精品解析：陕西铜川市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

铜川市一中2025-2026学年度第二学期高一年级（2028届）期末考试 数学试题 考生注意：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第75百分位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的求法计算即可. 【详解】易知，则该组数据的第八个数8为第75百分位数. 故选：C 2. 某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有个评委打分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分.设对于某选手的演讲，个评委的原始评分分别为：、、、、、、，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】求出原数据和新数据的平均数、中位数、众数、方差，比较后可得出结论. 【详解】原数据由小到大依次为：、、、、、、， 其平均数为，中位数为，众数为， 方差为， 将原数据中去掉一个最高分与一个最低分，剩余的数据由小到大依次为：、、、、， 新数据的平均数为，中位数为，众数为， 方差为， 故平均数、中位数、众数没有发生改变，方差发生改变， 故选：C. 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的除法求复数，进而依次判断各项的正误. 【详解】由题设，B选项错误； ，A选项正确； z的虚部为，C选项错误； 又，则，D选项错误. 故选：A 4. 某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02．03，…50进行编号，然后从随机数表第9行第11列的数开始向右读，则选出的第6个个体是（ ）（注：表为随机数表的第8行和第9行） 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 A. 00 B. 13 C. 42 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】 根据随机数表抽取原则按序得到所抽取的个体即可得到结果. 【详解】第行第列开始读取，依次得到的编号为：（舍）、（舍）、（舍）、、（舍）、（舍）、、（重复，舍）、、、、（舍）、（舍）、 即第个个体为 故选： 【点睛】本题考查简单随机抽样方法中的随机数表法，关键是明确随机数表抽取时，超出所给编号范围和重复抽取的编号需去除. 5. 水平放置的的直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在直观图中求得的长，然后利用直观图性质得出原图形中三角形边长，再由勾股定理可得. 【详解】如图，作于，，则，所以， 在原图形中，， 所以. 6. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面，面面关系的判定定理与性质定理可判断A，B；通过作图举反例可说明C错误；利用线面垂直的性质即可判断D正确. 【详解】对于A，由，可得或相交或异面，故A错误； 对于B，由，可得或，故B错误； 对于C，如图，长方体中，取平面为平面，平面为， 为直线，则，，但是得不到，故C错误； 对于D，由线面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行.可判断D正确. 故选：D. 7. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、三点不共线，点在平面外，点满足， 设， 由题意可知、、不共面，所以，故. 故选：A. 8. 在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题： ①异面直线与所成的角是定值； ②三棱锥的体积是定值； ③直线与平面所成的角是定值． 其中真命题的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】采用注意验证法，建立空间直角坐标系， 计算可知①正确，利用等积法，根据F点到底面的距离为定值可知②正确，然后用向量方法计算线面角，可知结果. 【详解】以A点为坐标原点，AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，可得B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)， (0，0，1)， (1，0，1)， (1，1，1)， (0，1，1)， 设F(t，1，1-t)，（0≤t≤1）， 可得=(1，1，1)，=(t-1，1，-t)，可得=0， 故异面直线与所的角是定值，故①正确； 三棱锥的底面面积为定值，且∥， 点F是线段上的一个动点，可得F点到底面的距离为定值， 故三棱锥的体积是定值，故②正确； 可得，，， 可得平面的一个法向量为=（1，1，1）， 可得不为定值，故③错误; 故选：B． 【点睛】本题主要考查空间角的求解及几何体体积的求解，建立直角坐标系，是解题的关键，属中档题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB＝AD，BC＝1，CD，则（ ） A. 三棱锥的外接球的体积为 B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件求得球心的位置，即可求得外接球体积；根据 【详解】如图，∵BC⊥CD，BC＝1，CD，∴BD＝2，∵AB＝AD， ∴AB⊥AD， ∴BD的中点O为外接球球心，故半径为1，体积为 ， 当面ABD与面CBD相互垂直时，点A到面BCD的距离最大， 故此时三棱锥的体积最大，此时高为AOBD＝1； 其最大值为：1BC×CD1． 故选：AC． 【点睛】本题考查棱锥外接球体积的计算，以及棱锥体积的计算，属综合中档题. 10. 某班级有50名学生，其中30名男生、20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．则下列说法不正确的是（ ） A. 这种抽样方法是一种比例分配的分层随机抽样 B. 这种抽样方法是一种简单随机抽样 C. 这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差 D. 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】ABD 【解析】 【详解】若按分层抽样，则男生、女生的比例应为，故A错误； 抽取的10人未从50名学生中随机抽取，故不是简单随机抽样，故B错误； 5名男生成绩的平均数为， 5名女生成绩的平均数为， 则5名男生成绩的方差为， 5名女生成绩的方差为， 故5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差，故C正确； 没有具体数据，无法计算该班男生、女生的成绩的平均数，故D错误. 11. 已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若是的重心，则 C. 若为的垂心，，则 D. 若分别表示的面积，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由数量积的定义，可得夹角余弦值小于零，可得其正误；对于B，由重心的性质，根据平面向量的加法，可得其正误；由垂心的定义，根据数量积定义式以及锐角三角函数，可得其正误；对于D，由平面向量的加法与数乘，可得点的位置，根据三角形的等积变换，可得其正误. 【详解】对于A，由，则，即， 所以仅仅只可得一个角为锐角，故A错误； 对于B，由题意可作图如下： 则为的中点，且，所以，故B正确； 对于C，由题意可作图如下： 则，所以，故C正确； 对于D，由题意可作图如下： 则分别为的中点，， 可得为上靠近的三等分点，易知，即，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则西乡抽________人. 【答案】200 【解析】 【分析】根据分层抽样按抽样比即可求所抽取的人数. 【详解】由题意得：， 故答案为： 13. 已知在三棱锥中，，，且，平面，则其外接球体积为_________． 【答案】## 【解析】 【详解】如图，由，平面，可将三棱锥补形为长方体， 因为，所以， 其中，，解得， 则，则外接球半径为，故其外接球体积为. 14. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，则试用向量表示向量________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算，结合图象，利用数量积的运算律，可得答案. 【详解】由为的中点，则，由，则， ， ， ，，, . 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行. （1）求； （2）若，，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案. （2）利用余弦定理计算得到，再计算面积即可. 【小问1详解】 （1）向量与平行， 所以， 由正弦定理可知：， ，， 所以，， 可得； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理可得：， 可得， 解得或（舍）， 的面积为． 16. 已知复数，其中i为虚数单位. （1）若z是纯虚数，求实数m的值； （2）若，z是关于x的实系数方程的一个复数根，求实数的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由纯虚数的定义列出方程，得出实数m的值； （2）由是方程的根，结合韦达定理得出实数的值. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数， 所以解得：. 【小问2详解】 当时，. 因为z是关于x的实系数方程的一个复数根，所以z的共轭复数也是实系数方程的根， 所以，，解得：，， 故. 17. 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； （2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； （3）已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. （附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】（1）平均数为，众数为. （2）. （3）平均数为，方差为. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解. （2）依题意可知题目所求是第分位数，先判断第分位数落在哪个区间再求解即可； （3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可. 【小问1详解】 一至六组的频率分别为， 平均数. 由图可知，众数为. 以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分. 【小问2详解】 前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 第分位数落在第5组,设为x，则，解得. “防溺水达人”的成绩至少为分. 【小问3详解】 )的频率为，)的频率为， 所以的频率与的频率之比为 的频率与的频率之比为 设内的平均成绩和方差分别为， 依题意有，解得 ，解得， 所以内的平均成绩为，方差为. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，底面，． （1）求四棱锥的表面积； （2）求点C到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长度关系分析可知，，进而可求四棱锥的表面积； （2）分析可知点C到平面的距离与点A到平面的距离相等，利用等体积法结合锥体的体积公式求点到面的距离. 【小问1详解】 由题意可知：，， 则，，可知，， 可得， 所以四棱锥的表面积. 【小问2详解】 设，则为的中点， 可知点C到平面的距离与点A到平面的距离相等，设为， 因为，即，解得， 所以点C到平面的距离． 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝，PA＝2. （1）取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB； （2）求直线AC与PD所成角的余弦值； （3）在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） 取的中点，连接，则，， 所以四边形为矩形，所以， 以A为原点，AE所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，， 取中点，则，， 所以，故，又平面，平面， 所以DN∥平面PAB. （2）； （3） 假设存在，且， 则点为，所以， 设平面的法向量是， ， 令，，（易知t=1不合题意） 又是平面的一个法向量， ， 解得(舍去)，则． 此时平面的一个法向量可取，， 设与平面所成的角为， 则， 由知，. 与平面所成角的大小为． 【解析】 【分析】取的中点，连接，则，以A为原点，AE所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系. （1）计算，利用向量法求证即可； （2）利用向量的夹角公式计算异面直线所成的角； （3）假设存在点M符合题意，根据二面角、线面角的向量求法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， . 故直线AC与PD所成角的余弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜川市一中2025-2026学年度第二学期高一年级（2028届）期末考试 数学试题 考生注意：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第75百分位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 2. 某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有个评委打分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分.设对于某选手的演讲，个评委的原始评分分别为：、、、、、、，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 4. 某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02．03，…50进行编号，然后从随机数表第9行第11列的数开始向右读，则选出的第6个个体是（ ）（注：表为随机数表的第8行和第9行） 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 A. 00 B. 13 C. 42 D. 44 5. 水平放置的的直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题： ①异面直线与所成的角是定值； ②三棱锥的体积是定值； ③直线与平面所成的角是定值． 其中真命题的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB＝AD，BC＝1，CD，则（ ） A. 三棱锥的外接球的体积为 B. 三棱锥的外接球的体积为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为 10. 某班级有50名学生，其中30名男生、20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．则下列说法不正确的是（ ） A. 这种抽样方法是一种比例分配的分层随机抽样 B. 这种抽样方法是一种简单随机抽样 C. 这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差 D. 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 11. 已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若是的重心，则 C. 若为的垂心，，则 D. 若分别表示的面积，则 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则西乡抽________人. 13. 已知在三棱锥中，，，且，平面，则其外接球体积为_________． 14. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，则试用向量表示向量________；________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行. （1）求； （2）若，，求△ABC的面积. 16. 已知复数，其中i为虚数单位. （1）若z是纯虚数，求实数m的值； （2）若，z是关于x的实系数方程的一个复数根，求实数的值. 17. 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； （2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； （3）已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. （附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 18. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，底面，． （1）求四棱锥的表面积； （2）求点C到平面的距离． 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝，PA＝2. （1）取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB； （2）求直线AC与PD所成角的余弦值； （3）在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $