作业(八) 空间点、直线、平面之间的位置关系-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

暑假作业勤奋学习，善于思考，不断总结是成功的法宝。 [每日格言] 作业（八》 今 月 日 空间点、直线、平面之间的位置关系 台 星期 历 天气 1知识整合 2基础演练 1.四个基本事实 1.若直线l不平行于平面α，则下列结论正确 基本事实1：过不在一条直线上的三个点， 的是 ( 有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的两个点在 A.平面α内的所有直线都与直线l异面 一个平面内，那么这条直线在这个平面内. B.平面α内不存在与直线l平行的直线 基本事实3：如果两个不重合的平面有一 C.平面α内的所有直线都与直线l相交 个公共点，那么它们有且只有一条过该点 D.直线l与平面x一定有公共点 的公共直线， 2.能确定一个平面的条件是 基本事实4：平行于同一条直线的两条直 线平行. A.空间三个点 2.三个推论 B.一个点和一条直线 推论1：经过一条直线和这条直线外一点， C.无数个点 有且只有一个平面. D.两条相交直线 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 3.如果直线aC平面a,直线bC平面a,M∈a, 平面 N∈b,M∈l,N∈l,则 () 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个 平面 A.ICa B.ICa 3.空间中直线与直线的位置关系 C.l∩a=M D.l∩a=N 共面直线平行直线 相交直线 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异 面直线AD1与A,B所成的角等于() 异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点， D 4.空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直 线与平面相交、直线与平面平行三种情况： 5.空间中平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系有平行、相交两种 情况. A. B.π 6.等角定理 6 如果空间中两个角的两条边分别对应平 D. 行，那么这两个角相等或互补， c 2 7.异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a,b,经过空 3综合演练 间任一点O分别作直线a'∥a,b∥b,把直 1.下列说法中正确的是 线a'与b所成的角叫做异面直线a与b所 A.四边相等的四边形是菱形 成的角（或夹角）. B.如果一个角的两边和另一个角的两边 (2)范围：0，引 分别平行，那么这两个角相等 16 [每日格言]任何业绩的质变都来自于量变的积累。 高一数学（配RJA版） C.如果一个平面内有无数条直线平行于 另一个平面，那么这两个平面平行 4真题体验 D.两条直线a,b分别和异面直线c,d都 (2025·天津卷)已知m,n为两条直线，a, 相交，则直线a,b的位置关系可能是异 B为两个平面，则下列结论中正确的是 面直线，也可能是相交直线 2.如图是某个正方体的 A.若m∥a,nCa,则m∥n 侧面展开图，11,2是 B.若m⊥a,m⊥3，则a⊥3 侧面的两条对角线， C.若m∥a,m⊥3，则a⊥3 则在正方体中，1与2 D.若mCa,a⊥B,则m⊥3 ( A.互相平行 5易误警示 B相交且夹角为写 易错一对基本事实理解不透彻致错 C.异面且夹角为否 [示例1]下列说法正确的是 A.空间中不同的三点确定一个平面 D.异面且互相垂直 B.空间中两两相交的三条直线确定一个 3.(多选)已知m,n是两条不同直线，&，3，Y 平面 是三个不同的平面，则下列结论一定成立 C.空间中有三个角为直角的四边形一定 的有 是平面图形 A.若m⊥a,n⊥a,则m∥n B.若a⊥B,a⊥Y,则B∥Y D.和同一条直线相交的三条平行直线一 C.若m⊥a,m⊥3，则a∥3 定在同一个平面内 D.若m∥a,n∥a,则m∥n 名师叮嘱 4.在棱长为2a的正四面体（四个面都是正三 忽视基本事实1中的关键词“不在一条直线上”，就 角形)ABCD中，点M为CD的中点，则直 会错选A;若对两两相交的三条直线的情况考虑不 线AC与直线BM所成角的余弦值为 全，就会错选B;空间想象能力不够，就会错选C. 易错二利用基本事实忽略前提条件致错 5.已知在正方体ABCD-A1B,C1D1中，E,F [示例2]已知A,B,C,D,E五点中，A,B, 分别为D,C1,CB,的中点，AC∩BD=P, C,D共面，B,C,D,E共面，则A,B,C,D, AC1∩EF=Q.求证： E五点的位置关系是 (1)D,B,F,E四点共面； A.共面 B.不共面 (2)若A,C交平面DBFE于点R,则P,Q, R三点共线； C.共线 D.不确定 (3)DE,BF,CC1三线交于一点， 名师阿嘱 解本题时易误认为因为A,B,C,D共面，所以点A 在B,C,D所确定的平面内.因为B,C,D,E共面， 所以点E也在B,C,D所确定的平面内，所以点 A,E都在B,C,D所确定的平面内，即A,B,C,D, E五点一定共面，以上错解忽略了“不在一条直线 上的三个点”这个重要条件，实际上B,C,D三点 有可能共线。 17暑假作业任何的限制，都是从自己的内心开始的。 2.A如图所示，连接AC,EF E 相交于点O,而四边形ABCD 为正方形，EO⊥平面ABCD. 由正八面体的性质可知，AB =BC=EA=EC=1,则AC 0k---- =2,EO- 2 所以体积V=2VE-ABCD=2 x号×号×1X1=号表面 F 积S=8S△E4B=8X2X1X1Xsin60°=2VB 2 √6 所以5258 故选A. 3.C因为正四棱台的上口边长为7cm,底部边长为 5cm,高为9cm, 所以水杯的体积为号×(5+72+后X7)×9=子× 109×9=327(cm3), 因为2000≈6.12，所以小明在疗程内每天需要饮水的 327 杯数至少是7. 故选C 4.C根据题意圆锥PO的底面直径为12和高是 W102-62=8, 因为圈锥底面丰径与圆锥的高比值为子，设圆柱的高 O0=8一4t,圆柱的底面半径为3t, 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去的圆柱的 侧面积， 圆锥表面积为π×62十π×6×10=96π，圆柱侧面积为 2π×3t×(8-41), 所以剩下几何体的表面积为96π十6t(8一4t)π=120π， 所以t=1. 所以圆柱的高O0'=8一4t=4, 故选C 5.ABD设圆锥的母线长为I,则母线长1为侧面展开图 的半圆的半径，又圆锥的侧面展开图是面积为9π的半 国，所以分x·P=9r,则1=3E:设国维的底面半径 为，则，=8要=8接周的高A=一7 2π 波国维的泰面牧5-x(但)+9领-号，因 3√6 2 整的体软为片x().3_3, 2 4 故选ABD. 6.解析直角边长分别为6m和8m的直角三角形的面 积为S= 2×6x8=24m2). 则内切圆半径为 2S 2×24=2(m)· 6+8+W√62+82 24 因直三校柱高度为6m,号>2，则该球的最大半径为2m 答案2m 7.解析将ABCD绕AB翻折到与D1 C ABC1D1共面，平面图形如图所示 连接CD1(平面图形中)，则CD1的长 度即为D1E十CE的最小值 因为AB=AD=1,AA1=2√2，所以 E AD1=√/12+(22)2=3， 所以DD1=4,所以CD1=√12十4 =√17， D 所以DE十CE的最小值为√17. 答案√17 5 忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。 [每日格言] 8.解析设P点在平面ABC的投影为D, 因为PA=PB=PC=1,则D为△ABC的外心， 因为AB⊥BC,所以AC的中点即为△ABC的外心， 取AC的中点D,连接BD,PD,BD=2AC=号， 设三棱锥PABC外接球的球心为O,则P,O,D三 点共线， 连接OB,则OB=OP=R, 其中AD=CD=号，由匀胶定理得PD=√AP-AD 2 则OD=-DP-OP-9-R, 由为殿定理得0D+BD2=B0,中（停R)°+子 R,解得R=5, 31 5 B 答案 3 15 【真题体验】 1.B设圆柱和圆锥的底面半径均为r,因为它们的高均 为3，且侧面积相等，所以2πr×√3=πr√（√3）2十r2,得 P=9,所以圆维的依积V=了2X5=3Bx,故选B. 2.解析因为BD=4√2且四边形ABCD为正方形，故 BA=4, 而DB1=9,故BB+BD2=81,故BB1=7, 故所求体积为7×16=112， 故答案为112 答案112 【易误警示】 [示例1]B由题图可知，AB⊥AC, AB=A'B'=1,AC=2A'C'=2, 所以Sa=号×1X2=1.故选B [示例2]解析如图，旋转之后形成的图形为圆台去掉 一个半球体. 则旋转一周所形成的几何体的体积为号×4× (4π+25π十√4πX25元)- 3 答案140x 3 作业（八）空间点、直线、平面之间的位置关系 【基础演练】 1.D直线1不平行于平面α，则可能为直线lC平面&，或 直线1与平面α相交， 所以A,B,C错误，D正确； 故选D. [每日格言]成功者绝不放弃，放弃者绝不会成功。 2.DA项，三个点可能共线；B项，点可能在直线上； C项，无数个点也可能在同一条直线上 3.A.M∈a,aCa,.M∈a,又'N∈b,bCa,.N∈a, 又M,N∈l,∴.ICa 4.C连接CD1,AC, D C B D 根据正方体的性质可知A1B∥D1C, 所以∠AD1C是直线AD1与A1B所成的角， 由于三角形ACD1是等边三角形，所以∠AD,C-子， 即直线AD1与AB所成的角的大小为 故选C. 【综合演练】 1.D只有平面内四边相等的四边形才是菱形，空间内四 边相等的四边形可以构成立体图形，故A错误； 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这 两个角相等或互补，故B错误； 若平面内无数条直线均平行，则两个平面可以平行或相 交，故C错误； 两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a,b 的位置关系可能是异面直线，也可能是相交直线，故D 正确： 故选D. 2.B将平面展开图还原成正方体如图所示， D B(C) 则B,C两点重合，可知11与l,相交，连接AD, 则AB=AD=BD,可知△ABD为正三角形，所以I1与 4的夹角为于 故选B. 3.AC若n⊥&，n⊥&，由线面垂直的性质可知m∥n,故 A选项正确：若a⊥B,a⊥Y,则B∥y不一定正确，因为3 与Y可能相交，故选项B不正确；若m⊥a,m⊥3，由线面 垂直的性质和面面平行的定义或判定定理可知α∥B,故 C选项正确；若m∥a,n∥a,则m∥n不一定正确，因为 n与n可能相交，也可能m与n异面，选项D不正确. 故选AC 4.解析因为点M为CD的中点，取AD中点E,连接 EM,BM,BE, 则EM∥AC,如图 B 所以直线AC与直线BM所成角的余弦值转化为直线 BM与直线EM所成角的余弦值， 高一数学（配RJA版） 因为该四面体为正四面体，△ABD,△BCD为等边三 角形， 所以BE=BM=-5a,EM=号AC=@, 所以在△BEM中，由余弦定理，BE2=EM2十BM2一 2EM·BM·cos∠EMB, 即(3a)2-a2+(√5a)2-2a·(5a)·cos∠EMB, 解得cOs∠EMB=E 6 答案 5 5.证明(1)因为EF是△DBC的中位线，所以EF∥BD1, 在正方体ABCD-A1BCD1中，BD1∥BD,所以EF∥BD. 所以EF,BD确定一个平面，即D,B,F,E四点共面. D E C B R、 A B (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面AACC 为a,平面BDEF为B. 因为Q∈AC1,所以Q∈a.又Q∈EF,所以Q∈B.所以 Q是α与B的公共，点 同理，P也是&与B的公共点.所以a∩B=PQ. 又A1C∩B=R,所以R∈AC,R∈a,且R∈B.则R∈ PQ,故P,Q,R三点共线 (3)因为EF∥BD且EF<BD,所以DE与BF相交， 设交，点为M,则由M∈DE,DEC平面D1DCC1,得M∈ 平面D1DCC1, 同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面 BBCC=CC1, 所以M∈CC1.所以DE,BF,CC1三线交于一点M. 【真题体验】 C对于A,若m∥a,nCa,则m,n可平行或异面，故A 错误； 对于B,若n⊥a,n⊥B,则a∥B,故B错误： 对于C,若n∥&，m⊥B,则α⊥3，故C正确； 对于D,mCa&,a⊥B,则m与B可平行或相交或mCB,故 D错误； 故选C. 【易误警示】 [示例1]D空间中共线的三 点不能确定一个平面，所以选 、C a 项A错误；空间中两两相交的 三条直线交于同一点时，可能 /a(B)c b 确定一个平面也可能确定三个平面，所以选项B错误： 空间中有三个角为直角的四边形可能是空间图形，所以 选项C错误；选项D正确，如图，因为a∥b,所以直线a, b确定一个平面a.因为b∥c,所以直线b,c确定一个平 面B.因为lCα，lCB,由“经过两条相交直线，有且只有 一个平面”可知a与B重合，所以a,b,c,l共面. [示例2]D分两类进行讨论.(1)若B,C,D三点不共 线，则它们确定一个平面a.因为A,B,C,D共面，所以 点A在平面a内.因为B,C,D,E共面，所以点E在平 面α内. 所以点A,E都在平面α内，即A,B,C,D,E五点一定 共面 (2)若B,C,D三点共线于l,若A∈1，E∈1，则A,B,C, D,E五点一定共面，但平面不唯一； 若A,E中有且只有一个在1上，则A,B,C,D,E五点一 定共面. 若A,E都不在I上，则A,B,C,D,E五点，可能共面，也 可能不共面 综上，A,B,C,D,E五点的位置关系无法确定