精品解析：陕西铜川市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试题

铜川市一中2025-2026学年度第二学期高一年级（2028届）期中考试 数 学 试 题 考生注意：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C. 棱锥的所有侧面都是三角形 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 3. 如图，已知，，，用、表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则 A. −3 B. −2 C. 2 D. 3 6. 在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（ ） A. P一定在直线上 B. P一定在直线上 C. P在直线或上 D. P既不在直线上，也不在直线上 7. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ ） A. 面积为的矩形 B. 面积为的矩形 C. 面积为的菱形 D. 面积为的菱形 8. 在中，则的值等于（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中正确的是（ ） A. 多面体有12个顶点，14个面 B. 多面体的表面积为3 C. 多面体的体积为 D. 多面体有外接球(即经过多面体所有顶点的球) 10. 已知复数满足，，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（ ） A. 的共轭复数为 B. 当时，为纯虚数 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 不存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 经过四点的球的表面积为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知中，，则外接圆半径为____________. 13. 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰块，如果冰块融化了，水______溢出杯子填“会”或“不会” 14. 设复数z满足，则的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足. （1）求； （2）若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和bc的值. 16. 如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱， （1）求圆锥的表面积和体积. （2）求圆柱的表面积. 17. 在中,内角所对的边分别为,已知, ,且. (1)求角的大小; (2)若,的面积为,求的周长 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． （1）当为的中点时，求证：平面 （2）当平面 ，求的值，并说明理由． 19. 正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为，，高为，如图水平放置，盛有水深为． （1）求玻璃容器的体积； （2）将一根长度为的搅棒置入玻璃容器中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．（容器厚度，搅棒粗细均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜川市一中2025-2026学年度第二学期高一年级（2028届）期中考试 数 学 试 题 考生注意：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据虚部的定义，即可得答案. 【详解】复数的虚部为． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C. 棱锥的所有侧面都是三角形 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义逐项分析即可 【详解】对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形， 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图： 对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误； 对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确； 对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误， 故选：. 3. 如图，已知，，，用、表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图象几何性质，可得答案. 【详解】由，则， ， 则. 故选：D. 4. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限. 详解：的共轭复数为 对应点为，在第四象限，故选D. 点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分. 5. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则 A. −3 B. −2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，由已知，得，解得，选A. 【考点】复数的概念及复数的乘法运算 【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性. 6. 在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（ ） A. P一定在直线上 B. P一定在直线上 C. P在直线或上 D. P既不在直线上，也不在直线上 【答案】B 【解析】 【分析】由题设知面，结合已知条件有面、面，进而可判断P所在的位置. 【详解】由题意知：面，又交于一点P， ∴面，同理，面，又面面， 由公理3知：点P一定在直线上. 故选：B. 7. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ ） A. 面积为的矩形 B. 面积为的矩形 C. 面积为的菱形 D. 面积为的菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用斜二测画法判断原图形的形状，即可求出其面积. 【详解】，所以， 故在原图中，， ， 所以四边形为菱形(如图所示)，， 则原图形面积为. 故选：C. 8. 在中，则的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先利用三角形的面积公式求得的值，进而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可. 详解：由题意，在中， 利用三角形的面积公式可得， 解得， 又由余弦定理得，解得， 由正弦定理得，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中正确的是（ ） A. 多面体有12个顶点，14个面 B. 多面体的表面积为3 C. 多面体的体积为 D. 多面体有外接球(即经过多面体所有顶点的球) 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得一个棱数为24的半正多面体的顶点数和面数，可判断A；将半正多面体补成棱长为1的正方体，故其顶点是正方体各棱的中点，求得半正多面体的棱长，计算表面积和体积，可判断B，C；再由正方体的中心到多面体各顶点的距离相等，可判断D. 【详解】一个棱数为24的半正多面体有12个顶点，14个面； 可将半正多面体补成棱长为1的正方体，故其顶点是正方体各棱的中点． 半正多面体的棱长为，表面积为， 体积可看作正方体的体积减去八个三棱锥的体积，则， 又因为正方体的中心到多面体各顶点的距离相等，所以有外接球， 故选：ACD. 10. 已知复数满足，，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（ ） A. 的共轭复数为 B. 当时，为纯虚数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A，B,根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C，结合复数模长公式即可判断D. 【详解】A选项：由于，所以的共轭复数为，故选项A正确， B选项：当时，，若，则为为实数，故选项B错误； C选项：易知，，又，则，即，故选项C正确； D选项：由于，则， ， ，故，选项D正确． 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 不存在点，使四点共面 B. 存在点，使平面 C. 三棱锥的体积是定值 D. 经过四点的球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】当与重合时，说明，即可判断A；当为的中点时，证明平面，判断B；结合三棱锥体积公式判断C；利用割补法求得经过四点的球的半径，即可求得球的表面积，判断D. 【详解】对A选项，当与重合时，连接，由于, 则四边形为平行四边形，故，又，故， 从而可得四点共面，A选项错误； 对B选项，当为的中点时，，而四边形为平行四边形， 故，知，平面，平面， 得平面，B选项正确； 对C选项，点到面的距离为2，而，所以是定值，C选项正确； 对D选项，设分别为的中点，则为长宽高分别为2，2，1的长方体， 根据分割补形法知：经过四点的球即为长方体的外接球， 所求球的直径满足：， 经过四点的球的表面积为，D选项错误． 故选：BC． 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知中，，则外接圆半径为____________. 【答案】#### 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】中，， 根据正弦定理可知，，即，得. 故答案为： 13. 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰块，如果冰块融化了，水______溢出杯子填“会”或“不会” 【答案】不会 【解析】 【分析】分别计算半球和圆锥的体积，然后比较大小判断即可. 【详解】半球的体积， 圆锥的体积. ，所以冰块融化了，水不会溢出杯子． 14. 设复数z满足，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的几何意义确定复数z复平面上的对应点的轨迹，结合图象确定可得结果. 【详解】设复数z在复平面上的对应点为，复数的在复平面上的对应点为， 由，可知点的轨迹为以，为端点的一条线段，又表示点到点的距离，观察图象可知当时，取最小值，最小值为1，当时，取最大值，最大值为， 所以取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足. （1）求； （2）若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和bc的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解； （2）根据已知条件，推得也为实系数一元二次方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解. 【小问1详解】 设， 因为，则， 故，解得， 故； 【小问2详解】 因为是实系数一元二次方程的一个根， 则也为实系数一元二次方程的一个根， 故，解得， 故. 16. 如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱， （1）求圆锥的表面积和体积. （2）求圆柱的表面积. 【答案】（1）；；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求出圆锥的高可得体积，由表面积公式计算出表面积； （2）求出圆柱的底面半径后可得表面积． 【详解】（1）由题意圆锥的高为， 所以圆锥的表面积为， 体积为． （2）设圆柱半径为，则，， 所以圆柱的表面积为． 【点睛】本题考查圆柱与圆锥的表面积和体积，属于基础题． 17. 在中,内角所对的边分别为,已知, ,且. (1)求角的大小; (2)若,的面积为,求的周长 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】 （1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得； （2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长. 【详解】（1） 由正弦定理得： 即： （2） 由余弦定理得： 的周长 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． （1）当为的中点时，求证：平面 （2）当平面 ，求的值，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接 ，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【小问1详解】 取中点为，连接 ， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； 【小问2详解】 连接 ，相交于，连接， 面，面面 面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 19. 正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为，，高为，如图水平放置，盛有水深为． （1）求玻璃容器的体积； （2）将一根长度为的搅棒置入玻璃容器中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．（容器厚度，搅棒粗细均忽略不计） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据棱台的而体积公式，即可求得答案； （2）作出截面图，作辅助线，根据等腰梯形的知识求得相关边长和底角的正弦值，然后解 ,由正弦定理求得，进而求得，在直角三角形NPE中可求得答案. 【小问1详解】 由题意可知，下底面面积为， 上底面的面积， 又台体的高为， 所以正六棱台的体积 ; 【小问2详解】 设搅棒在上的点为M，则，搅棒与水面的交点为N，在平面中，过点N作，交于点P，过点E作，交于点Q， ∵为正六棱台，∴，, ∴为等腰梯形，画出平面的平面图， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴，，， 根据正弦定理得：，∴， ∴， ∴ ， ∴, ∴搅棒l没入水中部分的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $