第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义人教A版必修第一册

第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合 （知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数奇偶性的概念 知识点02：根据函数的奇偶性求函数的解析式 知识点03：利用函数的奇偶性与单调性比较大小 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：函数奇偶性的定义与判断 题型02：由奇偶性求函数解析式 题型03：抽象函数的奇偶性 题型04：由奇偶性求参数 题型05：由函数奇偶性解不等式 题型06：奇偶性+单调性比较函数值大小 题型07：奇偶函数对称性的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数奇偶性的概念 偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 注意点： (1)函数的奇偶性是函数的整体性质． (2)先判断定义域是否关于原点对称，对于∀x∈D，都有－x∈D，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数． (3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称． (4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0. (5)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数． 【例1】判定函数 的奇偶性。 【知识点02】根据函数的奇偶性求函数的解析式 用奇偶性求解析式的步骤： 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)． 【例2】已知 是定义在 上的奇函数，当 时，，求 时函数 的解析式。 【知识点03】利用函数的奇偶性与单调性比较大小 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M. 4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N. 【例3】已知偶函数 在 上单调递增，比较 的大小。 【题型01】函数奇偶性的定义与判断 【典例1-1】（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式1-1】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【变式1-3】（多选）（25-26高一上·广东东莞·期中）下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 【题型02】由奇偶性求函数解析式 【典例2-1】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式为_____． 【变式2-3】设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【题型03】抽象函数的奇偶性 【典例3-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【变式3-1】（多选）（25-26高一上·广西桂林·期中）已知函数满足对任意的，都有，且，则（　　） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【变式3-2】已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【变式3-3】（24-25高一上·河南·阶段检测）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【题型04】由奇偶性求参数 【典例4-1】（25-26高一下·河南·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【变式4-1】（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数是奇函数，则实数t的可能取值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【变式4-2】（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数为偶函数，则__________. 【变式4-3】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数 . (1)若函数为奇函数，求的值； (2)判断函数的单调性，并加以证明. 【题型05】由函数奇偶性解不等式 【典例5-1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·云南德宏·期末）设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 【变式5-3】（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数是上的偶函数． (1)求函数的解析式，并用定义证明在上单调递增； (2)求不等式的解集． 【题型06】奇偶性+单调性比较函数值大小 【典例6-1】设是上的偶函数，且在上是增函数，若且，则（ ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【变式6-1】若定义域为的奇函数满足，且在上单调递减，则 A． B． C． D．与的大小不确定 【变式6-2】已知为偶函数且在上单调递增，比较，，大小关系_____. 【变式6-3】（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递减，且. (1)求不等式的解集； (2)比较与的大小. 【题型07】奇偶函数对称性的应用 【典例7-1】（25-26高一上·山西太原·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 【变式7-2】函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则______． 【变式7-3】想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在上单调递减，那么它在上的单调性如何？如果偶函数在上单调递减，那么它在上的单调性如何？ 知识点01函数奇偶性的核心概念 1. 判定前提（必考） 函数具备奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。若定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，无需验证解析式。 2. 奇偶性定义（标准公式） 设函数 ，定义域为 ，，有 ： 偶函数：，图象关于 轴对称； 奇函数：，图象关于原点中心对称。 3. 特殊结论 1. 若奇函数在 处有定义，则； 2. （定义域关于原点对称）为既奇又偶函数； 3. 奇偶性分为：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四类。 知识点02奇偶性求函数解析式（核心题型） 1. 解题原理 已知函数在一侧区间解析式，利用奇偶性推导对称区间解析式，是必修一核心基础题型。 2. 核心公式 奇函数： 偶函数： 3. 标准解题步骤 ① 设未知区间的自变量；② 取相反数转化为已知区间；③ 代入已知解析式；④ 利用奇偶性公式化简，得出结果。 知识点03奇偶性+单调性综合比较大小（高频考点） 1. 解题核心思想 先统一区间，再比较大小：利用奇偶性将负自变量转化为正自变量，统一到同一单调区间，再借助单调性判断函数值大小。 2. 对称区间单调性规律 ① 奇函数：在对称区间上单调性一致； ② 偶函数：在对称区间上单调性相反。 3. 判定规则 单调递增：自变量越大，函数值越大； 单调递减：自变量越大，函数值越小。 知识点04本节必背公式汇总 知识点模块 核心公式与结论 偶函数定义 奇函数定义 奇函数零点性质 知识点05高频易错点总结 1. 定义域优先：判断奇偶性第一步必须检查定义域，不对称直接判定非奇非偶； 2. 奇函数求解析式容易遗漏负号，是高频计算错误； 3. 偶函数正负区间单调性相反，比较大小必须统一区间； 4. 仅适用于在原点有定义的奇函数，偶函数不适用。 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 4．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上为减函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列函数中，是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）函数是定义在上的奇函数，下列说法中正确的是（   ） A． B．若在上为增函数，则在上为减函数 C．若在上有最小值，则在上有最大值1 D．，使 11．（25-26高一上·四川德阳·期末）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．是定义域为的奇函数 C．不等式的解集为 D．函数的值域为 三、填空题 12．若函数是奇函数，则实数______． 13．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____________. 14．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 四、解答题 15．已知定义域为R的奇函数满足，当时，求解析式． 16．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知是奇函数，是偶函数，试将下图中的函数图象补充完整. （2）判断下列函数的奇偶性： ①； ②； ③； 17．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数. (1)根据定义研究的单调性； (2)若，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求不等式的解集． 19．（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知函数是上的偶函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合 （知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数奇偶性的概念 知识点02：根据函数的奇偶性求函数的解析式 知识点03：利用函数的奇偶性与单调性比较大小 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：函数奇偶性的定义与判断 题型02：由奇偶性求函数解析式 题型03：抽象函数的奇偶性 题型04：由奇偶性求参数 题型05：由函数奇偶性解不等式 题型06：奇偶性+单调性比较函数值大小 题型07：奇偶函数对称性的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数奇偶性的概念 偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 注意点： (1)函数的奇偶性是函数的整体性质． (2)先判断定义域是否关于原点对称，对于∀x∈D，都有－x∈D，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数． (3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称． (4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0. (5)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数． 【例1】判定函数 的奇偶性。 解：步骤1：判断定义域 该函数为二次函数，定义域为全体实数 ，定义域关于原点对称，满足奇偶性判定条件。 步骤2：代入自变量 求解函数值 步骤3：结合定义判定 可得 ，完全符合偶函数定义。 最终结论：函数 为偶函数。 【知识点02】根据函数的奇偶性求函数的解析式 用奇偶性求解析式的步骤： 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)． 【例2】已知 是定义在 上的奇函数，当 时，，求 时函数 的解析式。 解：步骤1：转换自变量区间 令 ，则 ，此时 满足已知解析式的取值范围。 步骤2：代入已知区间解析式 步骤3：利用奇函数性质变形 由奇函数定义 ，可得： 步骤4：整理化简结果 最终结论：当 时，。 【知识点03】利用函数的奇偶性与单调性比较大小 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M. 4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N. 【例3】已知偶函数 在 上单调递增，比较 的大小。 解：步骤1：利用偶函数性质统一区间 由偶函数 ，得 ； 原待比较函数值统一为：。 步骤2：结合单调性判断大小 已知 在 上单调递增，自变量越大，函数值越大。 自变量大小关系： 对应函数值关系： 步骤3：还原原式 最终结论： 【题型01】函数奇偶性的定义与判断 【典例1-1】（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】先写出函数定义域，再应用奇函数定义判断求解. 【详解】∵的定义域为， ， 所以是奇函数. 【变式1-1】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要判断函数的奇偶性，先依据奇函数定义，对于定义域为的函数，若满足，则为奇函数，再逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：因为， 所以，满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.A错误. 选项B：因为， 所以， 满足奇函数定义，是奇函数.B正确. 选项C：因为， 所以， 满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数. C错误. 选项D：因为， 所以， 满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.D错误. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据奇偶性的概念分别判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的概念与性质逐项判断即可得结论. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， A选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，A错误； B选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，B错误； C选项，对于函数，定义域为， ，则是奇函数，C正确； D选项，对于函数，定义域为， ，则是偶函数，D错误． 【变式1-3】（多选）（25-26高一上·广东东莞·期中）下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用奇偶性的定义判断各函数的奇偶性. 【详解】A：的定义域为R，且，即为奇函数， B：的定义域为，且，即为奇函数， C：的定义域为R，且，即为奇函数， D：的定义域为，显然定义域不关于原点对称，不为奇函数. 故选：ABC 【题型02】由奇偶性求函数解析式 【典例2-1】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 【变式2-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 【变式2-2】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式为_____． 【答案】 【分析】由偶函数的性质求解. 【详解】对，则， 所以， 又由为偶函数，得， 所以. 故答案为：. 【变式2-3】设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质求时的函数解析式，即可得. 【详解】设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 综上，. 【题型03】抽象函数的奇偶性 【典例3-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B 【变式3-1】（多选）（25-26高一上·广西桂林·期中）已知函数满足对任意的，都有，且，则（　　） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】根据题目条件采用赋值法逐一判断选项. 【详解】令，得，因为，所以A正确． 令，得，所以，则是偶函数，B正确，C错误． 令，得，所以 ， 所以，即D正确． 故选：ABD 【变式3-2】已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【答案】偶函数 【分析】通过赋值找到与的关系，从而确定奇偶性. 【详解】令，则，即， ∵，解得． 再令，则，移项可得， ∴是偶函数． 【变式3-3】（24-25高一上·河南·阶段检测）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)是奇函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明. 【详解】（1）设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． （2）是奇函数． 证明如下：由， 所以， 由，令， 则，再令，解得， 所以， 所以 ， 故是奇函数． 【题型04】由奇偶性求参数 【典例4-1】（25-26高一下·河南·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【答案】B 【分析】分析可知函数的定义域为，结合奇函数定义运算求解. 【详解】因为函数的定义域为，且为奇函数， 则， 结合的任意性可得． 【变式4-1】（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数是奇函数，则实数t的可能取值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】AB 【分析】利用，求得，根据函数的定义域得到，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得，且，且， 因为函数为奇函数，可得，即， 整理得，则， 要使得函数的定义域关于原点对称，只需． 结合选项，A、B符合题意. 故选：AB. 【变式4-2】（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数为偶函数，则__________. 【答案】5 【分析】根据偶函数的定义，代入整理，即可得答案. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 则， 解得，所以. 【变式4-3】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数 . (1)若函数为奇函数，求的值； (2)判断函数的单调性，并加以证明. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，证明见详解. 【分析】（1）根据定义域为R的奇函数满足求出的值，再验证即可； （2）利用函数单调性的定义可证得结果. 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，又函数为奇函数，， ，解得. 当时，，， ，所以当时，函数为奇函数. 综上，的值为. （2）函数在上单调递减，理由如下； 设， 则 ， 因为指数函数在上单调递增，且，，即， 又，，即， 故函数在上单调递减. 【题型05】由函数奇偶性解不等式 【典例5-1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数单调性与奇偶性计算即可得. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 则函数在上单调递增， 又，所以， 即当时，，当或时，， 所以不等式的解集为. 【变式5-1】（25-26高一上·云南德宏·期末）设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到在上为减函数，且，从而得到的取值情况，从而求出不等式的解集. 【详解】因为偶函数在上为增函数，所以在上为减函数， 又，所以， 所以当或时，当或时， 不等式，即或， 解得或，即不等式的解集为. 故选：B 【变式5-2】（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据偶函数及单调性列不等式求解即可． 【详解】由偶函数知，由单调性知，解得， 所以解集为． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数是上的偶函数． (1)求函数的解析式，并用定义证明在上单调递增； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】（1）利用偶函数的定义求出值，即得函数解析式，再由函数单调性的定义证明即可； （2）利用函数的奇偶性与单调性，将抽象不等式化成绝对值不等式，两边取平方化简求解即得. 【详解】（1）由函数是上的偶函数，得对任意恒成立， 即对任意恒成立，整理得对任意恒成立， 所以，此时函数的解析式为； 任取，且， 则， 由，得，，， 因此，则，即， 故函数在上单调递增. （2）由（1）知，定义在上的偶函数在上单调递增，则在上单调递减， 由，则得，解得. 故原不等式的解集为. 【题型06】奇偶性+单调性比较函数值大小 【典例6-1】设是上的偶函数，且在上是增函数，若且，则（ ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】B 【分析】由题意可得在上单调递减且，由此可得结论． 【详解】解：是上的偶函数，且在上为增函数， 故在上单调递减， 若，且，则， ． 故选：B． 【变式6-1】若定义域为的奇函数满足，且在上单调递减，则 A． B． C． D．与的大小不确定 【答案】A 【详解】试题分析：由可知函数周期为2，在上单调递减，所以在区间上单调递减，由函数是奇函数，所以在上递减，所以有 考点：函数的单调性周期性单调性 【变式6-2】已知为偶函数且在上单调递增，比较，，大小关系_____. 【答案】/ 【分析】由为偶函数得出函数的图象关于直线对称，然后依据函数单调性比大小. 【详解】因为为偶函数，所以 ,则函数的图象关于直线对称. 又因为且在上单调递增. 所以. 故答案为: 【变式6-3】（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递减，且. (1)求不等式的解集； (2)比较与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的对称性可知当时，从而将所求不等式转化为，解得即可； （2）由及函数的奇偶性与单调性即可判断. 【详解】（1）定义在上的偶函数在上单调递减，则在上单调递增， 又，所以， 则当时，不等式，即， 即，解得或， 所以不等式的解集为； （2）因为当且仅当时取等号， 又，且在上单调递减， 所以. 【题型07】奇偶函数对称性的应用 【典例7-1】（25-26高一上·山西太原·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的对称性确定区间单调性，再由不等式等价于或，应用单调性求解集. 【详解】由偶函数的对称性，且在上单调递减，则在上单调递增， 又，则等价于或， 所以或，故解集为. 故选：C 【变式7-1】（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得； 【详解】设，则为奇函数， 可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得 即，, 由可得， 即， 所以， 故选：A. 【变式7-2】函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则______． 【答案】4 【分析】根据函数的对称性求出，利用奇偶性求得，再利用函数的奇偶性以及对称性即可求得的值，即得答案. 【详解】由于函数图象关于直线对称，， 故，又为偶函数，故， 则， 故答案为：4 【变式7-3】想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在上单调递减，那么它在上的单调性如何？如果偶函数在上单调递减，那么它在上的单调性如何？ 【答案】奇函数在上单调递减，偶函数在上单调递增． 【详解】奇函数在上单调递减， 即它的图象在上下降， 因为奇函数的图象关于原点对称，则它的图象在上是下降的， 即奇函数在上单调递减； 同理，偶函数在上单调递减， 即它的图象在上下降， 因为偶函数的图象关于轴对称，则它的图象在上是上升的， 即偶函数在上单调递增. 知识点01函数奇偶性的核心概念 1. 判定前提（必考） 函数具备奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。若定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，无需验证解析式。 2. 奇偶性定义（标准公式） 设函数 ，定义域为 ，，有 ： 偶函数：，图象关于 轴对称； 奇函数：，图象关于原点中心对称。 3. 特殊结论 1. 若奇函数在 处有定义，则； 2. （定义域关于原点对称）为既奇又偶函数； 3. 奇偶性分为：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四类。 知识点02奇偶性求函数解析式（核心题型） 1. 解题原理 已知函数在一侧区间解析式，利用奇偶性推导对称区间解析式，是必修一核心基础题型。 2. 核心公式 奇函数： 偶函数： 3. 标准解题步骤 ① 设未知区间的自变量；② 取相反数转化为已知区间；③ 代入已知解析式；④ 利用奇偶性公式化简，得出结果。 知识点03奇偶性+单调性综合比较大小（高频考点） 1. 解题核心思想 先统一区间，再比较大小：利用奇偶性将负自变量转化为正自变量，统一到同一单调区间，再借助单调性判断函数值大小。 2. 对称区间单调性规律 ① 奇函数：在对称区间上单调性一致； ② 偶函数：在对称区间上单调性相反。 3. 判定规则 单调递增：自变量越大，函数值越大； 单调递减：自变量越大，函数值越小。 知识点04本节必背公式汇总 知识点模块 核心公式与结论 偶函数定义 奇函数定义 奇函数零点性质 知识点05高频易错点总结 1. 定义域优先：判断奇偶性第一步必须检查定义域，不对称直接判定非奇非偶； 2. 奇函数求解析式容易遗漏负号，是高频计算错误； 3. 偶函数正负区间单调性相反，比较大小必须统一区间； 4. 仅适用于在原点有定义的奇函数，偶函数不适用。 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性，单调性分析可得. 【详解】对于A，，故为偶函数，错误； 对于B，，且在上单调递增，故正确； 对于C，，是奇函数但是在区间和上单调递减，故错误； 对于D，因为，所以以先减后增，故错误. 故选：B. 2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义可得，或根据偶函数图象的对称性可得. 【详解】函数的定义域为. 由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立， 因此，即． 方法二：函数的对称轴为. 因为偶函数的图象关于轴对称，所以，所以. 当时，，定义域为R，且满足，是偶函数. 因此，. 3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义逐项判断即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 对于A，，所以为奇函数，故A错误； 对于B，，所以为偶函数，故B错误； 对于C，，与和均不相等， 所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，故为偶函数，故D正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】任取，由奇函数性质求解. 【详解】当时，，则， 已知函数是定义域为的奇函数，所以，因此． 故选：． 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质求解析式即可. 【详解】由，则，故， 所以. 故选：D 6．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数性质可得，再利用函数单调性即可判断． 【详解】由是定义在上的偶函数，则， 由在上是增函数，则， 所以． 7．（25-26高一上·福建泉州·期中）若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 8．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上为减函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在上为减函数，在上为增函数，距离对称轴越远，函数值越大，即可求解． 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递增， 由可得， 解得或， 故不等式的解集为或. 故选：B． 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列函数中，是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A选项中，，定义域为， 关于原点对称，且， 符合奇函数定义，是奇函数， B选项中，，定义域为， 但，是偶函数，不是奇函数， C选项中，，定义域为， 定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，不是奇函数， D选项中，，定义域为，关于原点对称， 且，符合奇函数定义，是奇函数. 10．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）函数是定义在上的奇函数，下列说法中正确的是（   ） A． B．若在上为增函数，则在上为减函数 C．若在上有最小值，则在上有最大值1 D．，使 【答案】AC 【分析】根据奇函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为是定义在上的奇函数，所以，故A正确； 对于B：因为是定义在上的奇函数，且在上为增函数， 则在上为增函数，故B错误； 对于C：因为是定义在上的奇函数，则的图象关于原点对称， 又在上有最小值，所以在上有最大值，故C正确； 对于D：因为是定义在上的奇函数，则，都有，故D错误. 故选：AC 11．（25-26高一上·四川德阳·期末）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．是定义域为的奇函数 C．不等式的解集为 D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】利用奇函数概念可判断A，利用定义域可判断B，利用奇偶性求出，可判断C和D. 【详解】因为是奇函数，所以，故A正确； 因为，所以的定义域中肯定没有元素，故B错误； 由是奇函数，是偶函数， 可得：， ， 两式相减得：， 所以，解集为，故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确； 故选：AD 三、填空题 12．若函数是奇函数，则实数______． 【答案】0 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】由题意，即，所以， 经检验，当，满足奇函数定义，符合题意. 13．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____________. 【答案】 【分析】根据偶函数及单调递减解不等式即可. 【详解】关于的不等式，且， 所以，又因为是定义在上的偶函数， 所以，因为在单调递减， 所以，所以，即得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性列方程组，解方程组可得. 【详解】因为偶函数，所以，又， 得，即①. 又为奇函数，所以，又， 得②. 将①代入②得，， ，解得. 故答案为：. 四、解答题 15．已知定义域为R的奇函数满足，当时，求解析式． 【答案】 【分析】当时，，代入解析式，根据奇函数定义，可得时的解析式，分析即可得答案. 【详解】当时，，则， 因为是奇函数，所以 又当时，，所以. 16．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知是奇函数，是偶函数，试将下图中的函数图象补充完整. （2）判断下列函数的奇偶性： ①； ②； ③； 【答案】（1）图象见解析；（2）①偶函数，②奇函数，③非奇非偶函数. 【分析】（1）根据奇偶函数图象的对称性画出大致图象即可； （2）利用奇偶性的定义判断各函数的奇偶性. 【详解】（1）由为奇函数，其图象关于原点对称，故大致图象如下， 由为偶函数，其图象关于轴对称，故大致图象如下， （2）①的定义域为R，且，即函数为偶函数， ②的定义域为R，且，即函数为奇函数， ③的定义域为R，且，即函数为非奇非偶函数. 17．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数. (1)根据定义研究的单调性； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在区间上单调递减，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义结合作差法即可判断； （2）根据函数单调性及定义域结合函数奇偶性列不等式计算即可求解. 【详解】（1）设，且， ， 因为，且， 所以， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减； （2）因为函数定义域为关于原点对称， ， 所以函数是定义在上的奇函数， 所以，得， 由（1）可得，解得，即， 所以实数的取值范围是. 18．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见详解. (3) 【分析】(1)代入已知点坐标，解方程组求出函数解析式中的参数. (2)通过判断与的关系，结合定义域的对称性，确定函数的奇偶性. (3)利用偶函数性质转化不等式，再结合函数在非负区间的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量绝对值的大小关系，进而求解不等式. 【详解】（1）将点，代入中，得方程组 （2）的定义域是，关于原点对称，对任意的，有，故是偶函数. （3）当时，单调递增，则在上单调递减， 又因为是偶函数，则在上单调递增； 由，结合偶函数与单调性的性质可得：， 两边平方并整理得：， 解得：或，因此，不等式的解集为：. 19．（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知函数是上的偶函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据单调性可得，求解即可. 【详解】（1）若函数是上的偶函数， 则，即， 解得，验证知符合题意. （2）函数在上单调递增.理由如下： 由（1）知. 设任意的，且， 则， 因为，所以，，， 所以， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增. 又是上的偶函数， 所以在上单调递减， 所以即， 解得，即的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $