分必要条件判断（题9）| |填空|3/15|容斥原理、参数求解|实际应用，如三项比赛参赛人数计算（题14）| |解答|5/77|新定义、综合应用|创新探究，如“乘法封闭集”证明与应用（题19）|

第一章 集合与常用逻辑用语（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用常用数集，结合集合包含关系和元素与集合的关系逐项判断即得. 【解答过程】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：D. 2．（5分）（25-26高一上·重庆·期中）命题“，”是（   ） A．真命题，其否定为“，” B．假命题，其否定为“，” C．真命题.其否定为“，” D．假命题，其否定为“，” 【答案】C 【解题思路】由配方法整理不等式，得到命题的真假，然后写出命题的否定，得到结论. 【解答过程】∵，当时，∴原命题为真命题， 命题“，”的否定为“，”， 故选：C. 3．（5分）（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【解答过程】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 4．（5分）（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解. 【解答过程】由，得或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 5．（5分）（25-26高一上·福建福州·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先判断阴影部分表示，然后求解，再根据并集的概念求解即可. 【解答过程】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为， 所以或， 所以， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：. 6．（5分）（2026高一上·湖北·专题练习）已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合全称量词命题及存在量词命题的真假关系即可求解． 【解答过程】命题p：，；命题q：，， 若命题p，q均为假命题， 则，为真命题，且，为真命题. 在上恒成立，且有解， 故且， 解得或. 故选：D. 7．（5分）（2026高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【解答过程】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 8．（5分）（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知全集，，则下列说法不正确的是（　　） A．8 B．6 C． D．的不同子集的个数为8 【答案】B 【解题思路】由已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合间的关系，逐一判断各选项即得. 【解答过程】因为, 因为，所以集合中有且集合中没有的元素只有1,9； 因为， 所以既不在集合中也不在集合中的元素只有4,6,7； 因为，所以集合与的公共元素只有3； 所以集合中有且集合中没有的元素只有2,5,8,即. 如下作出Venn图： 所以， ，故AC正确； 因为集合中有3个元素，所以的不同子集的个数为8，故D正确； 因为，故B错误. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面命题正确的是（    ） A．，则是的充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设，则“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解题思路】根据条件间的推出关系逐一判断即可. 【解答过程】A：因，故A正确； B：由，得，所以成立； 由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确： C：由且，得，则，故成立； 但时，如，此时“且”不成立，故C错误： D：当，时，不成立；但，一定有， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD. 10．（6分）（25-26高一上·重庆·阶段检测）若，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．A的真子集个数为7 C． D． 【答案】BC 【解题思路】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【解答过程】， 由，，， 作出图，如图所示， 由图可知，，，故A错误，正确； 集合的真子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：BC. 11．（6分）（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【解题思路】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【解答过程】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）若p是r的充分非必要条件，p是q的必要条件，则r是q的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【解题思路】根据充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【解答过程】因为p是r的充分非必要条件， 所以，但， 因为p是q的必要条件， 所以， 所以，但，即，但， 所以r是q的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 13．（5分）（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为__________． 【答案】 【解题思路】根据集合相等的定义判断的取值进行计算. 【解答过程】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是__________. 【答案】10 【解题思路】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【解答过程】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【解答过程】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 16．（15分）（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【解答过程】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 17．（15分）（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【解答过程】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 18．（17分）（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【解题思路】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）时，，故或， ， 故或 ； （2）， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； （3）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 19．（17分）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】(1)证明见解析. (2)，或. (3) 【解题思路】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【解答过程】（1）设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. （3）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（举一反三单元自测·拔尖卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·重庆·期中）命题“，”是（   ） A．真命题，其否定为“，” B．假命题，其否定为“，” C．真命题.其否定为“，” D．假命题，其否定为“，” 3．（5分）（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高一上·福建福州·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 6．（5分）（2026高一上·湖北·专题练习）已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（2026高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（5分）（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知全集，，则下列说法不正确的是（　　） A．8 B．6 C． D．的不同子集的个数为8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面命题正确的是（    ） A．，则是的充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设，则“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10．（6分）（25-26高一上·重庆·阶段检测）若，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．A的真子集个数为7 C． D． 11．（6分）（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）若p是r的充分非必要条件，p是q的必要条件，则r是q的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 13．（5分）（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为__________． 14．（5分）（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 16．（15分）（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 17．（15分）（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 18．（17分）（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 19．（17分）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $