第10章 空间直线与平面（单元测评卷）新高二数学沪教版

**基本信息** 聚焦高中数学空间直线与平面单元，通过120分钟150分的填空、选择、解答题梯度设计，考查空间观念、推理能力与几何直观，适配暑假单元复习与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|点线面位置关系（1）、直观图（2）、角的取值范围（3）、异面直线所成角（5）|第3题梳理四类角的范围，体现数学思维的系统性；第9题动态线段最值，考查空间观念| |选择题|4题18分|充分必要条件（13）、线面相交性质（14）、正方体中点线面关系（15）|第16题正四面体探究性问题，融合几何直观与推理能力，贴近高考命题趋势| |解答题|5题78分|四点共面证明（17）、直观图面积（18）、翻折问题（21）|第21题翻折过程中轨迹与线段范围，综合空间想象与逻辑推理，落实数学眼光|

第10章 空间直线与平面 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 2．如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的周长为________． 3．小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有______（请填写序号） 4．设表示两个平面，表示直线，表示三个不同的点，给出下列命题： ①若，则； ②不重合，若，则； ③若，则； ④若，且不共线，则与重合. 其中假命题的序号是______. 5．在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 6．在长方体中，，，，则直线与平面所成角的大小为______． 7．已知正方体的棱长为a，异面直线DB与之间的距离为________． 8．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为______． 9．正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________. 10．若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为______. 11．已知正方体边长为2，点为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面直线与AP所成角的最小值为______. 12．已知平面和平面交于直线l，P是空间一点，，垂足为A，，垂足为B，且，，若，则与所成二面角为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．已知点A，B在直线l上，直线平面α，则“直线平面α”是“点A，B到平面α的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的是（    ） A．平面内的所有直线均与直线异面； B．平面内存在与直线垂直的直线； C．平面内存在直线与直线平行； D．平面内所有直线均与直线相交. 15．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直，直线MN平面 B．直线与直线平行，直线MN平面 C．直线与直线平行，直线MN⊥平面 D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面 16．如图，在正四面体中，分别是线段的三等分点，是线段的中点，是线段上的动点，则（    ）． A．存在点，使成立 B．存在点，使成立 C．不存在点，使平面平面成立 D．不存在点，使平面平面成立 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 18．（14分）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 19．（14分）已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点， (1)求异面直线与所成角； (2)画出过E，F，三点的截面，保留作图痕迹； 20．（18分）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，点在PD上，且. (1)求点A到平面PBD的距离； (2)是棱PC的中点，证明：平面AEC． 21．（18分）如图1，在中，，，是线段上一点，且⊥，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为；    (1)求的长度； (2)当时，求直线与平面所成角的正切值； (3)当时，在翻折的过程中： ①求点的运动轨迹的长度； ②求线段长的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 空间直线与平面 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.. 2. 3 ③④ .4. ③ 5. 6. 7. 8./0.75 9. / 10. 4 11. 12.或 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13. A 14. B 15.A. 16.C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （4分） （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （5分） （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. （5分） 18．（14分）【详解】（1）∵直观图的面积S直＝S原，S直＝a2，∴S原＝a2， 即原三角形ABC的面积为a2. （5分） （2）由斜二测画法规则知，故为直角三角形. （4分） （3）由已知得在直角中，， 故. （5分） 19．（14分）【详解】（1）若是中点，连接， 由是中点，则且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，为， 由题意，知，故， 所以异面直线与所成角为. （7分） （2）作直线，交延长线于， 连接分别交于， 最后连接，则五边形，即为所求. （7分） 20．（18分）【详解】（1）设AC与BD的交点为O， 底面是菱形的四棱锥中，， 所以菱形的边长为1， 所以， 得， 在中，，O是BD的中点， 所以，所以， 在中，，即，所以， 因为，在平面PAC中相交， 所以平面PAC，又平面PAC，所以， ，，在平面ABCD中相交于点O， 所以平面ABCD， 所以， 设点A到平面PBD的距离为d， 所以    ， 即， （9分） （2）取PE的中点M，连接FM，BM，则， 因为，平面AEC，平面AEC，所以//平面AEC， 由，知E是MD的中点， 因为O是BD的中点，所以， 因为，平面AEC，平面AEC，所以//平面AEC， 因为//平面AEC，//平面AEC，，FM，BM在平面BMF内相交于点M， 所以平面BMF平面AEC，又平面BMF， 所以平面AEC. （9分） 21．（18分）【详解】（1），，⊥， 故； （4分） （2）当时，平面⊥平面，交线为， 过点作⊥交的延长线于点，连接， 由于平面，故⊥平面，则即为在平面上的投影， 所以即为直线与平面的所成角， 其中平面，故⊥， 由于，故，， 由勾股定理得，， 直线与平面所成角的正切值为； （6分）    （3）①当时， 在翻折的过程中，点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧， 其中圆心角为，故点的运动轨迹的长度为； ②如图，当时，记点在平面上的投影为，连接， 则⊥，又⊥，故即为二面角的平面角， 故，则，， 过点作⊥，并交于点，则， 则， ， ， 因为，所以，， 故. （8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 空间直线与平面 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 【答案】 【分析】由直线与平面的位置关系可得结论. 【详解】直线上存在两点在平面上，则. 故答案为：. 2．如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的周长为________． 【答案】 【详解】作出的图形如下图所示： 由题意可知，，且， 由勾股定理可得， 故的周长为. 3．小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有______（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】根据异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，两个非零向量的夹角的概念即可判断. 【详解】异面直线所成的角的范围为，①错误； 直线与平面所成的角的范围为，②错误； 二面角的范围为，③正确； 两个非零向量的夹角为，④正确. 故答案为：③④ 4．设表示两个平面，表示直线，表示三个不同的点，给出下列命题： ①若，则； ②不重合，若，则； ③若，则； ④若，且不共线，则与重合. 其中假命题的序号是______. 【答案】③ 【分析】根据平面的基本性质对给出的四个命题分别进行分析、判断后即可得． 【详解】对于①，根据公理1可知，所以①正确； 对于②，由题意得平面有公共点，根据公理3可知相交， 且，所以②正确； 对于③，由于，可得，所以③不正确； 对于④，由三点不共线可得确定一个平面，所以与重合，所以④正确． 综上可得①②④正确，故假命题的序号是③． 故答案为：③. 5．在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】取的中点，构造三角形的中位线，将异面直线与所成的角转化为三角形的内角，结合余弦定理可得. 【详解】 取的中点，连接， 由E、F分别为边、的中点，由三角形的中位线性质可得，为异面直线与所成的角， 在中，由余弦定理可得， 所以， 由异面直线间夹角范围可得直线与所成的角为. 6．在长方体中，，，，则直线与平面所成角的大小为______． 【答案】 【分析】由线面角的定义确定直线与平面所成角为，进而可求解. 【详解】 在长方体中，平面， 则在平面内的射影为，故直线与平面所成角为， ，​， 又平面，平面，所以​， 在中： 故直线​与平面​所成角为. 7．已知正方体的棱长为a，异面直线DB与之间的距离为________． 【答案】 【分析】连接，进而可证得即为公垂线，从而得解. 【详解】 如图，连接与交于点，， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以异面直线DB与之间的距离为， 故答案为： 8．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为______． 【答案】/0.75 【分析】通过延长DF，交AB的延长线于点Q，先证明点G即EQ与PB的交点，利用及相似三角形，证得，由得到，，推出即得. 【详解】 如图，延长DF，交AB的延长线于点Q，连接EQ，EQ与PB的交点即为G. 理由如下：设D，E，F共面，因，则平面， 又因平面，故三点共线，即. 取AB的中点M，连接EM，因，由可得, 因,则,又E是棱PA的中点，则,则得, 故有，又，所以，故． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查通过四点共面确定点的位置的方法，属于较难题. 解题的关键在于先由，通过两个平面的相交，证明点在交线上，从而确定点的位置. 9．正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________. 【答案】/ 【分析】先明确MN最小值情况，进而得到MN最小时MN位置，然后把空间两根线段和等价转化成共面的两根线段和即可求解. 【详解】如图，连接MC，MA， 则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短， 此时N为AC中点，面， 如图延长至G，使得，连接GM， 则面，且， 所以面，故当三点共线时最小， 此时. 故答案为：. 10．若两异面直线a，b所成的角为70°，过空间内一点P作于直线a，b所成角均为70°的直线l，则所作直线l的条数为______. 【答案】4 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作，设直线确定平面，如图，    当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 当射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故答案为：4 11．已知正方体边长为2，点为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面直线与AP所成角的最小值为______. 【答案】 【分析】由题意线线角的最小值为相关的线面角，从而求出答案. 【详解】异面直线与AP所成角的最小值为直线与平面所成的角， 由平面，故斜线在平面上的投影为， 故即为斜线与平面所成的角，， 故异面直线与AP所成角的最小值为. 12．已知平面和平面交于直线l，P是空间一点，，垂足为A，，垂足为B，且，，若，则与所成二面角为__________. 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用二面角的定义，结合点的位置情况分类求解. 【详解】点与平面和平面所成二面角的位置关系有如下两种情况，如图1和图2：    令平面交直线于点，连接，由，，得，同理， 由平面，得平面，而平面， 因此，就是与所成二面角的平面角， 图1中，由，得；图2中，， 所以与所成二面角为或. 故答案为：或 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．已知点A，B在直线l上，直线平面α，则“直线平面α”是“点A，B到平面α的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合空间中线、面的位置关系，即可得答案. 【详解】如图，取线段AB的中点D，若平面α，则点A，B到平面α的距离相等， 此时直线l与平面α相交，即“点A，B到平面α的距离相等”“直线平面α”，不满足必要性； 若直线平面α，则直线l上的点到平面α的距离都相等，即点A，B到平面α的距离相等， 满足充分性， 故选：A． 14．已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的是（    ） A．平面内的所有直线均与直线异面； B．平面内存在与直线垂直的直线； C．平面内存在直线与直线平行； D．平面内所有直线均与直线相交. 【答案】B 【分析】根据直线与平面的位置关系，逐项验证即可求解. 【详解】由题意有：直线与平面相交，则平面内的直线与直线的关系有：相交或异面 因此内存在与直线垂直的直线，即B正确. 故选：B. 15．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直，直线MN平面 B．直线与直线平行，直线MN平面 C．直线与直线平行，直线MN⊥平面 D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面 【答案】A 【分析】根据题意，利用正方体的几何结构特征，结合线面平行和线面垂直的判定与性质，进行判定，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为正方形，且为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中， 因为平面，且平面，所以， 又因为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以A正确，B、C错误； 在中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：A.    16．如图，在正四面体中，分别是线段的三等分点，是线段的中点，是线段上的动点，则（    ）． A．存在点，使成立 B．存在点，使成立 C．不存在点，使平面平面成立 D．不存在点，使平面平面成立 【答案】C 【分析】A选项，作出辅助线，得到⊥平面，故⊥，假设成立，又和均在平面中，则，显然这是不可能的，故A错误；B选项，，当点在处时，最大，设正四面体的棱长为3，由余弦定理得，故小于，故B错误；C选项，取的中点，为二面角的平面角，由余弦定理得到，所以为锐角，C正确；D选项，由A知，当点为中点时，平面平面成立，故D错误. 【详解】A选项，取的中点，连接， 因为正四面体中，，所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥，故⊥， 假设成立，又和均在平面中，为平面的斜线， 则，显然这是不可能的，故A错误； B选项，因为是线段的中点，，所以， 当点在处时，最大， 设正四面体的棱长为3，则， 由余弦定理得， 同理可得， 故， 故小于，所以不存在点，使成立，故B错误； C选项，取的中点，连接， 因为，所以⊥，⊥， 故为二面角的平面角， 其中，故， 所以为锐角， 经过与平面垂直的平面有且只有一个，且与线段无公共点，故C正确； D选项，由A知，当点为中点时，⊥平面， 又平面，故平面平面成立，故D错误. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （4分） （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （5分） （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. （5分） 18．（14分）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积； （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状； （3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？ 【详解】（1）∵直观图的面积S直＝S原，S直＝a2，∴S原＝a2， 即原三角形ABC的面积为a2. （5分） （2）由斜二测画法规则知，故为直角三角形. （4分） （3）由已知得在直角中，， 故. （5分） 19．（14分）已知正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点， (1)求异面直线与所成角； (2)画出过E，F，三点的截面，保留作图痕迹； 【详解】（1）若是中点，连接， 由是中点，则且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，为， 由题意，知，故， 所以异面直线与所成角为. （7分） （2）作直线，交延长线于， 连接分别交于， 最后连接，则五边形，即为所求. （7分） 20．（18分）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，点在PD上，且. (1)求点A到平面PBD的距离； (2)是棱PC的中点，证明：平面AEC． 【详解】（1）设AC与BD的交点为O， 底面是菱形的四棱锥中，， 所以菱形的边长为1， 所以， 得， 在中，，O是BD的中点， 所以，所以， 在中，，即，所以， 因为，在平面PAC中相交， 所以平面PAC，又平面PAC，所以， ，，在平面ABCD中相交于点O， 所以平面ABCD， 所以， 设点A到平面PBD的距离为d， 所以    ， 即， （9分） （2）取PE的中点M，连接FM，BM，则， 因为，平面AEC，平面AEC，所以//平面AEC， 由，知E是MD的中点， 因为O是BD的中点，所以， 因为，平面AEC，平面AEC，所以//平面AEC， 因为//平面AEC，//平面AEC，，FM，BM在平面BMF内相交于点M， 所以平面BMF平面AEC，又平面BMF， 所以平面AEC. （9分） 21．（18分）如图1，在中，，，是线段上一点，且⊥，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为；    (1)求的长度； (2)当时，求直线与平面所成角的正切值； (3)当时，在翻折的过程中： ①求点的运动轨迹的长度； ②求线段长的取值范围. 【详解】（1），，⊥， 故； （4分） （2）当时，平面⊥平面，交线为， 过点作⊥交的延长线于点，连接， 由于平面，故⊥平面，则即为在平面上的投影， 所以即为直线与平面的所成角， 其中平面，故⊥， 由于，故，， 由勾股定理得，， 直线与平面所成角的正切值为； （6分）    （3）①当时， 在翻折的过程中，点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧， 其中圆心角为，故点的运动轨迹的长度为； ②如图，当时，记点在平面上的投影为，连接， 则⊥，又⊥，故即为二面角的平面角， 故，则，， 过点作⊥，并交于点，则， 则， ， ， 因为，所以，， 故. （8分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $