作业(九) 空间直线、平面的平行-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

暑假作业不要问别人为你做了什么，而要问你为别人做了什么。 [每日格言] 作业（九》 今 月 日 星期 空间直线、平面的平行 台 历 天气 1知识整合 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 类别 文宇语言 图形语言 符号语言 ata 判定如果平面外一条直线与此平面内的一条直线 定理平行，那么该直线与此平面平行 bCa→a∥a a∥b) a∥a 性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平 aCB →a∥b 定理面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∩B=b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 类别 文宇语言 图形语言 符号语言 aCB bCB 判定如果一个平面内的两条相交直线与另一个平 a∩b=P→3∥a 定理面平行，那么这两个平面平行 a a∥a b∥a a∥3 性质两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 o/ a∩y=a→a∥b 定理相交，那么两条交线平行 g∩Y=b 2基础演练 3.若α为平面，则下列命题是真命题的是 ( 1.已知两条直线a,b,若a∥平面a,b∥a,则 A.若直线1平行于平面α内的无数条直 b与平面α的位置关系是 ( 线，则l∥a A.bC平面a B.若直线a在平面a外，则a∥a B.b⊥平面a或bC平面a C.b∥平面a C.若直线a∥b,直线bC平面a,则a∥a D.b∥平面a或bC平面a D.若直线a∥b,b∥a,则a平行于平面a 2.平面α∥平面3，直线l∥a,则 内的无数条直线 A.1∥B B.ICB 4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B C.l∥B或1CB D.l,3相交 的平面（非平面ABB1A1)与平面ABC 18 [每日格言]只有在人群中间，才能认识自己。 高一数学（配RJA版） 交于DE,则DE与AB的位置关系是 A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 4.如图，正三棱柱ABC A1B,C1的底面边长是2， 侧棱长是23，M为AC D 的中点，N是侧面BCC,B B 内的动点，且MN∥平面 A.异面 B.平行 ABC,,则点N的轨迹的长度为 C.相交 D.以上均有可能 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形 3综合演练 ABCD是平行四边形，E是侧棱PC上一 点，且PE=2EC 1.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直 线互相平行”的性质，可推出空间中下列结 论中正确的序号是 ( ) ①垂直于同一条直线的两条直线互相 平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相 平行； (1)试确定侧棱PC上一点Q的位置，使 ③垂直于同一个平面的两条直线互相 AQ∥平面BDE; 平行； (2)在侧棱PB上是否存在一点R,使AR ④垂直于同一个平面的两个平面互相 平行. ∥平面BDB?若存在，求曲器的值：若不 A.①② B.③④ 存在，请说明理由， C.①④ D.②③ 2.已知m,n为两条不同直线，a,3,y为三个 不同平面，则下列说法正确的是( A.若m∥a,nCa,则m∥n B.若m∥a,a∥B,则m∥B C.若m∥a,m∥B,则a∥B D.若a∥B,B∥y,则a∥y 3.已知点E,F分别是正方体ABCD-A,B,CD 的棱AB,AA1的中点，点M,N分别是线 段D,E与C1F上的点，则满足与平面 ABCD平行的直线MN有 ) 19 暑假作业世上并没有用来鼓励工作努力的赏赐，所有的赏赐都只是被用来奖励工作成果的。 [每日格言] 4真题体验 5易误警示 (2025·上海卷)如图，P是圆锥的顶点， 易错一 线面平行的性质定理应用不当 O是底面圆心，AB是底面直径，且AB=2. 致错 [示例1]如图，在三棱柱 ABC-A1BC1中，D是 BC的中点，E是A1C1上 点，且AB∥平面 .0 台，购是的值为 (1)若直线PA与圆维底面所成角为，求 名师叮嘱 圆锥的侧面积； 利用线面平行的性质定理解决相关的计算问题， (2)已知Q是母线PA的中点，点C,D在 一般要做辅助线或辅助面，此时要注意根据线面 平行的性质做辅助线或辅助面，不可盲目的做，进 底面圆周上，且弧AC的长为，CD∥AB. 而得到直线与直线的平行，再利用比例关系计算. 设点M在线段OC上，证明：直线QM∥平 易错二对面面平行的性质理解不透彻 面PBD. 致错 [示例2]四棱柱ABCD-A,B,C,D1的底 面是平行四边形，过此四棱柱任意两条棱 的中点作直线，其中与平面DBB1D,平行 的直线共有 A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 名师叮嘱 解答本题易忽视两个平面平行，其中一个平面内 的所有直线与另一个平面平行 20暑假作业当一个人先从自己的内心开始奋斗，他 作业（九）空间直线、平面的平行 【基础演练】 1.D如图所示， b b a /a 因为a∥平面&，所以存在直线cC平面a,使得a∥c, 因为b∥a,所以b∥c或b与c重合，此时bC平面&或b 亡平面a, 当b丈平面&时，因为c二平面&且b∥c,所以b∥平 面d, 综上，b∥平面a或bC平面&. 故选D. 2.C因为平面α∥平面B,直线l∥α，所以直线I可能和 平面B平行，也可能在平面3内.故选C. 3.DA项还可能lCa,故A错误；B项还可能a与平面c 相交，故B错误；C项还可能二α，故C错误；由直线与 平面平行的性质以及平行的传递性可知D正确. 4.B在三棱柱ABCA1BC1中，平面A1B1C1∥平面 ABC,而平面A1B1ED∩平面ABC=DE, 平面A1B1ED∩平面A1B1C1=A1B1,则DE∥A1B1, 在平行四边形ABB1A1中，AB∥A1B1, 所以DE∥AB. 故选B. 【综合演练】 1.D垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或异面， ①错误： 垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面与平面 平行的判定定理知②正确： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面 垂直的性质知③正确； 垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误. 故选D. 2.D若m∥a,nCa,所以m,n可能平行也可能异面，所 以A错误； 若n∥α，心∥B,所以m可能与平面3平行，也可能在平 面B内，所以B错误； 若m∥a,m∥B,那么a∥B,也可能平面a,B相交，所以C 错误； 根据平行平面的传递性，若α∥B,B∥Y,则a∥Y,所以D 正确， 故选D. 3.D如图所示，作平面KSHG∥ C 平面ABCD,C1F,D1E交平面 KSHG于点N,M,连接MN, D A 由面面平行的性质得MN∥平面 K ABCD,由于平面KSHG有无数 多个， 所以平行于平面ABCD的MN 有无数多条，故选D 4.解析如图，取B1C1的中点D,BB1 的中点E,连接MD,DE,ME, 则DE∥BC, 又DE中平面ABC1,BC1C平面 ABC,所以DE∥平面ABC, 又M为A1C1的中点， 所以MD∥A1B1∥AB, A -B1 又MD丈平面ABC1,ABC平 M、 面ABC1, 所以MD∥平面ABC1, 又DE∩MD=D,DEC平面DEM, MDC平面DEM,所以平面DEM∥平面ABC1,又因为 N是侧面BCCB1上一点，且MN∥平面ABC1, 所以点N的轨迹为线段DE,DE=2√4十I2=2, 所以点N的轨迹的长度为2. 答案2 5 就是个有价值的人。 [每日格言] 5.解析(1)如图，连接AC,交BD于点O,连接OE.显然 O为AC的中，点. D B 若AQ∥平面BDE, 因为AQC平面PAC,平面PAC∩平面BDE=OE, 所以AQ∥OE,所以E为QC的中点. 国为PE=2EC,所以PQ=子PC 又当PQ=吉PC时，有AQ∥OE,从而AQ∥平 面BDE. 所以点Q在侧棱PC上满足PQ=子PC (2)如图，取PB的中点R,连接AR,QR. D D A 由(1)知Q为PE的中点， 所以QR∥EB,而QR庄平面BDE,BEC平面BDE,所 以QR∥平面BDE. 又因为AQ∥平面BDE,AQC平面AQR,QRC平面 AQR,且AQ∩QR=Q, 所以平面AQR∥平面BDE, 又ARC平面AQR,所以AR∥平面BDE. 所以侧装PB的中点R符合通意，北时器-1。 【真题体验】 1)解析由题知，∠PAB=子，即轴我而△ABP是等 边三角形，故PA=AB=2, 底面周长为2xX1=2,则侧面积为号×2X2x=2。 (2)证明由题知AQ=QP,AO D =OB,则根据中位线性质，得QO ∥PB, 又QO中平面PBD,PBC平面 0 PBD,则QO∥平面PBD. 由于C-哥，底面周丰径是1，则 A- ∠A0C=子，又CD∥AB,则 D ∠0cD=3 又OC=OD,则△OCD为等边三角形，则CD=1, 于是CD∥OB且CD=OB,则四边形OBDC是平行四 边形，故OC∥BD, 又OC亡平面PBD,BDC平面PBD,故OC∥平 面PBD. 又OC∩OQ=O,OC,OQ二平面QOC, 根据面面平行的判定，得平面QOC∥平面PBD, 又M∈OC,则QMC平面QOC,则QM∥平面PBD. [每日格言]拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是 【易误警示】 [示例1]解析如图，连接BC1, 交BD于点F,连接EF.因为平 面A1BC1∩平面BDE=EF, A1B∥平面B1DE,所以A1B∥ 那 A 因为BC∥B1C1,易得△BDF △C1B1F, 所以器器 肉为D是BC的中点所以品，日： AE 1 所以EC2 1 答案2 [示例2]D根据题意作出图形，如图，其中，E,F,G, H,P,Q,M,N分别为所在棱的中点，所以PN∥BD1, 因为PN丈平面DBB1D1,B1D1C平面DBB1D1,所以 PN∥平面DBB1D1.同理可证GF∥平面DBBD1,因 为四边形BCC1B1是平行四边形，N,F分别是B1C, BC的中点，所以NF∥BB1,又因为NF丈平面 DBB1D1,BB1C平面DBB1D1,所以NF∥平面 DBB1D1.同理可证PG∥平面DBB1D1.又因为PN∩ NF=N,PN,NFC平面PNFG,所以平面PNFG∥平 面DBB1D1.因为PFC平面PNFG,NGC平面PNFG, 所以PF∥平面DBB,D1,NG∥平面DBB1D1.同理可 证QM,ME,EH,HQ,QE,MH也与平面DBB1D1平 行，所以与平面DBB1D1平行的直线共有12条 D P C 共BN DG F E B 作业（十）空间直线、平面的垂直 【基础演练】 1.ABC根据线面垂直的定义，若lL&,则1垂直于平面a 内的所有直线，A正确；已知1⊥&，设l∩a=P,平面&内 所有不过点P的直线均与1异面，因此存在无数条这样 的直线，B正确：平面&内所有过垂足P的直线均与 相交于P,这样的直线有无数条，C正确；若1⊥α，则平 面α内所有直线均与！垂直，不可能存在与1平行的直 线，D错误.故选ABC. 2.A若m∥a,则存在aCa使得n∥a,又n⊥&，aCa, 所以n⊥a,又m∥a,所以m⊥n,故A正确； 若m⊥a,n⊥a,则m∥n,故B错误； 若m∥&，m⊥n,则n⊥&或n∥a或n二a或n与a相交 (不垂直)，故C错误； 若m⊥&，n⊥n,则n∥a或nC&,故D错误. 故选A. 3.B因为DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,AB,PAC 平面PAB,所以DA⊥平面PAB, 同理BC⊥平面PAB,AB⊥平面PAD,CD⊥平 面PAD: 所以平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD⊥平面 PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PDC⊥平面PAD, 平面PAD⊥平面PAB,共5对. 4.解析设圆锥的底面半径为r,母线长为1， 因为圆锥的侧面积是底面面积的2倍，可得元rl=2πr2, 所以I=2r, 一种能力。 高一数学（配RJA版） 设该圆锥的母线与底面所成角为a,则cosa=7 2 因为a∈(0，受)，所以a=子 答案子 【综合演练】 1.B若a∥a,a⊥b,则b与&可能平行，也可能相交，也可 能b就在平面α内，故A错误； 这是直线与平面垂直的性质定理：若两条平行线中的一 条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故B 正确； 若a⊥&，a⊥b,则b可能在平面a&内，也可能b与a平行， 故C错误； 若a⊥b,bCa,则a与&可能平行，也可能垂直，也可能 相交但不垂直，也可能a就在平面a内，故D错误. 故选B. 2.B由BC⊥平面DD1C1C,D1CC平面DD1CC,所以 DC⊥BC, 又DC⊥BC,可知∠D1CD为二面角D1-BCD的平 面角， 因为DCCD1为正方形，所以∠D1CD=45°， 所以二面角D1BCD的大小是45° 故选B. 3.AB因为lC平面B,则平面a内只要是平行于1的直 线，都平行于平面B,故A正确； 在平面B内作直线l的垂线m,则m⊥平面a,则m垂直 于平面α的任意直线： 故平面《内已知直线必垂直于直线m,以及与m平行的 无数条直线，故B正确： 平面α内垂直于两平面交线l的直线才垂直于平面B, 故C错误： 过平面α内，且在交线1外的一点作交线1的垂线，则此 垂线必垂直于平面B,故D错误. 故选AB. 4.BCD因为B1C1与A1C1不一定垂直，所以B1C1与平 面AA1C1C不一定垂直，故A错误. 由侧棱AA1⊥平面A1B1C1,可得AA1⊥C1M由BC1 A1C1及M为A1B1的中点，可得CM⊥A1B1. 又因为AA∩A1B1=A1,AA1,A1B1C平面A1ABB1, 所以C1M⊥平面A1ABB1,A1BC平面A1ABB1,从而 CM⊥A1B. 已知AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1,C1M,AC1C平面 AMC1,所以A1B⊥平面AMC1,从而平面A1BC⊥平面 AMC1,A1B⊥AM. 又MB1∥AN,MB1=AN,所以ANB,M是平行四边 形，所以AM∥NB1,A1B⊥NB1,所以B和C正确. AM∥NB1,AM位平面CNB1,NB,C平面CNB1,所以 AM∥平面CNB1, 同理MC1∥平面CNB1,MC∩AM=M,MC,AMC平 面AMC1,所以平面AMC1∥平面CNB1,故D正确. 5.解析连接A1C,因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以CC⊥BC, 又AC⊥CB, AC∩CC1=C,AC,CC1C平面ACC1A1,所以BC⊥平 面ACC1A1, 又A1CC平面ACC1A1,所以A1C⊥BC, 又AC=CB=1,CC1=2,所以A1C=√12+22=√5， 即点A1到直线BC的距离为√5. 答案√5 6.证明(1)PC⊥底面ABC,BDC平面ABC, PC⊥BD. 由AB=BC,D为AC的中点，得BD⊥AC. 又PC∩AC=C,PC,ACC平面PAC,