作业(十四) 古典概型、概率的基本性质-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言]感激每一个新的挑战，因为它会锻造你的 作亚（十四） 古典概型、概率的基 1知识整合 1.古典概型 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个 (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间2 包含n个样本点，事件A包含其中的k个 样本点，则定义事件A的概率P(A)= kn(A) nn(2) 其中，n(A)和n(2)分别表示事件A和样 本空间2包含的样本点个数. 3.概率的基本性质 性质1：对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件 的概率为0，即P(2)=1,P(⑦)=0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么 P(AUB)=P(A)+P(B). 性质4：如果事件A与事件B互为对立事 件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). 性质5：如果A二B,那么P(A)≤P(B),由 该性质可得，对于任意事件A,因为⑦二 A二2，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A,B是一个随机试验中的两个 事件，有P(AUB)=P(A)+P(B) P(A∩B). 2基础演练 1.某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖和三 等奖三类奖项.已知中一等奖的概率为 0.1,中二等奖的概率为0.2，中三等奖的概 率为0.3，那么本次活动不中奖的概率为 A.0.4B.0.5 C.0.6D.0.7 -3 意志和品格。 高一数学（配RJA版） 今 月 日 星期 本性质 台 历 天气 2.中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九 章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算 经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部， 则抽到《周髀算经》的概率为 () A高 B司 c.日 D 3.下列说法正确的是 () A.若A,B为两个事件，则P(AUB)= P(A)+P(B) B.若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+ P(B)+P(C)=1 C.若事件A,B满足P(A)十P(B)=1,则 A与B相互对立 D.若A,B为相互对立事件，则A与B一 定互斥 4.班上有5名数学爱好者，其中3人选修了 《数学史》.若从这5人中随机选出2人，则恰 好2人都选修了《数学史》的概率是 3综合演练 1.口袋中装有编号为①②的2个红球和编号 为①②③④⑤的5个黑球，小球除颜色、编 号外形状大小完全相同，现从中取出1个 小球，记事件A为“取到的小球的编号为 ②”，事件B为“取到的小球是黑球”，则下 列说法正确的是 ( A.A与B互斥 B.A与B对立 C.P(A+B)=9 D.P(AB) 2.在“五一”国际劳动节来临之际，为持续深 化“中国梦·劳动美”主题宣传教育，某校 团委从入团积极分子甲、乙、丙、丁、戊5人 中随机选3人去参加“志愿服务进社区”活 动，则甲、乙两人中只有1人入选的概率为 ) A.2 C. D. 暑假作业即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏 3.已知圆周率π=3.141592…，把圆周率通 过四舍五入精确到0.1”(n=1,2,3,4,5)的 近似值分别记为a1,a2,a3,a4,a5,若从a1, a2,a3,a4,a5中任取2个数字a:,a,(1≤i j≤5)，则满足a:>a;的概率为 ( A.0 B后 C.1o D. 4.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其 中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次 随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率 是 () A 点岩 Cia D. 5.（多选)连续抛掷两次一枚质地均匀的硬 币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件A =“正面向上的次数大于反面向上的次 数”，事件B,=“第i次抛掷的结果为正面 向上”（其中i=1,2),则不正确的有 ( A.事件A与事件B,是互斥事件 B.事件B,与事件B2是相互对立事件 C.P(AUB)>P(B UB2) D.P(A∩B1)=P(B1∩B2) 6.某市境内山水风光奇绝，在国庆假期期间 展现出独特的旅游魅力.对于甲和乙两个 旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择 游玩甲景点的概率为品选择游玩乙茶点 的概率为品两个景点都不进的概率为号， 则两个景点都选的概率为 4真题体验 1.(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4， 5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张， 则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍 数的概率为 A.5 B.3 c号 D. 3 实地地迈一步。 [每日格言] 2.(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成 一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概 率是 ( A B.3 1 C.2 0. 3 5易误警示 易错一 不能正确理解频率与概率的关系 致错 [示例1]抛掷一枚质地均匀的硬币，如果 连续抛掷1000次，那么第999次出现正 面朝上的概率是 名师叮嘱 随机事件的频率与概率的关系中，概率是客观存在 的，与试验次数无关，而频率是随机的，随着试验次 数的增多，频率越来越接近概率，频率在随机试验 前是不能确定的，而概率在随机试验前就能确定 的，因此本题求解的是概率和抛掷次数是无关的. 易错二不能正确理解古典概型中的“放 回”与“不放回”致错 [示例2]小李在做一份调查问卷，共有5道 题，其中有两种题型，一种是选择题，共 3道，另一种是填空题，共2道.若小李从 中任选2道题解答，每一次选1题（不放 回)，则所选的题不是同一种题型的概率为 ;若小李从中任选2道题解答，每 一次选1题（有放回），则所选的题不是同 一种题型的概率为 名师叮嘱 求解“放回”与“不放回”问题时应注意：(1)对于放回 抽样，应注意连续取两次的过程中，因先后顺序不 同，(4,5)，(5,4)并不是同一个样本点.(2)对于不放 回抽样，计算样本点的个数时，既可以看作是有顺 序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致 的，但无论是选择哪一种方式，观察角度必须一致.[每日格言]好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要 4.ABD事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都 投中”或“恰有一次投中”， 事件A表示“两次都投中”，故A二D,故A正确； 事件B和事件D是对立事件，故B∩D=心，故B正确： 事件AUB表示“两次都投中”或“两次都未投中”， 而事件BUD表示“两次都未投中”“两次都投中”或 “恰有一次投中”，故C错误； 事件AUC表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故 AUC=D,故D正确. 故选ABD. 5.ABC对于A,互斥事件表示两事件的交集为空集.事 件A:只参加科技游艺活动，与事件D:一种科普活动都 不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确： 对于B,对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生 事件B和事件E满足两个特点，故B正确： 对于C,CUD表示：至多参加一种科普活动，即为事件 E,故C正确； 对于D,C∩E表示：只参加一种科普活动，但不一定是 科技游艺活动，故D错误. 故选ABC. 6.解析红色出现的频率为58=58%，所以红球出现的 100 概率应接近58%， 设袋子中红球的个数为k, ,号=40%，当及=3时，是=60%， 当k=2时， 当发=4时，号=80%，当长=3时， :=60%最接 近58%， 所以袋中红球最有可能有3个. 答案3 7.解析(1)调查的100人，其中40分钟内不能赶到火车 站有：12+12+16+4=44（人）， 因此40分钟内不能赶到火车站的频率为0.44， 用频率估计概率，所以40分钟内不能赶到火车站的概 率为0.44. (2)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟 内赶到火车站： B1,B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到 火车站， 依题意，P(A)高+品+是-0.6，P(A:)有+品 =0.5, 由P(A1)>P(A2),得甲应选择路径L1: P(B1)=+2+18+=0.8,P(B2)=4+8+ 60+60+60+601 4040 8-9. 由P(B1)<P(B2),得乙应选择路径L2, 所以甲应选择路径L1,乙应选择路径L2 8.解析(1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27十 9十18=54，则应从甲协会抽取27X号=3（人）， 从乙协会热取9X员-1（人， 从丙协会抽取18×是=2（人） 故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3， 1,2 (2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所 有样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A1A4),(A1A5), (A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6), (A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6), (A5,A6),共15种. ②事件A可用集合表示为{(A1,A5),（A1,A6), (A2,A5),(A2,A6),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5), (A4A6),(A5A6)}. 和朋友一起分享。 高一数学（配RJA版） 【真题体验】 1.D设高一2名学生为A1,A2,高二2名学生为B1,B2, 从中随机选2名的样本点有(A1,A2),(A1,B1),(A1, B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2)共6个，其中来自不 同年级的样本点有(A1,B1),(A1·B2),(A2,B1), (A2,B2)共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率 故选D. 2.B由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货， 如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过 500十(1600一1200)=900（份）订单的概率为0.05，因 此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率 不小于0.95，至少需要志愿者900=18（名）.故选B. 50 【易误警示】 [示例1]BD6张卡片中一次取出2张卡片的所有情 况有：“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色” “1张为红色，1张为绿色”“1张为红色，1张为蓝色” “1张为绿色，1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与 “2张都为红色”互斥而非对立的有“2张恰有一张红色” “2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件 “2张都为红色”，并非互斥，“2张不全为红色”是对立事件 示例2]解析(1)由题意，停靠的站由南至北分别为 S1,S2,·,S10站， 所以样本空间2表示桑客所有可能到达的站，则 2={S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S0}. (2)由题意，甲在S3站买票，乙在S6站买票， 则A={S4,S5,S6,S7,S8Sg,S10}, B={S7,S8,Sg,S10}. (3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种， 从S2站发车的车票共计8种， … 从S9站发车的车票1种， 共计9+8+…十2十1=45（种）. 作业（十四）古典概型、概率的基本性质 【基础演练】 1.A由于中一等奖，中二等奖、中三等奖为两两互斥事 件，故不中奖的概率为1-0.1一0.2-0.3=0.4.故 选A. 2.D将这5部书籍依次记为a,b,c,d,e, 则从这5部书籍中任意抽取2部的样本空间2={ab, ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de},共有l0个样本点，其中 抽到《周髀算经》的样本点为ab,ac,ad,ae,共有4个，所 以抽到《周醉算经》的概率P=0=亏 42 故选D. 3.D只有事件A,B互斥时，才有P(AUB)=P(A)十P (B),故A错误； 当事件A,B,C两两互斥，则P(A)十P(B)十P(C) 1,故B错误； 若P(A)十P(B)=1且事件A,B互斥时，才有A与B 相互对立，故C错误； 对立事件一定互斥，故D正确】 故选D. 4.解析由题知班上有5名数学爱好者，其中3人选修了 《数学史》， 记选修了《数学史》的3人为A1,A2,A3,其余的2人为 B1,B2, 从5人中选取2人有：A1A2,A1A3A2A3A1B1,A1B2 A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共有10种情况， 恰好2人都选修了《数学史》的有A1A2,A1A3,A2A3 共3种情况， 所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了 《数学史》的概率为品 答案10 3 暑假作业卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不挠。 [每日格言] 【综合演练】 6.解析设事件A为“游客选择游玩甲景，点”，事件B为 1.C取到的小球为黑球且编号为②，事件A与B同时发 “游客选择游玩乙景点”， 生，则A与B不互斥，也不对立，A,B错误： 由题意得，P(A)= 依题意，PCA)=号，P(B)=号PCAB)=,则P(A十 ,P(B)= 30 ，两个景点都不选的桃 30 B)=P(A)+P(B)-P(AB)号，C正确，D错误。 率为P(AnB)= 2 则游客至少选择一个景点的概率为P(AUB)=1一P 故选C. 2.D记甲、乙、丙、丁、戊分别为a,b,c,d,,从5人中随机选 (A∩B)=3, 3人有(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,c,d),(a,c,e), 即得P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)=3 (a,d,e),(b.c,d),(bce),(b,d,e),(c,d,e), 51 共10种方法， 甲、乙两人中只有1人入选有(a,c,d),(a,c,e), 故号+站PAnB)=号，则P(AnB)-吉 3030 5 (a,d,e),(b,c,d),(b,c,e),(b,d,e), 共6种方法. 答案5 所以P=10=5 63 【真题体验】 1.C无放回随机抽取2张方法有(1,2)，(1,3)，(1,4)， 故选D. (1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4), 3.C由题意可得a1=3.1,a2=3.14,a3=3.142,a4= (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种，其中数字之 3.1416,a5=3.14159, 积为4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)， 从a1,a2a3a4,a5中任取2个数字a:,a;(1≤i<j≤5)，结 果有(a,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1a5）,（a2,a3）, 4,6共6种，故P=品=号故选C (a2,a4),(a2,a5),(a3a4),(ag,a5),(a4a5),共10 2.B画出树状图： 种，其中满足a:>aj的有(a3a4),(a3a5),(a4a5） 甲 共3种， 所以所求概率P=0 3 故选C. 4.C记2个红球和3个黄球分别为a,b和1,2,3， 丙丁乙丁乙丙 丙丁 丁丙丁乙丙乙 丁丙丁甲丙甲 记(x1x2)为随机试验的样本点，x1,x2分别表示第一 次和第二次摸到的球， 丙 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空 间为2={(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(b,a), (b,1),(b,2),(b,3),(1,),(1,b),(1,2),(1,3), (2,a),(2,b),(2,1),(2,3),(3,a),(3,b),(3,1), (3,2)},共20个样本点， 乙丁甲丁甲 乙丙甲丙 甲 丁 乙丁甲乙甲 丙乙丙甲乙 甲 记事件A=“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两 次都是黄球”， 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在 则A={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}共6个 排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率 样本点 所以P(A)-品-品 为员-故接B 【易误警示】 故选C」 [示例1]解析抛掷一枚质地均匀的硬币，要么正面朝 5.ABC根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反， 上，要么反面朝上，因此第999次出现正面朝上的概率 反正 则事件A包含：正正，事件B1:正正，正反，事件B2:正 正，反正 1 事件A与事件B,不是互斥事件，它们有可能同时发 答案 生，故A错误； [示例2]解析将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填 试验结果除了B1和B2外，还有其他结果如反反，所以 空题依次编号为4,5. 事件B1与事件B2不是相互对立事件，故B错误； ①从5道题中任选2道题解答，每一次选1题（不放 P(AUB)-P(A)+P(B)-P(AB)-+ 回)，样本空间2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)， (2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5), 是日 (4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4)},共20个样本点，这20个样本点发生的可能性 是相等的.设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则 P(B1UB2)=P(B1)+P(B2)-P(B1B2)= 1 2 事件A包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)， 13 (3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2), 4-41 所以P(AUB1)<P(B1UB2),故C错误； 6,3),共12个，所以PA)-号-0.6 P(AnB)=子，P(BnB)=,所以P(AnB1)= ②从5道题中任选2道题解答，每一次选1题（有放 回)，样本空间2={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， P(B1∩B2),故D正确. (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2), 故选ABC. (3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), 58 [每日格言]一个人几乎可以在任何他怀有无限热忱的事情 (4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},共25个样 本点，这25个样本点发生的可能性是相等的.设事件B 为“所选的题不是同一种题型”，则事件B包含的样本 点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)， (4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12个，所以 PB=号-0.48 答案0.60.48 作业（十五）事件的相互独立性 【基础演练】 1,A由题意可得A2表示第二次摸到的不是黑球， 即A2表示第二次摸到的是白球，由于采用有放回地： 摸球， 故每次是否摸到白球互不影响，故事件A1与A2是相 互独立事件，由于A1与A2可能同时发生，故不是互斥 事件也不是对立事件 2.D因为随机事件A和B相互独立，且P(A)=0.8,P (B)=0.5, 所以P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+ P(B)-P(A)P(B)=0.8+0.5-0.8×0.5=0.9.故 选D. 3.A甲、乙两人恰好有一人投中的概率为0.7× (1-0.8)+0.8×(1-0.7)=0.38. 故选A. 4.BCD由题设P(E)=P(F)=P(G)-号，且ENF= {1},E∩G={1,3,F∩G={1,6},E∩F∩G=(1}, 所以P(EF)=P(EFG)=合，P(EG)=P(FG)=, 所以P(EF)≠P(E)P(F),P(EG)=P(E)P(G),P (FG)=P(F)P(G),P(EFG)=P(E)P(F)P(G), 综上，E,F不相互独立，E,G、F,G分别相互独立，A错 误，B,C,D正确， 故选BCD. 【综合演练】 1.B记甲中靶为事件A,乙中靶为事件B, 则P(A)=0.8,P(A)=0.2,P(B)=0.9,P(B)=0.1. 甲、乙两人各射击一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中 和甲不中乙中两种情况， 则甲、乙两人各射击一次恰有一人中靶的概率如下， 为P(A)·P(B)+P(B)·P(A)=0.8×0.1十0.9X0. 2=0.26. 故选B. 2.A P(A)-P(B)P(AUB)- .P(AUB)=P(A)+P(B)-P(ANB), ÷是=古+-PAnB)P(anB)=0: P(A)+P(B)=合+≠1，故A与B互斥但不对主， 选项A正确，选项B不正确： :P(AnB)=0,P(A)p(B)=合×≠0，故A与B 不独立，选项C和D错误 故选A. 3.C 第一次第二次样本点数 5红 -15 3一红 1白 一3 4红—8 2白< 2白 4 59 上成功。 高一数学（配RJA版） 由树状图可知，P(A1)= 3 122 30 ,P(A)=号= P(B)=15+823 30 301 PAB)品-合，P(AB)-品-音故C正 D错误」 由于只从甲罐中取一个球，故只能取出红球或白球，故 A1,A2是互斥的，故A错误； P(A,B)=言，P(A)P(B)-器 23 ∴.P(A2B)≠P(A2)P(B),故事件B与事件A2不相 互独立，故B错误； 故选C. BC对于选项A,因为A与B互斥，则P(A十B)= P(A)十P(B)=号十写-吾，所以选项A错误： 对于选项B,A与B相互独立，则P(A十B)=P(A)十 PB)-P(AB)=子十号-合×子-号所以选项B 正确： 对于递项C,图为P(A)=合，P(B)=子，所以 P(A)P(B)=子-P(AB,由相五独立的定义知A 与B相互独立，所以选项C正确； 对于选项D,因为B发生时A一定发生，所以B二A,则 P(AB)=P(B)=子，所以选项D错误 故选BC 解析设“甲译出某个密码”为事件A,“乙译出某个密 码”为事件B, :甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为 P(A)=0.3,乙译出密码的概率为P(B)=0.4, ∴.甲未破译的概率为P(A)=1一0.3=0.7，乙未破译 的概率为P(B)=1一0.4=0.6， .甲、乙两人均未破译的概率为P(AB)=P(A)·P (B)=0.7×0.6=0.42, :“甲、乙两人均未破译”的对立事件为“密码被破译”， ∴.该密码被破译的概率为P=1一P(AB)=1一0.42= 0.58. 答案0.58 解析(1)记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事 件M, 所以P(M)=1-P(M)=1-(1-号)× (1-号)-8， 即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为号 8 (2)记“小张在两轮比赛中答对i题”为事件A:(i=0,1,2), “小胡在两轮比赛中答对i题”为事件B:(i=0,1,2), “在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等”为事 件C 所以P(A)=(1-子)×(1-号)=日 P(A)=2×(1-号)×号=告P(A)=号×号 4 P(B)=(1-)×(1-)-=GP(B)=子× (1-)+(1-)×-g