25.2.1 直接开平方法、配方法—解一元二次方程（知识清单，知识点&6易错&5题型）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了一元二次方程的直接开平方法和配方法。从直接开平方法的定义、根的三种情况及特别提醒入手，过渡到配方法的定义、四步步骤及拓展延伸，形成从基础到进阶的解法学习支架。 知识链路按“定义-提醒-归纳-易错点-题型”逻辑呈现，含直接开方求解、参数取值、配方法应用等题型。通过易错点分析（如漏写±号）和方法技巧总结，培养运算能力与模型意识，助力学生构建完整解法框架，提升问题解决能力。

第二十五章 一元二次方程 25.2.1 直接开平方法、配方法—解一元二次方程 🔷知识点一　直接开平方法解一元二次方程 定义：一般地，对于方程， （1）当时，根据平方根的意义，方程有的实数根，； （2）当时，方程有的实数根； （3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根。 ⚠️特别提醒 ①直接开平方法不仅是“开方”，还是“降次”（将二次方程转化为两个一次方程），对方程开方后，得到的其实是一个绝对值方程，即，所以在去掉绝对值符号的时候，前面要加“”号； ②若方程形式为，可以先将移项至等号右侧，将二次项系数化为“”后，即，再利用直接开平方法求解； ③方程必须严格变形为的形式。若，只有一个根（重根），不要将其开方的结果写成“”。 📌 归纳总结 ①对于方程，运用直接开平方法求解： （1）当时，方程有两个不相等的实数根，； （2）当时，； （3）当时，方程无实数根。 ②对于方程，先将括号内的看作一个整体，再利用直接开平方法求解。 🔷 知识点二　配方法解一元二次方程 定义：一般地，一元二次方程可以通过配方转化为的形式. （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根。 💡 拓展延伸 1.配方法的步骤： ①将方程化为一般式后，将二次项系数化为“1”； ②再将常数项移项至等号另一侧； ③等号两侧同时加上一次项系数一半的平方； ④因式分解，将式子变成完全平方式，利用直接开平方法解方程。 2.在配方到这一步时，可以注意到等号右侧分母为正，解的个数仅取决于分子，以此可以先行判断方程的解的个数，或在应用题中检验能否有解； 3.对于较复杂的式子（如形式），可以将括号内的式子看作一个整体进行开方。 4.如遇到型，可以通过增项再减项的方式进行配方，如下： 例：已知，求的值。 解： 即 或 ⚠️特别提醒 在使用配方法之前，需要注意二次项系数是否为“1”，若不为“1”，则方程两边同时除以二次项系数后，方能利用配方法解方程； 📌 归纳总结 配方法解方程： ①系数为“1”； ②常数项移项； ③配方：一次项系数一半的平方； ④求解。 易错点 1 方程求解漏写“”号 · 错例：求解方程时，只求，即，没有考虑的情况 · 错因：思维定势，受算术平方根的影响，习惯性把开方等同于“去平方” · 规避方法：等号右侧的数开方的时候，先写“”号，再写根号，对数进行开方 易错点 2 开方时忽略括号整体 · 错例：求解方程，两边同时开方时，只对和开方，不给开方，认为 · 错因：运算顺序混淆，认为开方只针对未知数 · 规避方法：对于形似的方程，可以先对开方，和相乘看作一个整体，即,再对等号两边的式子同时开方求解方程；若该方法掌握不熟练，也可以先将移项至等号右侧，将二次项系数化为“”后，即，再利用直接开平方法求解 易错点 3 配方法中只对等号一侧增项 · 错例：对方程配方时，只对等号左侧增项，即 · 错因：受解方程“移项变号”的负迁移影响，认为在方程中，配方只是“代数式化简” · 规避方法：方程中的配方法运用的是等式的性质，并非简单的代数变形。在做到配方这一步时，可以用连线的方式把等号右边的常数和左边新加的数连起来，物理性的强制“同加” 易错点 4 二次项系数没化为“1”直接配方 · 错例：对方程配方，得到 · 错因：图省事，跳过关键步骤 · 规避方法：如果打算使用配方法解方程，则需要先观察二次项系数，若前面有数字，第一反应不是配方，而是先在等式两边同时除以它 易错点 5 对负系数配方出错 · 错例：对方程配方时，得到的是或是 · 错因：对分数的平方运算不熟，且受负号干扰 · 规避方法：配方的时候忽略一次项系数的符号，只取一次项系数的绝对值计算一半的平方，并强制用括号书写：，必须写出中间的分步通分过程，不可跳步 易错点 6 忽略负数无法开方的性质 · 错例：对于方程，依然选择对等号右侧的负数强行开方，得到 · 错因：对“负数无平方根”的实数范围界定不清 · 规避方法：需要明确“任何一个一元二次方程在实数范围内都有可能无解”，如果只考虑实数范围内，并非要求每一个一元二次方程必须有解 题型一：直接开平方法—解一元二次方程 📝方法技巧 直接开平方法解方程： ①对于方程，运用直接开平方法求解： （1）当时，方程有两个不相等的实数根，； （2）当时，； （3）当时，方程无实数根。 ②对于方程，先将括号内的看作一个整体，再利用直接开平方法求解。 1.一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 2.方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，若一个数的平方等于0，则这个数为0，即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 3.方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用直接开平方法即可计算，按移项、化系数为1、开平方的步骤求解即可． 【详解】解：， ∴ ， ∴， ∴，即． 4.一元二次方程的根是（    ） A．5 B． C． D．25 【答案】C 【分析】直接开平方法计算得到方程的根． 【详解】解： ， ∴移项得 ， 对等式两边开平方，可得 ， 即原方程的根为 ． 题型二：利用直接开平方法求参数取值范围 📝方法技巧 若遇到该形式的方程：，其中为一个含有参数（常见的有、）的多项式，要求参数的取值范围： 1 先将多项式移项至等号右侧，将方程变为的形式； 2 令，即可求得参数的取值范围。 1.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，利用实数平方的非负性即可求解，整理方程后根据平方的非负性列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对原方程移项整理得 ∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于 ∴ 解得． 2.如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 3.若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键；由题意易得，然后可得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵方程要有实数根， ∴， 解得：； 故选A． 4.若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程一直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么．根据直接开平方法的条件得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：D． 5.关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程由根的情况求参数，基于平方数的非负性，方程左边恒大于等于零，因此当a小于零时方程无实数根.． 【详解】解：∵对于任意实数x，有， ∴当时，无实数根． 故选：C． 6.若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 题型三：由方程的解求参数 📝方法技巧 利用一元二次方程的解求方程中的参数： ①对于形似的方程，当知道该方程的解时，可以利用“解互为相反数的性质”求参数的值； ②对于其他的一元二次方程，当知道该方程的解时，可以选择代入的方法求参数，也可以利用整体思想，求出参数之间的等量关系式。 1. 关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或， 解得：． 2.若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 3.若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 先解一元二次方程，然后根据两个根均为正整数列不等式组求解即可． 【详解】解：， ， ，， 关于的一元二次方程的两个根均为正整数， ， 解得， ∴，且a为正整数 观察四个选项，可以为， 故选：D． 4.若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，先将代入一元二次方程得到，将方程可化为，则，再解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为1， ∴，， ∴， ∷方程可化为， ∴， 解得，， 故选：C． 5.若关于x的方程的根为b，则的值为（    ） A．5 B． C．4或 D．5或 【答案】D 【分析】将代入方程中，得，再求解关于的方程即可． 本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：将代入方程中， 得， ∴， ∴， 解得或． 故选：D． 题型四：配方法—解一元二次方程 📝方法技巧 配方法的步骤： ①将方程化为一般式后，将二次项系数化为“1”； ②再将常数项移项至等号另一侧； ③等号两侧同时加上一次项系数一半的平方； ④因式分解，将式子变成完全平方式，利用直接开平方法解方程。 1.用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 2.一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 3.用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 4.将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 5. 解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以方程的解为，． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． 6. 解方程：． 【答案】， 【分析】根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ． ， ，． 7. 解方程： (1)（配方法）； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ∴或 解得，． 8. 解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 题型五：配方法的应用 📝方法技巧 比较常见的两种问题： （1）某一元二次式的值总大于/小于/大于等于/小于等于某个常数（例如：） 以下为做法步骤： ①将该一元二次式配方，化成完全平方式加一个常数的形式，即：； ②再利用完全平方式的性质，比较和的相对大小，即可得证。 （2）比较两个一元二次式之间的相对大小（例如：比较代数式和代数式之间的相对大小） 以下为做法步骤： ①采用作差法，即； ②将两个一元二次式代入，化简后得到一个新的一元二次式，将其令为代数式； ③对代数式进行配方，得到一个完全平方式加一个常数的形式，即：； ④再利用完全平方式的性质，对和进行比较： ⅰ).若，则说明； ⅱ).若，则说明。 1.（1）按要求解方程：（因式分解法）； （2）用配方法说明：代数式的值总大于0． 【答案】（1），； （2） 解∶ ，   ， 故无论x取何实数，代数式的值总大于0． 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，配方法的应用； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据配方法将代数式化为，根据非负数的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ， ，， ，． （2）略 2.已知代数式，． (1)当x为何值时，代数式A的值比B的值大2； (2)求证：对于任意x的值，代数式A的值恒大于B的值． 【答案】(1)x为-1或-3时，代数式A的值比B的值大2 (2) 解： ∵， ∴， ∴， ∴对于任意的值，代数式A的值恒大于B的值． 【分析】本题考查了解一元二次方程，配方法的运用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）由题意得，得到，解一元二次方程即可求解； （2）由题意得，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由题意得， 去括号得， 整理得， 解得或， 当或时，代数式A比B的值大2； （2）略 3.试证明无论取何实数时，代数式的值一定是正数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了配方法和非负数的性质（平方的非负性），熟练掌握配方法的技巧是解题的关键． 通过完成平方将代数式配方变形，利用平方的非负性证明其值恒为正． 【详解】证明： 又 对于所有实数， ， ， 因此，无论取何实数，代数式的值一定是正数． 4.（1）比较与的大小，选填“”“”或“”： ①当时，________； ②当时，________； ③当时，________； （2）无论 m 取何值，判断与有怎样的大小关系？试说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（2）无论取什么值，，理由见解析 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点有不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，，理由如下： ， 无论取什么值，总有． 5.学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)当时，的值最小，最小值为 【分析】本题考查了因式分解，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）仿照题干，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将所求式子进行配方，再结合平方的性质即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ ∴当时，的值最小，最小值为． 6.配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 【答案】(1)， (2)最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 7.形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式． （1）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案； （2）设，则，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.2.1 直接开平方法、配方法—解一元二次方程 🔷知识点一　直接开平方法解一元二次方程 定义：一般地，对于方程， （1）当时，根据平方根的意义，方程有的实数根，； （2）当时，方程有的实数根； （3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根。 ⚠️特别提醒 ①直接开平方法不仅是“开方”，还是“降次”（将二次方程转化为两个一次方程），对方程开方后，得到的其实是一个绝对值方程，即，所以在去掉绝对值符号的时候，前面要加“”号； ②若方程形式为，可以先将移项至等号右侧，将二次项系数化为“”后，即，再利用直接开平方法求解； ③方程必须严格变形为的形式。若，只有一个根（重根），不要将其开方的结果写成“”。 📌 归纳总结 ①对于方程，运用直接开平方法求解： （1）当时，方程有两个不相等的实数根，； （2）当时，； （3）当时，方程无实数根。 ②对于方程，先将括号内的看作一个整体，再利用直接开平方法求解。 🔷 知识点二　配方法解一元二次方程 定义：一般地，一元二次方程可以通过配方转化为的形式. （1）当时，方程有的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根。 💡 拓展延伸 1.配方法的步骤： ①将方程化为一般式后，将二次项系数化为“1”； ②再将常数项移项至等号另一侧； ③等号两侧同时加上一次项系数一半的平方； ④因式分解，将式子变成完全平方式，利用直接开平方法解方程。 2.在配方到这一步时，可以注意到等号右侧分母为正，解的个数仅取决于分子，以此可以先行判断方程的解的个数，或在应用题中检验能否有解； 3.对于较复杂的式子（如形式），可以将括号内的式子看作一个整体进行开方。 4.如遇到型，可以通过增项再减项的方式进行配方，如下： 例：已知，求的值。 解： 即 或 ⚠️特别提醒 在使用配方法之前，需要注意二次项系数是否为“1”，若不为“1”，则方程两边同时除以二次项系数后，方能利用配方法解方程； 📌 归纳总结 配方法解方程： ①系数为“1”； ②常数项移项； ③配方：一次项系数一半的平方； ④求解。 易错点 1 方程求解漏写“”号 · 错例：求解方程时，只求，即，没有考虑的情况 · 错因：思维定势，受算术平方根的影响，习惯性把开方等同于“去平方” · 规避方法：等号右侧的数开方的时候，先写“”号，再写根号，对数进行开方 易错点 2 开方时忽略括号整体 · 错例：求解方程，两边同时开方时，只对和开方，不给开方，认为 · 错因：运算顺序混淆，认为开方只针对未知数 · 规避方法：对于形似的方程，可以先对开方，和相乘看作一个整体，即,再对等号两边的式子同时开方求解方程；若该方法掌握不熟练，也可以先将移项至等号右侧，将二次项系数化为“”后，即，再利用直接开平方法求解 易错点 3 配方法中只对等号一侧增项 · 错例：对方程配方时，只对等号左侧增项，即 · 错因：受解方程“移项变号”的负迁移影响，认为在方程中，配方只是“代数式化简” · 规避方法：方程中的配方法运用的是等式的性质，并非简单的代数变形。在做到配方这一步时，可以用连线的方式把等号右边的常数和左边新加的数连起来，物理性的强制“同加” 易错点 4 二次项系数没化为“1”直接配方 · 错例：对方程配方，得到 · 错因：图省事，跳过关键步骤 · 规避方法：如果打算使用配方法解方程，则需要先观察二次项系数，若前面有数字，第一反应不是配方，而是先在等式两边同时除以它 易错点 5 对负系数配方出错 · 错例：对方程配方时，得到的是或是 · 错因：对分数的平方运算不熟，且受负号干扰 · 规避方法：配方的时候忽略一次项系数的符号，只取一次项系数的绝对值计算一半的平方，并强制用括号书写：，必须写出中间的分步通分过程，不可跳步 易错点 6 忽略负数无法开方的性质 · 错例：对于方程，依然选择对等号右侧的负数强行开方，得到 · 错因：对“负数无平方根”的实数范围界定不清 · 规避方法：需要明确“任何一个一元二次方程在实数范围内都有可能无解”，如果只考虑实数范围内，并非要求每一个一元二次方程必须有解 题型一：直接开平方法—解一元二次方程 📝方法技巧 直接开平方法解方程： ①对于方程，运用直接开平方法求解： （1）当时，方程有两个不相等的实数根，； （2）当时，； （3）当时，方程无实数根。 ②对于方程，先将括号内的看作一个整体，再利用直接开平方法求解。 1.一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 2.方程的根为（    ） A． B． C． D． 3.方程的解是（    ） A． B． C． D． 4.一元二次方程的根是（    ） A．5 B． C． D．25 题型二：利用直接开平方法求参数取值范围 📝方法技巧 若遇到该形式的方程：，其中为一个含有参数（常见的有、）的多项式，要求参数的取值范围： 1 先将多项式移项至等号右侧，将方程变为的形式； 2 令，即可求得参数的取值范围。 1.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 4.若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（） A． B． C． D． 5.关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：由方程的解求参数 📝方法技巧 利用一元二次方程的解求方程中的参数： ①对于形似的方程，当知道该方程的解时，可以利用“解互为相反数的性质”求参数的值； ②对于其他的一元二次方程，当知道该方程的解时，可以选择代入的方法求参数，也可以利用整体思想，求出参数之间的等量关系式。 1.关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 2.若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3.若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 4.若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或3 5.若关于x的方程的根为b，则的值为（    ） A．5 B． C．4或 D．5或 题型四：配方法—解一元二次方程 📝方法技巧 配方法的步骤： ①将方程化为一般式后，将二次项系数化为“1”； ②再将常数项移项至等号另一侧； ③等号两侧同时加上一次项系数一半的平方； ④因式分解，将式子变成完全平方式，利用直接开平方法解方程。 1.用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 2.一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 3.用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 4.将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 5. 解方程： (1)． (2)． 6. 解方程：． 7. 解方程： (1)（配方法）； (2)． 8. 解方程： (1)． (2) 题型五：配方法的应用 📝方法技巧 比较常见的两种问题： （1）某一元二次式的值总大于/小于/大于等于/小于等于某个常数（例如：） 以下为做法步骤： ①将该一元二次式配方，化成完全平方式加一个常数的形式，即：； ②再利用完全平方式的性质，比较和的相对大小，即可得证。 （2）比较两个一元二次式之间的相对大小（例如：比较代数式和代数式之间的相对大小） 以下为做法步骤： ①采用作差法，即； ②将两个一元二次式代入，化简后得到一个新的一元二次式，将其令为代数式； ③对代数式进行配方，得到一个完全平方式加一个常数的形式，即：； ④再利用完全平方式的性质，对和进行比较： ⅰ).若，则说明； ⅱ).若，则说明。 1.（1）按要求解方程：（因式分解法）； （2）用配方法说明：代数式的值总大于0． 2.已知代数式，． (1)当x为何值时，代数式A的值比B的值大2； (2)求证：对于任意x的值，代数式A的值恒大于B的值． 3.试证明无论取何实数时，代数式的值一定是正数． 4.（1）比较与的大小，选填“”“”或“”： ①当时，________； ②当时，________； ③当时，________； （2）无论 m 取何值，判断与有怎样的大小关系？试说明理由． 5.学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解： ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 6.配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 7.形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $