假期必刷22 空间中的平行与垂直-【快乐假期】2024年高二数学暑假衔接一轮大作业

三002 高二数学的) 假期必刷22空间中的平行与垂直 思维整合室 文字语言 图形表示 符号表示 1.空间中的平行与垂直 两个平面平 性质定理④ 判定定星Q线面平行 定定埋恩 面面平行 行，如果另一 线线平行性质定理② 性质 性质定 个平面与这 a∥3，any=a,3 性质定吼⑥ 理④ 两个平面 ny=b→a∥b 判定定理⑤ 判定定埋⑦ 线线垂直 线而垂立 面垂直 ,那么两条 性质 性质定理⑧ 平行 文字语言 图形表示 符号表示 如果一条直 线与一个平 ILa 如果平面外 面内的 11L6 判定定 一条直线与 理⑤ 茶 a anb=0 >l⊥a 此平面内的 判定 ata,bCa,a∥b 直，那么该直 aCa 平 定理① →a∥a 线与此平面 bCa 行，那么该直 垂直 线与此平面 平行 垂直于同一 性质定 个平面的两 ala] →a∥b 理⑥ b⊥a 一条直线和 条直线 个平面平 行，如果过该 如果一个平 性质定 直线的平面 a∥a,aC3,a∩3 面过另一个 B 判定定 理② 与此平面相 =b→a∥b 平面的 →a⊥3 理⑦ 交，那么该直 那么这两个 a 线与 平面垂直 平行 两个平面垂 直，如果一个 如果一个平 平面内有一 面内的两条 a⊥B 直线垂直于 与 性质定 aCB,bC3,a∩b an8-a 判定定 h 这两个平面 →a 另一个平面 =P,a∥a,b∥a 理⑧ l⊥a a 理③ 的，那么 平行，那么这 →a∥B 这条直线与 两个平面 另一个平面 平行 垂直 43 火曼快乐限期 SE 2.异面直线所成的角 2.设a,3是两个不同的平面，m是直线且Ca, (1)定义：已知a,b是两条异面直线，经过空间 则“m∥3”是“a∥3”的 任意一点O作直线a'∥a,b∥b,把a'与b A.充分不必要条件 所成的角叫做异面直线a与b所成的角 B.必要不充分条件 (或夹角). C.充分必要条件 (2)范围： D.既不充分也不必要条件 3.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 3.若m,n,l为空间三条不同的直线，a,B,Y为 所成的角叫做这条直线和这个 空间三个不同的平面，则下列为真命题的是 平面所成的角，一条直线垂直于平面，则 它们所成的角是 ;一条直线和平 A.若m⊥l,n⊥l,则m∥n 面平行或在平面内，则它们所成的角 B.若m⊥3，m∥a,则a⊥3 是0° C.若a⊥y,B⊥Y,则a∥3 (2)范围： 4.二面角 D.若a∩y=m,3∩y=n,m∥n,则a∥3 (1)定义：从一条直线出发的 所 4.在正方体ABCD-ABCD1中，E,F分别 组成的图形叫做二面角， 为AB,BC的中点，则EF与平面ABCD (2)二面角的平面角 所成角的正切值为 A.2 B.2 c D② 2 若有①O∈L:②OACa,OBC3:③OA⊥l, 5.(2023·高考上海卷)如图所示，在正方体 OB⊥l,则二面角a一l一B的平面角是 ABCD-AB,CD,中，点P为边A,C上 的动点，则下列直线中，始终与直线BP异 (3)二面角的平面角a的范围：0°≤a≤180°. 《技能提升台 面的是 C 1.在正方体ABCD一A,BCD中，E为棱 CC,的中点，则异面直线AE与CD所成角 的正切值为 ( A号 A.DD B.AC C.AD D.BC 44 三0022 高二学) 6.(2023·全国乙卷（理）)已知△ABC为等腰 A.A,M,N,B四点共面 直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三 B.平面ADM⊥平面CDD,C 角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线 C.直线BN与B,M所成的角为60° CD与平面ABC所成角的正切值为( D.BN∥平面ADM A C. 10.(多选)(2022·新高考I卷)已知正方体 ·5 0 ( 7.(2023·高考北京卷) ABCD-A1BC1D,则 坡屋顶是我国传统建 A.直线BC,与DA,所成的角为90 筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装 B.直线BC1与CA1所成的角为90 灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美 C.直线BC,与平面BB,D,D所成的角 如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两 为45 个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等 D.直线BC,与平面ABCD所成的角 腰三角形.若AB=25m,BC=AD=10m, 为45 且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的 11.如图是长方体被一平面所截得的几何体， 平面与平面ABCD的夹角的正切值均为 四边形EFGH为截面，则四边形EFGH 4,则该五面体的所有棱长之和为（■ 的形状为 A.102mB.112mC.117mD.125m 8.(多选)如图，在正方体AB CD-A,B1C1D1中，M,N, P分别是C1D,BC,AD 12.(2023·全国甲卷（理）)在正方体ABCD 的中点，下列结论正确的是 AB1CD1中，E,F分别为AB,C,D1的中 ( ) 点，以EF为直径的球面与该正方体的棱 A.AP与CM是异面直线 共有 个公共点 B.AP,CM,DD相交于一点 13.如图，三棱柱ABC一 C.MN∥BD D.MN∥平面BB,DD A,B,C,的底面是边长 9.(多选)如图，在长方体ABCD 为23的正三角形，AA AB,CD1中，AA1=AB=4, =3,AA1⊥AC,D为AC1的中点，BD BC=2,M,N分别为棱CD,CC 3√3，则二面角A,一AC一B的正切值 的中点，则 ( 为 45高二数学 内,而$H-v②·sA-. 则FO-1,FO-v2. '.EF与平面ABCD所成的角的正切A 所以SH1平面ABC,所以Vs-Ax-·S_△e·SH 值为^{。) #-#×##-## 5.B [对于A,当P是A.C. 的中点时, - 则外接球的球心在SH上,设球心为O.连接OC. BP与DD,是相交直线;对于B,根据异面直线的定义知, CH-·AB-xv·SA-2 BP与AC是异面直线;对于C,当点P与C.重合时,BP与 AD.是平行直线;对于D,当点P与C,重合时,BP与BC 因为SH-25SA-2. 是相交直线.] 6.C [如图,取AB的中点E,连接 所以O与H重合,所以R-CH-SH-2. CE,DE,因为△ABC是等腰直角 所以四面体的外接球的表面积S一4xR{}一8π 三角形,且AB为斜边, 则有CEAB. 又△ABD是等边三角形, 则 DE1AB 从而CED为二面角C一AB一 D的平面角, 即CED-150*, 显然CEODE一E,CE,DEC平面CDE,于是AB]平面 答案:30 81 CDE,又ABC平面ABC 假期必刷22 因此平面CDE 平面ABC,显然平面CDEO平面ABC -CE. 思维整合室 直线CDC平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为 1.一条直线 交线 相交直线 相交 交线 两条相交直线 直线CE. 平行 垂线 /二3 交线 /二 从而 DCE为直线CD与平面ABC所成的角. 2.(2)(o】 3.(1)射影90*(2)[o.吾] 令AB-2,则CE-1,DE-3,在△CDE中. 由余弦定理得: 4.(1)两个半平面(2)乙AOB CD=CE+DE-2CE·DEeos CED 技能提升台 #1+3-2×1×\×-#7.# 1.C [如图,连接BE,因为AB/CD,所 以异面直线AE与CD所成的角等于相 A CD 交直线AE与AB所成的角,即为 之EAB.不妨设正方体的核长为2,则 得sin DCE3sin 150*3 7 27' CE-1,BC-2,由勾股定理得BE-5. 又由AB 1平面BCC.B,可得AB BE,所以tan EAB 显然 DCE是锐角,cos DCE=1-sin DCE #7 ###)### 2.B [根据mCa,m//③得不到a/B,因为a,③可能相交,只要 m和a,③的交线平行即可得到m/B;反之,a/B,m二a,所以 m和3没有公共点,所以n/B.即由a/③能得到m/B.所以 “m/”是“a/了”的必要不充分条件,] 所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为 3.B [A中,m,"可能平行,相交或异面;C中,a与③可能平 行或相交;D中,a与③可能平行或相交。] 7.C [如图,过E作EO1平面ABCD,垂足为O,过E分别作 4.D[如图,取BC的中点O,连接OE,OF,.F是B.C的中 EG |BC,EM1AB,垂足分别为G.M,连接OG,OM. 点...OF/BB...FO平面ABCD. #7# '. /FEO是EF与平面ABCD所成的角 设正方体的枝长为2. 107 由题意得等腰梯形所在的面,等腰三角形所在的面与底面夹 A.C.门BD =O,因为A C. I平面BB.DD,所以直线 角分别为 EMO和/EGO. BC. 与平面BB.D D所成的角为 C.BO,在直角△CBO中 所以tan EMO-tan/EGO-14 sin CBO- 因为EO 平面ABCD,BCC平面ABCD,所以EO1BC BC 与平面ABCD所成的角为 C.BC=45{*,故选项D 因为FG | BC,FO.FGC乎面EOG,FOOFG-E: 正确。] 所以BC 乎面EOG,因为OGC乎面EOG,所以BC OG. 11.解析:.平面ABFE//平面DCGH. 同理OM BM,又BM BG,故四边形OMBG是矩形, 又平面EFGHO平面ABFE-EF 所以由BC=10,得OM-5,所以EO=14,所以OG-5. 乎面EFGHO乎面DCGH-HG. 所以在直角三角形EOG中,EG一 EO十OG '.EF7/HG. 同理EH//FG. -(14)+5-3 .'.四边形EFGH是平行四边形. 答案:平行四边形 在直角三角形EBG中,BG-OM-5,EB- EG$+BG 12.解析:设正方体的校长为1,则EF一 -(v39)+5-8. 又因为EF-AB-5-5-25-5-5-15 所有枝长之和为2×25+2×10+15+4×8-117m. 8.BD[连接MP,AC(图略),因为MP/AC,MP去AC. 且只有1个交点,一共有12条校,故共有12个交点. 所以AP与CM是相交直线. 答案:12 又乎面A.ADDO平面C.CDD=DD, 所以AP.CM,DD相交于一点,则A不正确,B正确 13.解析:取AC的中点E,连接 令ACOBD-O.连接OD..ON ED.EB. 因为M,N分别是C.D,BC的中点. “.D为AC的中点, 所以ON/D.M/CD,ON-DM-CD. △ABC是边长为2v③的正三角形, ·DE-AA-3.BE-3. 则四边形MNOD为平行四边形,所以MN/OD. DE AC.BE IAC. 因为MNC平面BDD.ODC平面BDD. . BED为二面角A.一AC一B的平面角. 所以MN/平面BD.D.C不正确.D正确。] 在△BED中,DE-3,BE-3.BD-3③ 9.BC [如图所示,对于A中,直线AM,BN '.由余弦定理得 是异面直线,故A,M,N,B四点不共面,故 A错误;对于B中,在长方体ABCD cos BED-3*+3{-(33) 2X3X3 A.BCD. 中,可得AD 平面CDDC,所 '.BED-120.tan BED--③ 以平面ADM 平面CDDC,故B正确;对 答案:一③ 于C中,取CD的中点O,连接BO.ON,则B.M/BO.所以 假期必刷23 直线BN与B.M所成的角为 NBO.易知三角形BON为 等边三角形,所以 NBO一60{},故C正确:对于D中,因为 思维整合室 BN/平面AA.D.D.显然BN与乎面ADM不乎行,故 l.ab +a b+aba -b.,a -xb ,a:-b a:b十ab D错误.] 十a-0a+a+ 10.ABD[如图,在正方体ABCD一 2.u·.-0 u.n-o n.·n.-0 A.B.C.D 中,因为BC 1BC.BC 3.(1)2 .n 1A.B.BCA.B. =B.B C. A.B.C平面A.BCD,所以BC 1 (3) n.n 1n. n|n 平面A.BCD.所以BC1DA. n||n。 BC CA,故选项A,B均正确;设 4.(1)V-(a·#(2)A. n 108