25.2.1配方法-解一元二次方程（讲义，3大知识11大题型）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程中的直接开平方法与配方法，先阐述直接开平方法的定义、适用类型及平方根性质，再过渡到配方法的定义、理论依据（完全平方公式逆用）及四步步骤（移项、化1、配方、开平方），构建从基础解法到转化思想的学习支架。 该资料通过“即学即练”和11类题型（如判断配方正误、求二次三项式最值、实际问题应用），培养学生抽象能力与推理意识，结合用配方法解决面积最值等实例发展应用意识，课中辅助教师清晰授课，课后助力学生查漏补缺。

第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法 定义：先把方程化为的形式，那么可得.像这样利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 【解读】用直接开平方求一元二次方程的解，一定要正确运用平方根的性质，即正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 适合用直接开平方法解一元二次方程有三种类型： 1） 2） 3） 即学即练 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，可通过移项后利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程由根的情况求参数，基于平方数的非负性，方程左边恒大于等于零，因此当a小于零时方程无实数根.． 【详解】解：∵对于任意实数x，有， ∴当时，无实数根． 故选：C． 3．（25-26九年级上·四川广元·期中）一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是_______． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程-直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法的步骤． 通过直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，考虑正负平方根． 【详解】解：方程两边直接开平方， 得， 因此两个一元一次方程分别为和， 故另一个方程是． 故答案为：． 知识点二 配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法. 【解读】 1）配方法的理论依据：完全平方公式的逆用； 2）用配方法解一元二次方程，实际就是由二次项和一次项来配常数项. 3）由配常数项 ①若，则，此时配常数项（即一次项系数一半的平方）即可. ②若，则将二次项系数化为1，再用①的方法来处理. 4）配方的实质：对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的形式，从而把一元二次方程转化成两个一元一次方程求解.即将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 即学即练 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， ． 2．（25-26九年级上·广西来宾·期末）将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 【答案】D 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即，整理为的形式得， ，． 3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过将配方后的方程展开，整理成一般式，与原方程对比常数项，求出c的值． 【详解】解：配方后得到， 展开得， 移项整理得， 原方程为， 对比常数项，得． 故答案为：． 知识点三 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 典例 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 二化 二次项系数化为1 方程两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式 【易错点】在配方过程中忽视等式的性质而导致错误. 即 四开 开平方求根 利用平方根的定义直接开平方 即学即练 1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）小明运用配方法求解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时，发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（   ） 解：……① ，即……② ……③ ，……④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的步骤，关键是在方程两边同时除以同一个不为0的数时，等式两边的每一项都要除以这个数． 【详解】解：原方程为， 方程两边同时除以2时，右边的也应除以2， 正确的步骤①应为， 而题目中步骤①写成了， 因此计算开始出现错误的步骤为①． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）用配方法解一元二次方程得，则b的值为（    ） A． B． C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程−配方法，将一元二次方程配成的形式是解题关键． 根据配方法的结果，推出方程的标准形式，再与原方程比较系数求b． 【详解】∵配方法得， ∴， 展开得， 整理得． 原方程两边除以2得． 比较系数，得， ∴， ∴． 故选C． 3．（25-26九年级上·北京·期中）解方程：，_____________ 【答案】 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，运用配方法求解即可. 【详解】解： ∴，． 故答案为： ，． 题型01 直接开平方法解一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）解方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， 开平方得：， 所以或， 解得：． 题型02 配方法解一元二次方程（a=1） 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖南娄底·月考）若代数式与的值互为相反数，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元二次方程，由相反数的定义可得，再解一元二次方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·全国·期末）一元二次方程 的根为_______________  ． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查解一元二次方程—配方法，两边都加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式，继而开方可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴，， 故答案为：，． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，若，则x的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程；根据新定义以及已知条件，可得，利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）用配方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】用配方法计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴，； （2）解： ，． 题型03 配方法解一元二次方程（a≠1） 典｜例｜精｜析 1．（四川省泸州市泸县五中学区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）将一元二次方程配方，其正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方将二次方程转化为完全平方形式，需先使二次项系数为1，再计算一次项系数一半的平方并加至两边，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵原方程为， ∴ 两边除以2，得， ∴ 一次项系数一半为，其平方为， ∴ 两边加，得， 整理得． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·期末）将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，注意配方时添加常数项． 通过配方法将方程化为标准形式，先使二次项系数为1，再配方． 【详解】解：∵ ， ∴ 两边除以2：， ∴ 移项：， ∴ 配方：，即 ， ∴ 与 比较，得 ，， 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）完成下面的解题过程． 用配方法解方程． 解：移项，得____________， 二次项系数化为，得____________， 配方，得____________， 由此得____________， 解得____________，____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 按照配方法的步骤解方程即可． 【详解】解：移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得，即， 开平方，得 ， 解得：，． 故答案为：①，②，③，④ ，⑤，⑥ ． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． （1）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可； （2）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 题型04 判断配方法解方程的正误 典｜例｜精｜析 1．（2025·湖南岳阳·一模）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的， 故选：B 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南安阳·月考）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（   ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤“①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方”是解题的关键． 根据配方法的步骤逐项判断即可． 【详解】解：A． 原方程移项得．配方：加上一次项系数的一半的平方1，得，正确，不符合题意； B． 原方程移项得．配方：加上一次项系数4的一半的平方4，得，正确，不符合题意； C． 原方程移项得．配方：加上一次项系数的一半的平方9，得，正确，不符合题意； D． 原方程移项得．配方：加上一次项系数8的一半的平方16，得，但选项写为25，错误，符合题意． 故选D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列是小静同学解方程的步骤：①；②；③；④；⑤；⑥．小静的解法是从步骤________开始出现错误的（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程的步骤，关键在于在方程两边加上一次项系数一半的平方进行配方，然后正确开平方求解． 根据题意可知，小静想使用配方法解，步骤①是正确的，步骤②该配方即：方程两边加上一次项系数一半的平方，由此可知答案． 【详解】解： 移项，得， 配方，得 而小静写的是， 所以小静的解法从步骤②开始出现错误． 故答案为：②． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得．① 二次项系数化为1，得．② 配方，得，即．③ 开方，得．④ ，⑤ (1)小聪的解答过程是从第____步开始出现错误的，错误的原因是_________； (2)用这种方法解方程：． 【答案】(1)③；配方时方程右边没有加1 (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． （1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解． 【详解】（1）解：小聪的解答过程是从第③步开始出现错误的，错误的原因是配方时方程右边没有加1； 故答案为：③；配方时方程右边没有加1 （2）解：， 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得即， 开方，得， 所以，，． 题型05 利用配方法判断方程根的情况 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·山西运城·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法求出方程的根，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即：方程有有两个不相等的实数根； 故选A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法-直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键．根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ， 解得：， 故选： 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）关于的方程无实数根，那么满足的条件是__________． 【答案】/ 【分析】根据任意实数的平方为非负数得到关于参数的不等式，求解即可． 【详解】由题意，得，解得； 故答案为： 【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程，平方数的非负性；掌握平方数的非负性是解题的关键． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）若关于x的方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】0 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的相关结论是解题的关键； 对于配方后的一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，，据此即可求解． 【详解】解：若关于x的方程有两个相等的实数根，则． 故答案为：0． 题型06 二次三项式的配方变形 典｜例｜精｜析 1．（【智】013第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程数学九年级BS版上册）（1）将一元二次方程配方后，得________． （2）将一元二次方程配方后，得________． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法把一元二次方程的左边化成完全平方式. 根据一元二次方程配方法的步骤解题. （1）移项：先化把常数项移到右边； （2）再化二次项系数为1； （3）配方：左右两边加上一次项系数一半的平方，左边写成完全平方式即可得到答案. 【详解】解：（1）对，移项得：， 方程两边同除3，得：， 配方，得：即. 故答案为：. （2）对，移项得：， 方程两边同除5，得：， 配方，得：即. 故答案为： ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）将方程配方成的形式，则______． 【答案】30 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方将原方程转化为的形式，确定与的值后，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为______． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，从而确定参数a和b的值，再计算它们的和可得答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知方程，用配方法化为．则___________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程， 根据完全平方公式加上一次项系数一半的平方配方，再根据对应系数相等可得答案. 【详解】解：方程， 配方，得， 即， 则， 解得. 故答案为：3. 题型07 利用配方法求二次三项式的最值 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法的应用，仿照题意求出，再根据即可得到，据此可得答案． 【详解】解： ∵ ∴ ∴， ∴对于代数式的最值，最大值为13， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）代数式的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再根据偶次方的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为， 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南常德·月考）代数式的最大值______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，对原式进行配方，再根据非负数的性质即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河南郑州·月考）对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 【答案】 大 4 【分析】本题考查代数式的运算，配方法的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键．把化为 ，由平方的非负性得，，从而，由不等式性质，不等式两边同时加或减一个数，不等号不变，即，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 当时，有最大值为4． 故答案为：；大；4． 4．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用、非负数的性质，依据题意将化为，又对于任意的，都有，，进而得解．熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 【详解】解：∵ ， 又∵对于任意的，都有，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 题型08 利用配方法证明代数式恒正 / 恒负 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握配方法、偶次方的非负性是解题的关键． 先求出的值，然后根据偶次方的非负性，判断出值的正负，进而判断出两者的大小关系． 【详解】解： ． ， ， ， ． 故答案为：C． 变｜式｜巩｜固 1．（2022·山东德州·中考真题）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键． 根据完全平方式利用配方法把的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴大于0， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【详解】解：， ∵无论x取何实数，A的值都不是负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 题型09配方法在实际问题中的最值应用 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东汕头·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为，所以， 因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则的最小值为_____； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？ 【答案】(1) (2)，见解析 (3)当时，的面积最大，且最大面积为 【分析】本题主要考查了配方法求最值、非负数的性质等知识点，根据阅读材料、理解配方法是解答本题的关键． （1）根据阅读材料提供的方法解答即可； （2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可； （3）先用t表示出，然后表示出的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可． 【详解】（1）解： 当时，，因此 有最小值，最小值为， ∴ A的最小值为， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ，， ； （3）解：由题意得：， 当时，的面积最大，且最大面积为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式及叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数，即 ∴ 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2． (1)仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并写出相应的x的值； (2)实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，．如果设矩形的一边， ①请问矩形的面积能否达到？为什么，请说明理由； ②求出当x取何值时，矩形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)最大值为59，相应的x的值为 (2)①不能，理由见解析；②当时，矩形面积最大值为 【分析】（1）将代数式化为，即可求解； （2）①证明为等腰直角三角形，则，得，由即可判定；②，再根据（1）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵是非负数， ∴， ∴， 则代数式的最大值为59，这时相应的x的值为； （2）解：①∵为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当矩形的面积达到时，， 整理得：， ， ∴方程没有实数根， ∴矩形的面积不能达到． ② ， ∵是非负数， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大值为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法确定最值，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，是解题的关键． 2．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）利用配方法解一元二次方程是一种有效的手段，其实配方法还有其他的重要应用．例如，对于二次三项式，可以配方为，即，而对于任意实数都有，所以，即有最小值3； (1)试说明，无论取何值，二次根式恒有意义； (2)为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为，，，时，设最佳值为，那么的值应为最小，求出此时的值； (3)若某次实验测量了6次，由这6次数据的得到的最佳值为4；又测量了4次，这4次数据得到的最佳值为6，则利用这10次数据得到的最佳值应为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，配方法：根据完全平方公式为，二次项系数为1的多项式配成完全平方式是加上一次项系数一半的平方，注意等式是恒等变形是解题关键． （1）将配方即可解答． （2）化简，配方后的，即可解答； （3）设最佳值为，根据前6次数据的得到的最佳值为4，得出其与前6个数据的差的平方和可表示为，同理，其与后4个数据的差的平方和可表示为，化简得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴二次根式恒有意义； （2）解：∵， 而， 故当时，有最小值为； （3）解：设最佳值为， ∵前6次数据的得到的最佳值为4， ∴其与前6个数据的差的平方和可表示为， 同理，其与后4个数据的差的平方和可表示为， ∴； 故当时原式取得最小值， 所以最佳值应为． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 【答案】(1)，小， (2)，大， (3)当宽是，高是时，窗户的透光面积最大 【分析】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本性质是解题的关键． （1）利用利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解； （3）窗框的宽度为，则高度为，则，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 当，即时，代数式有最小值， 故答案为：，小，； （2） ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值， 故答案为：，大，； （3）窗框的宽度为，则高度为， 窗户的透光面积 ， ， ， ， 当，即时，代数式有最大值，即窗户的透光面积最大为， 此时窗框的高为， 答：当宽是，高是时，窗户的透光面积最大． 题型10 利用配方法解含参一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知关于的方程只有一个负根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据配方法解得，再根据关于的方程只有一个负根，列出一元一次不等式组，解之即可求解． 【详解】解：由配方法解方程得：， ， ， ，且原方程只有一个负根， ， ， 的取值范围：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)若k是最小的整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于的一元一次不等式；（2）确定的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键． （1）根据题意得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）根据的范围可知，代入原方程后利用配方法解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：∵原方程有实数根， ， ； （2）解：∵是最小的整数，又， ， 当时，原方程为，即， 解得． 因此，原方程的根为． 2．（21-22九年级上·河南洛阳·期中）关于x的一元二次方程有实根． （1）求m的取值范围； （2）当m取最大整数时，求此方程的根． 【答案】（1）且；（2）， 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系可得，且判别式，求解即可； （2）由（1）得m的最大整数为4，代入利用配方法求解即可． 【详解】解：（1）由题意得且， 解得且． ∴m的取值范围是且． （2）∵且． ∴m的最大整数值是4，当时，原方程化为， 即 解得，． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，以及一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 题型11 用配方法解决多元二次方程问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法的应用，将式子变形为，则可得当时，等式成立，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴当且仅当，，时，即时，等式成立， ∴， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 2．（23-24九年级上·云南昭通·月考）已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质分别求出x，y的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，， ，， ， 故选C． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数m，n满足，则的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用．先把原式转化为，可得当，时，等式成立，即可求得，，再代入求值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法 定义：先把方程化为的形式，那么可得.像这样利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 【解读】用直接开平方求一元二次方程的解，一定要正确运用平方根的性质，即正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 适合用直接开平方法解一元二次方程有三种类型： 1） 2） 3） 即学即练 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川广元·期中）一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是_______． 知识点二 配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法. 【解读】 1）配方法的理论依据：完全平方公式的逆用； 2）用配方法解一元二次方程，实际就是由二次项和一次项来配常数项. 3）由配常数项 ①若，则，此时配常数项（即一次项系数一半的平方）即可. ②若，则将二次项系数化为1，再用①的方法来处理. 4）配方的实质：对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的形式，从而把一元二次方程转化成两个一元一次方程求解.即将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 即学即练 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广西来宾·期末）将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为______． 知识点三 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 典例 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 二化 二次项系数化为1 方程两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式 【易错点】在配方过程中忽视等式的性质而导致错误. 即 四开 开平方求根 利用平方根的定义直接开平方 即学即练 1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）小明运用配方法求解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时，发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（   ） 解：……① ，即……② ……③ ，……④ A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）用配方法解一元二次方程得，则b的值为（    ） A． B． C．6 D．2 3．（25-26九年级上·北京·期中）解方程：，_____________ 题型01 直接开平方法解一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）方程的根是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）解方程： ． 题型02 配方法解一元二次方程（a=1） 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·湖南娄底·月考）若代数式与的值互为相反数，则的值为________． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·全国·期末）一元二次方程 的根为_______________  ． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，若，则x的值为_________． 3．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）用配方法解方程 (1)； (2)． 题型03 配方法解一元二次方程（a≠1） 典｜例｜精｜析 1．（四川省泸州市泸县五中学区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）将一元二次方程配方，其正确的结果是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·期末）将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）完成下面的解题过程． 用配方法解方程． 解：移项，得____________， 二次项系数化为，得____________， 配方，得____________， 由此得____________， 解得____________，____________． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 题型04 判断配方法解方程的正误 典｜例｜精｜析 1．（2025·湖南岳阳·一模）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南安阳·月考）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（   ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列是小静同学解方程的步骤：①；②；③；④；⑤；⑥．小静的解法是从步骤________开始出现错误的（填序号）． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得．① 二次项系数化为1，得．② 配方，得，即．③ 开方，得．④ ，⑤ (1)小聪的解答过程是从第____步开始出现错误的，错误的原因是_________； (2)用这种方法解方程：． 题型05 利用配方法判断方程根的情况 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·山西运城·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）关于的方程无实数根，那么满足的条件是__________． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）若关于x的方程有两个相等的实数根，则______． 题型06 二次三项式的配方变形 典｜例｜精｜析 1．（【智】013第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程数学九年级BS版上册）（1）将一元二次方程配方后，得________． （2）将一元二次方程配方后，得________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）将方程配方成的形式，则______． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为______． 3．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知方程，用配方法化为．则___________． 题型07 利用配方法求二次三项式的最值 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值． 例：． ， ，即， 的最小值为1． 参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（   ） A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）代数式的最小值为（   ） A． B． C． D．6 2．（25-26九年级上·湖南常德·月考）代数式的最大值______． 3．（25-26九年级上·河南郑州·月考）对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 4．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 题型08 利用配方法证明代数式恒正 / 恒负 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 变｜式｜巩｜固 1．（2022·山东德州·中考真题）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是______． 3．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 题型09配方法在实际问题中的最值应用 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东汕头·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为，所以， 因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则的最小值为_____； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式及叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数，即 ∴ 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2． (1)仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并写出相应的x的值； (2)实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，．如果设矩形的一边， ①请问矩形的面积能否达到？为什么，请说明理由； ②求出当x取何值时，矩形的面积最大，最大值是多少？ 2．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）利用配方法解一元二次方程是一种有效的手段，其实配方法还有其他的重要应用．例如，对于二次三项式，可以配方为，即，而对于任意实数都有，所以，即有最小值3； (1)试说明，无论取何值，二次根式恒有意义； (2)为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为，，，时，设最佳值为，那么的值应为最小，求出此时的值； (3)若某次实验测量了6次，由这6次数据的得到的最佳值为4；又测量了4次，这4次数据得到的最佳值为6，则利用这10次数据得到的最佳值应为多少？ 3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值． (1)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ． (3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 题型10 利用配方法解含参一元二次方程 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知关于的方程只有一个负根，求的取值范围． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)若k是最小的整数，求此时方程的根． 2．（21-22九年级上·河南洛阳·期中）关于x的一元二次方程有实根． （1）求m的取值范围； （2）当m取最大整数时，求此方程的根． 题型11 用配方法解决多元二次方程问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·云南昭通·月考）已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数m，n满足，则的值为____________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $