4.3.1 对数的概念 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“对数的概念”新授课同步练习，以“基础巩固-综合辨析-应用拓展”分层设计，通过多样化题型构建从概念理解到实际应用的知识巩固路径，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|对数概念、指对互化|单选题（1-5题）聚焦定义辨析，填空题（12-14题）强化基本运算，夯实数学抽象基础| |提升层|对数有意义条件、性质辨析|多选题（10-11题）考查概念严谨性，填空题（15-17题）结合大小比较，发展逻辑推理| |应用层|实际问题、综合证明|解答题（19-21题）含声强级计算与反证法证明，体现数学应用与理性思维，衔接后续学习|

4.3.1 对数的概念 同步练习（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 4．对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．0或1 6．在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 9．声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 11．下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．________. 13．若，则__________. 14．若，则__________. 15．若有意义，则实数的取值范围是__________. 16．，，则______． 17．已知，，，则，，的大小关系是________（用“<”连接） 四、解答题 18．已知，函数, .若，求的值. 19．（1）求值：； （2）解不等式. 20．（1）求出下列式子中的x的取值范围：； （2）设x、，利用反证法证明：若，则或. 21．已知函数. (1)当时，求的值； (2)求的解集； (3)若，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《4.3.1 对数的概念 同步练习（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C B D B C B ACD 题号 11 答案 AB 1．B 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】根据对数式与指数式的互化公式，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】， 所以. 故选：B 2．A 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数的运算律及对数的运算，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 3．B 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 4．C 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【详解】由题. 故选：C. 5．B 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、对数的概念判断与求值、求分段函数值 【分析】根据分段函数解析式求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为且， 所以或， 解得或， 当时，； 当时，； 综上可得的值为. 故选：B 6．D 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 7．B 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 8．C 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式与对数式的互化，结合指数式的运算法则，得到，进一步求的值. 【详解】设， 则，，， 所以， 又，，则，所以. 故选：C 9．B 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据公式直接计算得到答案. 【详解】由题意可得. 故选：B 10．ACD 【知识点】对数的概念判断与求值 【详解】要使有意义，则解得或． 11．AB 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数的定义和运算逐项分析求解. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. 12．9 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的概念判断与求值 【分析】根据对数定义以及指数幂运算求解即可. 【详解】原式. 故答案为：9. 13．9 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】利用对数的定义直接求解. 【详解】由，得. 故答案为：9 14． 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】由指对互换公式可得答案. 【详解】由 ，得： ， 于是， 因此 故答案为： 15． 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 16． 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】利用指对互化得，变形得，解二次方程求得，即可得解. 【详解】设，则， 所以，因为，所以， 所以，即， 解得或（负根舍去）， 所以. 故答案为： 17． 【知识点】比较指数幂的大小、对数的概念判断与求值 【分析】整理可得，，结合指数函数单调性分析判断. 【详解】因为，， 且在定义域内单调递增，则， 即，所以. 故答案为：. 18． 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据列式，利用对数与指数运算的互化得到方程①与②，联立消去，即可求得. 【详解】由，可得， 即，所以①， 又由，可得，即②； 由①式与②式相乘，可得， 解得. 19．（1）；（2） 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的概念判断与求值、分式不等式 【分析】（1）根据指数幂运算以及对数的定义运算求解即可； （2）整理可得，分析可得，运算求解即可. 【详解】（1）原式； （2）因为，可得，即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 20．（1）或；（2）证明见解析. 【知识点】对数的概念判断与求值、反证法证明 【分析】（1）利用对数的定义列出不等式组求解得答案. （2）利用反证法，结合不等式性质证明命题. 【详解】（1）由，得，解得或， 所以的x的取值范围是或. （2）假设且，则，与已知矛盾， 则假设是错的，所以或. 21．(1) (2) (3) 【知识点】求函数值、指数式与对数式的互化、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）将代入求值即可. （2）利用指数函数的性质解不等式. （3）根据函数解析式解方程即可. 【详解】（1）由题意. （2）由. 所以所求不等式的解集为. （3）由， 由. 所以方程的解为：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $