第一章集合与常用逻辑用语单元测试--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一

**基本信息** 本单元卷聚焦“集合与常用逻辑用语”，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，全面覆盖集合运算、逻辑关系等核心知识，适配单元复习，体现数学抽象、逻辑推理与数学语言表达素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合元素个数、关系、运算（如第1、3题），充分必要条件（第4题）|基础题为主，考查概念辨析| |多选|3/18|集合子集关系（第9题）、伙伴关系集合新定义（第11题）|分层选拔，体现创新意识| |填空|3/15|集合交并补（第12题）、方程整数解（第14题）|结合实际情境（运动会参赛问题），培养应用意识| |解答|5/77|集合表示方法（第15题）、充要条件证明（第18题）、命题真假判断（第19题）|综合考查逻辑推理与数学表达，契合核心素养要求|

第一章 集合与常用逻辑用语 单元测试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.．集合的元素个数是（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 2.．下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 3.．已知全集，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意，结合子集的定义，以及交集、并集和补集的概念与运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由，可得集合不是的子集，所以A错误； 对于B，由，可得，所以B错误； 对于C，由，可得，所以C错误； 对于D，由，可得，所以D正确. 4.设，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可. 【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5.下列是存在量词命题且是真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的概念进行区分，再判断真假即可求出答案. 【详解】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 6.．定义集合运算：.若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据定义得到两集合中元素之和，并结合元素互异性得到答案. 【详解】， 由题意得. 故选：C 7.设常数，集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】集合, ①当时，或， ∵，结合数轴作图知， 即得； ②当时，显然； ③当时，或，结合数轴作图知， 此时恒成立， 由①②③知. 故选：B 考点：集合的关系 8.．已知集合，，若B为A的子集，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】由B为A的子集， 当时，，可得， 当时，，可得， 综上，. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.．（多选）已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（ ） A.2 B. C.2.5 D.4 【答案】BCD 【分析】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误. 【详解】因为是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 则或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 10.．（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D.的不同真子集个数为8 【答案】BC 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，说明， 综上，画出维恩图如下： 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，的不同真子集个数为7，故D错误， 故选：BC. 11.．（多选）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12.．已知集合，，则__________． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为，所以或，即或， 由集合的互异性知且且，即且，所以． 故答案为：. 13.已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 14.．某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 【答案】5 【分析】利用Venn图即可求解． 【详解】设两类比赛都参加的人数为，画出Venn图如图所示， 则，解得，即两类比赛都参加的同学有5人． 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 16.（15分）．设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 17.（15分）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】根据集合的交并补的定义分别计算各小题即可. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，，所以或， 所以或. （3）因为，，所以或， 所以. 18.（17分）．（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【答案】证明见解析. 【分析】（1）应用判别式恒大于零证明方程总有两个不相等的实数根； （2）应用充分必要条件的定义证明即可. 【详解】（1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是； 19.（17分）．已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可. （2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可. 【详解】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为： 综上，或， 故实数m的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 单元测试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.．集合的元素个数是（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.无数个 2.．下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 3.．已知全集，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4.设，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列是存在量词命题且是真命题的是（ ） A. B. C. D. 6.．定义集合运算：.若集合，，则（ ） A. B. C. D. 7.设常数，集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8.．已知集合，，若B为A的子集，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.．（多选）已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（ ） A.2 B. C.2.5 D.4 10.．（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D.的不同真子集个数为8 11.．（多选）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12.．已知集合，，则__________． 13.已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 14.．某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 16.（15分）．设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 17.（15分）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 18.（17分）．（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 19.（17分）．已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $