作业(十) 空间直线、平面的垂直-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言]过去一切时代的精华尽在书中。 高一数学（配RJA版） 作业（十） 今 月 星期 空间直线、平面的垂直 历 天气 1知识整合 (2)判定定理与性质定理 类别 文宇语言 图形表示 符号表示 1.直线与平面垂直 (1)定义 如果一个平面过 判定 如果直线1与平面α内的任意一条直线都 另一个平面的垂 →a⊥B 定理 线，那么这两个平 垂直，就说直线l与平面α互相垂直 面垂直 (2)判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形表示 符号表示 两个平面垂直，如 如果一条直线与 mCa 果一个平面内有 a⊥B 一个平面内的两 nCa 性质 一直线垂直于这 a∩B=a 判定 条相交直线垂直 m∩n=P →l⊥a 定理 两个平面的交线 定理 那么该直线与此 那么这条直线与 平面垂直 In 另一个平面垂直 垂直于同一个平 性质 aLal 面的两条直线 →a∥b 定理 b⊥a 2基础演练 平行 2.直线和平面所成的角 1.(多选)若直线1与平面α垂直，则下列说 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 法正确的是 ( ) 射影所成的角叫做这条直线和这个平面所 A.直线l与平面α的所有直线都垂直 成的角.一条直线垂直于平面，则它们所成 B.在平面α内存在与直线1异面的直线 的角是90°；一条直线和平面平行，或在平 C.在平面α内存在无数条直线与直线l相交 面内，则它们所成的角是0° D.在平面α内存在与直线l平行的直线 (2)范围：0引 2.已知m,n是两条不同的直线，a是一个平 面，下列命题正确的是 () 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所 A.若m∥a,n⊥a,则m⊥n 组成的图形叫做二面角. B.若m⊥a,n⊥a,则m⊥n (2)二面角的平面角：在二 C.若m∥a,m⊥n,则n⊥a 面角的棱上任取一点，以 D.若m⊥a,m⊥n,则n⊥& 该点为垂足，在两个半平 3.在四棱锥P-ABCD 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条 中，PA⊥底面ABCD, 射线所构成的角叫做二面角的平面角、 D 且ABCD为正方形， (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 则此四棱锥表面中互 (1)定义 相垂直的面有 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 A.6对 B.5对 直二面角，就说这两个平面互相垂直。 C.4对 D.3对 21 暑假作业成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。 [每日格言] 4.已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2；5.在直三棱柱ABCA1B,C,中，AC⊥CB, 倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的 AC=CB=1,CC1=2,则点A,到直线BC 大小为 的距离是 3综合演练 6.如图所示，已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底 面ABC,AB=BC,D,F分别为AC,PC的 1.设a表示平面，a,b表示直线，下列四个说 中点，DE⊥AP于E. 法中正确的是 A.a∥a,a⊥b→b∥a B.a∥b,a⊥a→b⊥a C.a⊥a,a⊥b→bCa D.a⊥b,bCa→a⊥a 2.如图，已知棱长为2的正方体ABCD (1)求证：AP⊥平面BDE: A1B,C1D1中，二面角D1BCD的大小是 (2)求证：平面BDE⊥平面BDF. ( 0 D- B A.30° B.45 C.60° D.90° 3.(多选)平面a垂直于平面3，且a∩B=l,下 列命题正确的是 ( ) A.平面α内一定存在直线平行于平面3 B.平面α内已知直线必垂直于平面B内无 数条直线 C.平面α内任一条直线必垂直于平面3 D.过平面α内任意一点作交线l的垂线， 则此垂线必垂直于平面3 4.（多选)如图，在直三棱柱 A ABC-A,B,C1中，BC= AC,AC1⊥A1B,M,N分别 是A1B1,AB的中点，那么 下列结论正确的有( A.B1C1⊥平面AA,C1C B.A1B⊥NB C.平面A1BC⊥平面AMC D.平面AMC1∥平面CNB 22 [每日格言]有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。 高一数学（配RJA版） 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 2.(多选)(2025·全国一卷)在正三棱柱ABC 为平行四边形，CD=4,AD=4√2，△PCD A1BC1中，D为BC的中点，则 为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD, A.AD⊥A,C PA⊥CD B.B1C1⊥平面AA,D C.AD∥A,B D.CC1∥平面AA,D 5易误警示 (1)设G,H分别为PB,AC的中点，求证： 易错一 对面面垂直的判定定理理解不到 GH∥平面PCD; 位致错 (2)求证：PA⊥平面PCD; [示例1]如图，点P在正 0 (3)求直线AD与平面PAC所成角的正 方体ABCD-A1B,C1D 弦值. 的面对角线BC1上运动， 有下面四个结论：①三棱 锥A-D1PC的体积不 变；②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1; ④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确结论 的序号是 .(写出所有你认为正确 结论的序号) 名师叮嘱 本题易忽视点P在BC1上运动时，平面PDB1内 的B1D⊥平面ACD1,导致无法证明平面PDB1⊥ 平面ACD1而漏选④.一条直线与一个平面垂直， 则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线，线 线垂直、线面垂直和面面垂直之间是可以相互转 化的，应准确掌握，灵活应用 易错二对线面垂直的性质应用不当致错 4真题体验 [示例2]已知m,n为异面直线，m⊥平面a, n⊥平面β，直线l满足l⊥m,l⊥n,l￠a, 1.(2024·全国甲卷)设a,3为两个平面，m, 1庄β，则 n为两条直线，且a∩3=m,下述四个 A.a∥B且l∥a 命题： B.a⊥3且l⊥B ①若m∥n,则n∥a或n∥3 C.&与3相交，且交线与l垂直 ②若m⊥n,则n⊥&或n⊥3 D.a与3相交，且交线与1平行 ③若n∥a且n∥3，则m∥n 名师叮嘱 ④若n与a,β所成的角相等，则m⊥n 解答本题时，容易忽视α∥B时，可由条件推出 其中所有真命题的编号是 m∥n,与m,n为异面直线矛盾，导致错选A.也容 A.①③ B.②④ 易忽视构造辅助平面Y,无法利用线面垂直的性质 C.①②③ D.①③④ 定理证明线线平行，导致错选C 23[每日格言]拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是 【易误警示】 [示例1]解析如图，连接BC1, 交BD于点F,连接EF.因为平 面A1BC1∩平面BDE=EF, A1B∥平面B1DE,所以A1B∥ 那 A 因为BC∥B1C1,易得△BDF △C1B1F, 所以器器 肉为D是BC的中点所以品，日： AE 1 所以EC2 1 答案2 [示例2]D根据题意作出图形，如图，其中，E,F,G, H,P,Q,M,N分别为所在棱的中点，所以PN∥BD1, 因为PN丈平面DBB1D1,B1D1C平面DBB1D1,所以 PN∥平面DBB1D1.同理可证GF∥平面DBBD1,因 为四边形BCC1B1是平行四边形，N,F分别是B1C, BC的中点，所以NF∥BB1,又因为NF丈平面 DBB1D1,BB1C平面DBB1D1,所以NF∥平面 DBB1D1.同理可证PG∥平面DBB1D1.又因为PN∩ NF=N,PN,NFC平面PNFG,所以平面PNFG∥平 面DBB1D1.因为PFC平面PNFG,NGC平面PNFG, 所以PF∥平面DBB,D1,NG∥平面DBB1D1.同理可 证QM,ME,EH,HQ,QE,MH也与平面DBB1D1平 行，所以与平面DBB1D1平行的直线共有12条 D P C 共BN DG F E B 作业（十）空间直线、平面的垂直 【基础演练】 1.ABC根据线面垂直的定义，若lL&,则1垂直于平面a 内的所有直线，A正确；已知1⊥&，设l∩a=P,平面&内 所有不过点P的直线均与1异面，因此存在无数条这样 的直线，B正确：平面&内所有过垂足P的直线均与 相交于P,这样的直线有无数条，C正确；若1⊥α，则平 面α内所有直线均与！垂直，不可能存在与1平行的直 线，D错误.故选ABC. 2.A若m∥a,则存在aCa使得n∥a,又n⊥&，aCa, 所以n⊥a,又m∥a,所以m⊥n,故A正确； 若m⊥a,n⊥a,则m∥n,故B错误； 若m∥&，m⊥n,则n⊥&或n∥a或n二a或n与a相交 (不垂直)，故C错误； 若m⊥&，n⊥n,则n∥a或nC&,故D错误. 故选A. 3.B因为DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,AB,PAC 平面PAB,所以DA⊥平面PAB, 同理BC⊥平面PAB,AB⊥平面PAD,CD⊥平 面PAD: 所以平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD⊥平面 PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PDC⊥平面PAD, 平面PAD⊥平面PAB,共5对. 4.解析设圆锥的底面半径为r,母线长为1， 因为圆锥的侧面积是底面面积的2倍，可得元rl=2πr2, 所以I=2r, 一种能力。 高一数学（配RJA版） 设该圆锥的母线与底面所成角为a,则cosa=7 2 因为a∈(0，受)，所以a=子 答案子 【综合演练】 1.B若a∥a,a⊥b,则b与&可能平行，也可能相交，也可 能b就在平面α内，故A错误； 这是直线与平面垂直的性质定理：若两条平行线中的一 条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故B 正确； 若a⊥&，a⊥b,则b可能在平面a&内，也可能b与a平行， 故C错误； 若a⊥b,bCa,则a与&可能平行，也可能垂直，也可能 相交但不垂直，也可能a就在平面a内，故D错误. 故选B. 2.B由BC⊥平面DD1C1C,D1CC平面DD1CC,所以 DC⊥BC, 又DC⊥BC,可知∠D1CD为二面角D1-BCD的平 面角， 因为DCCD1为正方形，所以∠D1CD=45°， 所以二面角D1BCD的大小是45° 故选B. 3.AB因为lC平面B,则平面a内只要是平行于1的直 线，都平行于平面B,故A正确； 在平面B内作直线l的垂线m,则m⊥平面a,则m垂直 于平面α的任意直线： 故平面《内已知直线必垂直于直线m,以及与m平行的 无数条直线，故B正确： 平面α内垂直于两平面交线l的直线才垂直于平面B, 故C错误： 过平面α内，且在交线1外的一点作交线1的垂线，则此 垂线必垂直于平面B,故D错误. 故选AB. 4.BCD因为B1C1与A1C1不一定垂直，所以B1C1与平 面AA1C1C不一定垂直，故A错误. 由侧棱AA1⊥平面A1B1C1,可得AA1⊥C1M由BC1 A1C1及M为A1B1的中点，可得CM⊥A1B1. 又因为AA∩A1B1=A1,AA1,A1B1C平面A1ABB1, 所以C1M⊥平面A1ABB1,A1BC平面A1ABB1,从而 CM⊥A1B. 已知AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1,C1M,AC1C平面 AMC1,所以A1B⊥平面AMC1,从而平面A1BC⊥平面 AMC1,A1B⊥AM. 又MB1∥AN,MB1=AN,所以ANB,M是平行四边 形，所以AM∥NB1,A1B⊥NB1,所以B和C正确. AM∥NB1,AM位平面CNB1,NB,C平面CNB1,所以 AM∥平面CNB1, 同理MC1∥平面CNB1,MC∩AM=M,MC,AMC平 面AMC1,所以平面AMC1∥平面CNB1,故D正确. 5.解析连接A1C,因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以CC⊥BC, 又AC⊥CB, AC∩CC1=C,AC,CC1C平面ACC1A1,所以BC⊥平 面ACC1A1, 又A1CC平面ACC1A1,所以A1C⊥BC, 又AC=CB=1,CC1=2,所以A1C=√12+22=√5， 即点A1到直线BC的距离为√5. 答案√5 6.证明(1)PC⊥底面ABC,BDC平面ABC, PC⊥BD. 由AB=BC,D为AC的中点，得BD⊥AC. 又PC∩AC=C,PC,ACC平面PAC, 暑假作业没有人富有得可以不要别人的帮助，也没 .BD⊥平面PAC,又PAC平面PAC, .BD⊥PA. 由已知DE⊥AP,DE∩BD=D,DE,BDC平面BDE, ∴.AP⊥平面BDE. (2)由BD⊥平面PAC,DEC平面PAC,得BD⊥DE. 由D、F分别为AC、PC的中点，得DF∥AP. 又由已知得DE⊥AP,所以DE⊥DF,又BD∩DF=D, BD,DFC平面BDF, .DE⊥平面BDF, 又DEC平面BDE, .平面BDE⊥平面BDF. 7.解析(1)证明如图，连接BD,因底面ABCD为平行 四边形，则AC∩BD=H,BH=HD, 因BG=GP,则GH∥PD,因GH工平面PCD,PDC平 面PCD,故GH∥平面PCD. (2)证明取PC中，点E,连接DE,因△PCD为等边三 角形，则DE⊥PC, 又平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC DEC平面PCD, 则DE⊥平面PAC,又PAC平面PAC,故DE⊥PA, 因PA⊥CD,CD∩DE=D,CD,DEC平面PCD,故PA ⊥平面PCD. (3)由(2)已得DE⊥平面PAC,连接AE,则∠DAE即 直线AD与平面PAC所成角， 因△CD为等边三角形，CD=4,则DE-CD=-25, 又AD=4E,在R△AED中，Sin∠DAE恶- 6 4· 即直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 4 G D 【真题体验】 1.Aa∩B=m,则mCa,mCB,对于①，若m∥n,则n∥& 或n∥B,①正确；对于②，若m⊥n,则可能n∥a或n与a 相交，②错误；对于③，若n∥a且n∥B,则n∥m,③正 确：对于④n与m所成角可以为[0，受]内的任意角， ④错误.故选A. 2.BD由三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC,则AA1 AD,假设AD⊥A1C,又AA1∩A1C=A1AA1,ACC 平面AA1C1C,所以AD⊥平面AA1C1C,矛盾，所以AD 与A1C不垂直，故A错误；因为三棱柱ABCA1B1C 是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC,AA1⊥BC,因为D 为BC的中点，AC=AB,所以AD⊥BC,又AD∩AA1 =A,AD,AA,C平面AA1D,所以BC⊥平面AA1D,又 BC∥B1C1,所以B1C1⊥平面AA1D,故B正确；AB∥ A1B1,AD与AB相交，所以AD与A1B1异面，故C错 误；CC1∥AA1,CC1￠平面AA1D,AAC平面AAD, 所以CC1∥平面AA1D,故D正确. 故选BD. 【易误警示】 [示例1]解析连接AC,A1C1,A1B,AD1,D1C,A1P (图略).因为AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形 AA,CC是平行四边形，所以AC∥A1C1,又因为AC丈 平面A1BC,A1C1C平面A1BC1,所以AC∥平面 A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1.又因为ACC平 面ACD1,AD1C平面ACD1,且AC∩AD1=A,所以平 5 有人穷得不能在某方面给他人帮助。 [每日格言] 面ACD1∥平面A1BC1,因为A1PC平面A1BC1,所以 A1P∥平面ACD1,故②正确.因为BC1∥AD1,所以 BC1∥平面ACD1,所以点P到平面ACD1的距离不 变.又因为VA-D,PC=Vp-ACD,所以三棱锥A-DPC的 体积不变，故①正确.连接DB,DC1,DP,B1D(图略) 因为DB=DC1,所以当P为BC1的中点时才有DP⊥ BC1,故③错误.因为BB1⊥平面ABCD,ACC平面 ABCD,所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD,BB1∩BD= B,BB1,BDC平面BB1D1D,所以AC⊥平面BB1D1D. 因为B1DC平面BB,D1D,所以B1D⊥AC.同理可证 B1D⊥AD1,又因为ACC平面ACD1,AD1C平面 ACD1,AC∩AD1=A,所以B1D⊥平面ACD1,又因为 B1DC平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,故④ 正确 答案①②④ [示例2]D若a∥B,则由m⊥平面a,n⊥平面B,可得 m∥n,这与m,n是异面直线矛盾，故a与B相交. 设a∩B=a,过空间内一点P,作m∥m,n'∥n,则m'与 n'相交，m'与n'确定的平面为Y.因为1⊥m,l⊥n,所以 1⊥m',l⊥n',所以1⊥Y. 因为m⊥a,n⊥B,所以m'⊥a,n'⊥B, 所以a⊥m',a⊥n',所以a⊥Y. 又因为l吐a,l￠B,所以l与a不重合，所以l∥a, 作业（十一）随机抽样与统计图表 【基础演练】 1.AD1500名运动员的年龄是总体，故A正确；抽取到 的150名运动员的年龄是样本，故B错误；随机数表法 常常用于总体的个体较少时，当总体中的个体数较多 时，编号复杂，将总体“搅拌均匀”也比较困难，用随机数 表法产生的代表性不合理，故C错误；在简单的随机抽 样时，每个运动员被抽到的机会是相等的，故D正确. 故选AD. 2.D从600名同学中抽取30人进行了解，每名同学被抽 到的频率为品一动 1 故选D. 3.A由频率分布直方图可知组距为10，则b=0,48 10 0.048, 又因为(0.005十0.025+b+a+0.005)×10=1,解得a =0.017. 故选A. 4.解析由题意品-0十40+20·得n=12. 答案12 【综合演练】 1.C由题意可知样本中高二年级有60一25一15=20人， 所以高二年级占全体样本器-}，故孩校共60÷} 1800人 故选C 2.ABD由图2可知食品的开支为30+40+100+80+ 50=300(元)， 由图1可知食品开支为30%，所以总开支为300÷30% =1000(元). 对于A,娱乐开支为1000×10%=100（元），故A正确； 对于B,日常开支为1000×20%=200（元），肉类开支 为100元，日常开支比肉类开支多100元，故B正确； 对于C,通信开支为1000×5%=50（元），娱乐开支比 通信开支多50元，故C错误； 对于D,储蓄开支为1000×30%=300（元），肉类开支 占储蓄开支的写，故D正确 故选ABD.