作业(六) 复数-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言]成功与不成功之间有时距离很短一只要后 作业（穴） 复数 1知识整合 1.复数的有关概念 (1)复数的定义 把形如a十bi(a,b∈R)的数叫做复数，其 中a是实部，b是虚部，i为虚数单位. (2)复数的分类 复数z=a+bi(a,b∈R) 实数(b=0), 虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数）. (3)复数相等 a+bi=c+di台a=c且b=d(a,b,c,d∈R). (4)共轭复数 复数x=a+bi的共轭复数为之=a一bi(a, b,c,d∈R). (5)复数的模 向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝 对值，记作|a+bi或|之|，即|z|=|a+bi= √a2+b2(a,b∈R). 2.复数的几何意义 (1)复数之=a十bi(a,b∈R)-对应复平 面内的点Z(a,b). (2)复数之=a十bi(a,b∈R)-对应 平面 向量OZ(O为坐标原点). 3.复数的四则运算 设x1=a+bi,x2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法：1+x2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i. (2)减法：之1-2=（a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i. (3)乘法：之1·2=(a十bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i. 0除法：县=牛第-+ (c+di)(c-di) g+学c+o以 11 者再向前几步。 高一数学（配RJA版） 今 月 日 台 星期 天气 2基础演练 1.设复数之=(1+ai)(2一i),若之的实部与 虚部相等，则实数a的值为 ( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 2在复平面内，2对应的点位于（ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若复数之满足之十i=2i(之一i),则z= A.1 B.√2 C.3 D.2 4.若(x十i)2=2i(x∈R),则x= 5.已知x∈C,若x2+x+1=0,则 |-1+x= 3综合演练 2 1.复数x=226- 的虚部为 A.1 B.i C.-1 D.-i 2.复数之满足(1十2)·z=3+4i,则z= A.5 B.5 c. 3.已知复数z=(3+i)(2-ai),a∈R,i为虚 数单位，若之为纯虚数，则=( A.-20 B.20 C.-6 D.6 暑假作业生命是一条艰险的峡谷，只有勇敢的 4.已知复数之在复平面内对应的点的坐标为 (一2,3)，则复数2-的共轭复数为( ) 74 7 4 A.一1313 B.13+13 C.313 8i 8 1 D.1i3+13 5《多选)已知复数=针则 ( A.之十z=4 B.|z-i=2√2 C.之在复平面内对应的点位于第四象限 D.之是方程x2-4x+6=0的一个复数根 6.(多选)已知ⅰ为虚数单位，则下列结论正 确的是 ( ) A.若复数之1，之2满足|之1=之2，则 = B.若之-(2+i)>0,则z>2+i C.若复数1,2，满足12=0，则之1=0或 22=0 D.若复数之满足，z=1,则|之一2i|最大 值为3 7.已知p,q∈R,且一2十3i是关于x的方程 2x2+x十q=0的一个根，则十q= 8.欧拉公式e0=cos0+isin0(其中e为自然 对数的底数，i为虚数单位)是由瑞士数学 家欧拉发现的，若复数之=e世，则：的虚部 为 4真题体验 1.(2025·全国一卷)(1+5i)i的虚部为() A.-1 B.0 C.1 D.6 2.(2025·全国二卷)已知之=1+i,则 之一1 A.-i B.i C.-1 D.1 才能通过。 [每日格言] 3.(2025·北京卷)已知复数之满足i·之十2 =2i,则|z= A.2 B.2√2 C.4 D.8 4.(2025·天津卷)已知i是虚数单位，则 3+i 5易误警示 易错一忽视隐含条件致错 [示例1]设复数之=1g(m2一2m-2)+ (m2+3m+2)i. (1)当实数m为何值时，x是实数？ (2)当实数m为何值时，之是纯虚数？ 名师叮嘱 利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚 部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取 值求解，否则容易产生增根.要特别注意，复数之 a十bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件为a=0且 b≠0. 易错二误用判别式求一元二次方程的解 [示例2]已知关于x的方程x+(k+2i)x十 2+i=0有实数根，则实数k的值为 名师叮嘱…… 由于虚数单位的特殊性，故不能用判别式判断复 数范围内的一元二次方程有无实数根，解决复数 范围内的虚系数一元二次方程有实根求参数问 题，应设出实根代入方程，利用复数相等的充要条 件求解暑假作业如果你希望成功，以恒心为良友，以经验 }+C亦+2C.i) =(1+9+2×1×3x)=是 则1cD1=3 2 即AB边上的中线长为 2 答案√3 2 4.解析(1)由正弦定理有sin Bcos A+√3 sin Bsin A= sin A+sin C, 因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Bcos A十W3 sin Bsin A=sinA+sin Acos B+ cos Asin B, 化简得V3 sin Bsin A=sinA十sin Acos B, 由A∈(0，π)，sinA≠0有√3sinB=1+cosB, 可得sin(B-若）-合： 因为B∈0x).B晋∈（吾晋） 所以B-晋-答，则B=子 (2)由B=子S=名xsnB =√5，得ac=4. 又b2=a2+c2-2 accos B可 得a2+c2=8, 眼之8解得。- B =2,所以△ABC为正三 角形， 所以AD=号A=吾 在△ABD中，由余弦定理得BD2=2+(号)-2X2 周BD-2做BD的长为 3 【真题体验】 1.C由题意结合正弦定理可得 sin Acos B-sin Bcos A=sin C, Ep sin Acos B-sin Bcos A=sin (A+B) =sin Acos B++sin Bcos A, 整理可得sin Bcos A=0,由于B∈(0，π)， 故sinB>0, 据此可得c0sA=0,A=受， 则B=π一A-C=π一乞一方=10 -π_文=3π 故选C. 2.解析(1)已知asin B=√3 bcos A, 由正孩定理日AB 得asin B=bsinA=√3 bcos A,显然cosA≠0， 得tanA=√5，由0<A<π， 得A=子 (2②)由(1)知c0sA=号，且c=26+10=厅， 由余弦定理a2=b2十c2-2 bccos A, 则7=62+(26+1)2-2×26(26+1)=362+36+1， 解得b=1(b=一2舍去)， 故c=3. 为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 [每日格言] b (3)由正弦定理 sin A sin B 且b=1,a=√7，sinA= 3 2 得sinB=bsin A=21 ,且a>b,则B为锐角， 14 故cosB= 5W7 ,故sin2B=2 sin Bcos B= 5w3 14 14 2 且cos2B=1-2sin2B=1-2× 21 11 14 =14 故sin(A+2B)=sin Acos2B+cos Asin2B=5×+ 2 14 155_43 2×14 7 【易误警示】 [示例1]D设建筑物的高度为hm,由题图知， PA-2h m.PB-/Zh m.PC-25 m 在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理的推论，得 c0s∠PBA=602+2h2-4h ,① 2X60X√2h 602+2h2-4h2 3 cos∠PBC -,② 2×60×√2h 因为∠PBA+∠PBC=180° 所以cos∠PBA十cos∠PBC=0,③ 由①②③，解得h=30√6或h=一30√6（舍去）， 即建筑物的高度为30√6m. [示例2]B因为a=E,b=5,B=答，由正弦定理 AnB可得，B。解得nA三因为 61 a<b,所以A<B,故A∈(0，)，又y=sinx在 (0,受)上单调递增，故A只有一解，故选B. 作业（六）复数 【基础演练】 1.A因为之=(1+ai)(2-i)=2+a十(2a-1)i,且之的 实部与虚部相等， 故2十a=2a一1，解得a=3, 故选A. 2.A因为，+31-1+3)C2-D=2-i计6i-3=1+十i. 2+i (2+i)(2-i) 5 所以，十对应的点坐标为1,1)，该点位于第一象限， 2+i 故选A. 3.A由题意可知，复数之满足之十i=2i(e-i), 则可转化为之= ++ 1-2i(1-2(1+21) 所以（）‘+（号》 =1.故选A. 4.解析因为(x十i)2=2i, 所以x2+2.xi+2=2i,即x2-1+2xi=2i, 1x2-1=0·解得x=1. 所以2x=2, 答案1 5.解折2+x+1=0→(+)广=->x=-士 4 2i.=- 生1+-士9.1+1 ± 2 √（)+（±- 故答案为3. 答案√3 48 [每日格言]理想是人生道路上的航标灯，没有理想 【综合演练】 2 2 2(-1+i) 1.A由题意知之=220-一=-1-(-1-iD(-1+iD =-1+i, 所以复数之的虚部为1. 故选A. 2.B 因为1+21)·文=3十4，所以之=3士 3+8-21-号号 1+2i (1+2i)(1-2i) 5 5 别=号+：所以=√得)+()=后 故选B. 3.Bz=(3+i)(2-ai)=(6+a)+(2-3a)i, ER且：为纯度数侣+3a0a=-6。 .之=20i,.|z=|z|=20. 故选B. 4.B因为复数之在复平面内对应的点的坐标为 （-2,3),所以之=-2十3i, 所以2= 2-i (2-i)(-2-3i) -2+3i (-2+3i)(-2-3i) -4-6i+2i-3 74 13 =-13131 所以复数2的共轭复数为一日十3， 7 4 故选B. 5A0g名年》得二器=2-i所以=2++ (2一i)十(2十i)=4,故A正确； -i=(2+i)一i=2,所以|-i=2≠2√2，故B错误； 复数之=2一i在复平面内对应的点为(2，一1)，位于第 四象限，故C正确； 将之=2-i代入方程x2-4.x十6=0左边， 即(2-i)2-4(2-i)+6=4-4i+i2-8+4i+6=1≠ 0,也即之不是该方程的根，故D错误. 故选AC. 6.CD显然若1=1+i,22=-1+i,则|1|=|2|=2， 但=2i,之=一2i,故A错误； 举例之=3十i,则满足之一(2十i)>0,但是复数不能直接 比较大小，即之>2十i不成立，故B错误； 由之2=0，得1之2|=0，即之1||2=0，因此 1之1=0或2|=0，之1=0或2=0，C正确； 设之=x+yi,x,y∈R, 则x2+y2=1,.y∈[-1,1]，之-2i= √x2+(y-2)z=-y2+(y-2)7=√5-4y∈ [1,3],则之一2i最大值为3，故D正确. 故选CD. 7.解析由一2十3i是关于x的方程2x2十p.x十q=0的 一个根， 则2(-2+3i)2+p(-2+3i)+g=0, 整理得(q-2p-10)+(3p-24)i=0, 则日。240-0邮释 1q=261 所以p十q=34. 答案34 8.解析由题意可得=e出=cos号+isn=cos (4x-号）+isin(4x-号)=cos号-isin吾= 1 9. 所以：的虚第为一 答案一3 2 你的道路将是一片黑暗。 高一数学（配RJA版） 【真题体验】 1.C因为(1十5i)i=i+52=-5+i,所以其虚部为1， 故选C 1 i 2.A因为之=1十i,所以 -11+i-11-2 一i 故选A 3.B由i·之十2=2i可得，z= 一2+21=2+2i,所以= √22+22=2√2， 故选B. 4,解析先由题得3+i-一i(3十iD=1一31， 所以 3+i =√12+（-3)z=√/10. i 故答案为√0 答案√10 【易误警示】 [示例1]解析(1)当m满足m2+3m+2=0,且m2 2m-2>0, 即m=一2或m=一1时，之是实数， (2)当m满足m2+3m十2≠0且m2-2m-2=1, 即n=3时，是纯虚数 [示例2]解析设x。是方程的实数根，代入方程并整 理得(x十k.x0十2)+(2.x0十k)i=0, 6+kx+2=0, 12.x0十k=0, 解得x0=V2, 或 x0=-√2， k=-22k=2√2， .实数k的值为士2√2 答案士2√2 作业（七）基本立体图形与几何体的表面积、体积 【基础演练】 1.A因为△OA'B'是等腰直角三角形，O'B'=2, 所以OA'=A'B'=√2，且OB=OB'=2,OA⊥OB 0A=20A'=2E,所以原平面图形的面积是2×2X2 √2=2√2 故选A 2.D设圆台的高为A,由题意可知，合×(2十4)h=9,得 h=3, 圈台的体积V=3π(12+22+1X2)×3=7x. 故选D 3.B设球O的半径为R,则该正方体的体对角线长即为 2R,即2R=3√3，故球O的表面积为S=4πR2=π· (2R)2=27π.故选B. 4.D易知BC∥平面A1D1DA,则P到平面A1D1DA的 距离始终为1，由题意可知VD -ADP=VPADD,=3 1X5am,=号×2×1X1= 1 ,又易知正方体的体积 为1，所以余下部分的体积为号 故选D 【综合演练】 1.B球的半径为R,则球的表面积为4πR, 圆柱的底面半径为R,高为2R, 则圆柱的表面积为2πR2十2πR×2R=6πR2 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为4πR:6πR 2:3. 故选B. 49