作业(七) 基本立体图形与几何体的表面积、体积-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言】成功呈概率分布，关键是你能不能坚持到成功开始呈现的那一刻。 高一数学（配RJA版） 作亚（七） 今 月 日 基本立体图形与几何体的表面积、体积 台 星期 历 天气 1知识整合 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 D S E 图形 A B 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 7万 互相平行且相等， 母线 相交于一点 延长线交于一点 垂直于底面 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法. (2)规则： ①已知图形中x轴、y轴、之轴两两垂直，直观图中，x'轴、y轴的夹角为45°或135°，z轴与 x轴和y轴所在平面垂直. ②已知图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和之轴的线 段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半， 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 2πr 侧面积公式 S面柱创=2πrl S团性侧=πrl S回台侧=π(r1十r2)l 13 暑假作业读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。 [每日格言] 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 表面积 体积 柱体 S表=Sm+2S底 V=S底h 锥体 S表=Sm十S底 V-3Sgh 台体 S表=S刚+S上+Sx V-(S.+5t+/5.5)h 球 S表=4πR V=音R 2基础演练 2.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的 基本元素.如图，该几何体是一个棱长为1 1.如图，已知△OAB的平 的正八面体，则此正八面体的体积与表面 面直观图是等腰直角 积的数值之比为 ( △OA'B',且∠OA'B 0B=2.则 △OAB的面积是 B A.2√2 B.√2 C.1 D② 2 2.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径 为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体 积为 ( A B.6 9 c n A.晋 B.2π C. D.7元 3.小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要 饮水2000~2500mL(1mL=1cm3).若 3.已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D 小明用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上 的所有顶点均在球O的球面上，则球O的 表面积为 ( ) 口边长为7cm,底部边长为5cm,高为 A.25π B.27π C.16π D.23π 9cm,厚度忽略不计，则小明在疗程内每 4.如图，棱长为1的正方体 D 天需要饮水的杯数至少是 ABCD-A1B1C,D1中，P A B A.5 B.6 C.7 D.8 为BC边上任意一点，将 4.如图，实心圆锥PO的轴截面是一个底边 正方体挖掉三棱锥 D 长为12，腰长为10的等腰三角形，过PO D1ADP后，余下部分的 B 上一点O作平行于底面的截面，以该截面 体积为 为底面挖去一个圆柱O0,若剩下几何体的 c 5 D. 6 表面积为120π，则圆柱O0的高为() 3综合演练 1.已知球的半径为R,圆柱的底面半径为R, 高为2R,则球的表面积与圆柱的表面积之 -0 比为 A.1:1 B.2:3 C.3:4D.1:2 A.2 B.3 C.4 D.6 14 [每日格言]平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 高一数学（配RJA版） 5.(多选)已知某圆锥的侧面展开图是面积为 5易误警示 9π的半圆，则下列说法正确的是( A.该圆锥的母线长是3√2 易错一 将直观图还原成平面图形时出错 皮浅圆能的商是 [示例1]△ABC的直观图△A'B'C'如图 C该园准的表面积是☑ 所示，其中A'B'∥x'轴，A'C'∥y轴，且 AB'=A'C'=1,则△ABC的面积为() D.该圆锥的体积是9y6π 4 6.将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、 加工成球，经测量三棱柱的高度为6m,底 面为直角三角形，三角形直角边长分别为 6m和8m,则该球的最大半径为 A.2√2 B.1 7.如图，在长方体ABCD-A1B,C,D1中，AB C.8 =AD=1,AA1=22,点E为AB上的动 n 点，则DE+CE的最小值为 名师叮嘱 D (1)“斜二测”画法的长度变化规则是：平行或与 B x轴重合的线段的长度不变，平行或与y轴重合 的线段的长度变为原来的二分之一 D (2)解决此类问题时要注意角度的变化以及长度 E B 的变化以及线与线之间的关系，直观图面积S与 8.三棱锥PABC中，PA=PB=PC=AC= 原图形面积S满足S=2s】 1,AB⊥BC,设R为P-ABC外接球半径， 易错二 求组合体的体积考虑不全面致错 [示例2] 如图所示（单 -2D 4真题体验 位：cm),直角梯形AB 1.(2024·新课标I卷)已知圆柱和圆锥的底 CD挖去半径为2的四 面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 分之一圆，则图中阴影 √3，则圆锥的体积为 ( 部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体 A.23π B.3√3π C.6√3π D.9√3π 积为 2.(2025·上海卷)如图，在正 名师叮嘱 四棱柱ABCD-A1B,C1D 求组合体的体积的关键是弄清组合体中各简单几 D 中，BD=4√2，DB1=9, 何体的结构特征及组合形式，将它们拆分成几个 则该正四棱柱的体积为 简单的组合体，且注意重合部分或挖去部分的处 理方法. 15[每日格言]理想是人生道路上的航标灯，没有理想 【综合演练】 2 2 2(-1+i) 1.A由题意知之=220-一=-1-(-1-iD(-1+iD =-1+i, 所以复数之的虚部为1. 故选A. 2.B 因为1+21)·文=3十4，所以之=3士 3+8-21-号号 1+2i (1+2i)(1-2i) 5 5 别=号+：所以=√得)+()=后 故选B. 3.Bz=(3+i)(2-ai)=(6+a)+(2-3a)i, ER且：为纯度数侣+3a0a=-6。 .之=20i,.|z=|z|=20. 故选B. 4.B因为复数之在复平面内对应的点的坐标为 （-2,3),所以之=-2十3i, 所以2= 2-i (2-i)(-2-3i) -2+3i (-2+3i)(-2-3i) -4-6i+2i-3 74 13 =-13131 所以复数2的共轭复数为一日十3， 7 4 故选B. 5A0g名年》得二器=2-i所以=2++ (2一i)十(2十i)=4,故A正确； -i=(2+i)一i=2,所以|-i=2≠2√2，故B错误； 复数之=2一i在复平面内对应的点为(2，一1)，位于第 四象限，故C正确； 将之=2-i代入方程x2-4.x十6=0左边， 即(2-i)2-4(2-i)+6=4-4i+i2-8+4i+6=1≠ 0,也即之不是该方程的根，故D错误. 故选AC. 6.CD显然若1=1+i,22=-1+i,则|1|=|2|=2， 但=2i,之=一2i,故A错误； 举例之=3十i,则满足之一(2十i)>0,但是复数不能直接 比较大小，即之>2十i不成立，故B错误； 由之2=0，得1之2|=0，即之1||2=0，因此 1之1=0或2|=0，之1=0或2=0，C正确； 设之=x+yi,x,y∈R, 则x2+y2=1,.y∈[-1,1]，之-2i= √x2+(y-2)z=-y2+(y-2)7=√5-4y∈ [1,3],则之一2i最大值为3，故D正确. 故选CD. 7.解析由一2十3i是关于x的方程2x2十p.x十q=0的 一个根， 则2(-2+3i)2+p(-2+3i)+g=0, 整理得(q-2p-10)+(3p-24)i=0, 则日。240-0邮释 1q=261 所以p十q=34. 答案34 8.解析由题意可得=e出=cos号+isn=cos (4x-号）+isin(4x-号)=cos号-isin吾= 1 9. 所以：的虚第为一 答案一3 2 你的道路将是一片黑暗。 高一数学（配RJA版） 【真题体验】 1.C因为(1十5i)i=i+52=-5+i,所以其虚部为1， 故选C 1 i 2.A因为之=1十i,所以 -11+i-11-2 一i 故选A 3.B由i·之十2=2i可得，z= 一2+21=2+2i,所以= √22+22=2√2， 故选B. 4,解析先由题得3+i-一i(3十iD=1一31， 所以 3+i =√12+（-3)z=√/10. i 故答案为√0 答案√10 【易误警示】 [示例1]解析(1)当m满足m2+3m+2=0,且m2 2m-2>0, 即m=一2或m=一1时，之是实数， (2)当m满足m2+3m十2≠0且m2-2m-2=1, 即n=3时，是纯虚数 [示例2]解析设x。是方程的实数根，代入方程并整 理得(x十k.x0十2)+(2.x0十k)i=0, 6+kx+2=0, 12.x0十k=0, 解得x0=V2, 或 x0=-√2， k=-22k=2√2， .实数k的值为士2√2 答案士2√2 作业（七）基本立体图形与几何体的表面积、体积 【基础演练】 1.A因为△OA'B'是等腰直角三角形，O'B'=2, 所以OA'=A'B'=√2，且OB=OB'=2,OA⊥OB 0A=20A'=2E,所以原平面图形的面积是2×2X2 √2=2√2 故选A 2.D设圆台的高为A,由题意可知，合×(2十4)h=9,得 h=3, 圈台的体积V=3π(12+22+1X2)×3=7x. 故选D 3.B设球O的半径为R,则该正方体的体对角线长即为 2R,即2R=3√3，故球O的表面积为S=4πR2=π· (2R)2=27π.故选B. 4.D易知BC∥平面A1D1DA,则P到平面A1D1DA的 距离始终为1，由题意可知VD -ADP=VPADD,=3 1X5am,=号×2×1X1= 1 ,又易知正方体的体积 为1，所以余下部分的体积为号 故选D 【综合演练】 1.B球的半径为R,则球的表面积为4πR, 圆柱的底面半径为R,高为2R, 则圆柱的表面积为2πR2十2πR×2R=6πR2 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为4πR:6πR 2:3. 故选B. 49 暑假作业任何的限制，都是从自己的内心开始的。 2.A如图所示，连接AC,EF E 相交于点O,而四边形ABCD 为正方形，EO⊥平面ABCD. 由正八面体的性质可知，AB =BC=EA=EC=1,则AC 0k---- =2,EO- 2 所以体积V=2VE-ABCD=2 x号×号×1X1=号表面 F 积S=8S△E4B=8X2X1X1Xsin60°=2VB 2 √6 所以5258 故选A. 3.C因为正四棱台的上口边长为7cm,底部边长为 5cm,高为9cm, 所以水杯的体积为号×(5+72+后X7)×9=子× 109×9=327(cm3), 因为2000≈6.12，所以小明在疗程内每天需要饮水的 327 杯数至少是7. 故选C 4.C根据题意圆锥PO的底面直径为12和高是 W102-62=8, 因为圈锥底面丰径与圆锥的高比值为子，设圆柱的高 O0=8一4t,圆柱的底面半径为3t, 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去的圆柱的 侧面积， 圆锥表面积为π×62十π×6×10=96π，圆柱侧面积为 2π×3t×(8-41), 所以剩下几何体的表面积为96π十6t(8一4t)π=120π， 所以t=1. 所以圆柱的高O0'=8一4t=4, 故选C 5.ABD设圆锥的母线长为I,则母线长1为侧面展开图 的半圆的半径，又圆锥的侧面展开图是面积为9π的半 国，所以分x·P=9r,则1=3E:设国维的底面半径 为，则，=8要=8接周的高A=一7 2π 波国维的泰面牧5-x(但)+9领-号，因 3√6 2 整的体软为片x().3_3, 2 4 故选ABD. 6.解析直角边长分别为6m和8m的直角三角形的面 积为S= 2×6x8=24m2). 则内切圆半径为 2S 2×24=2(m)· 6+8+W√62+82 24 因直三校柱高度为6m,号>2，则该球的最大半径为2m 答案2m 7.解析将ABCD绕AB翻折到与D1 C ABC1D1共面，平面图形如图所示 连接CD1(平面图形中)，则CD1的长 度即为D1E十CE的最小值 因为AB=AD=1,AA1=2√2，所以 E AD1=√/12+(22)2=3， 所以DD1=4,所以CD1=√12十4 =√17， D 所以DE十CE的最小值为√17. 答案√17 5 忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。 [每日格言] 8.解析设P点在平面ABC的投影为D, 因为PA=PB=PC=1,则D为△ABC的外心， 因为AB⊥BC,所以AC的中点即为△ABC的外心， 取AC的中点D,连接BD,PD,BD=2AC=号， 设三棱锥PABC外接球的球心为O,则P,O,D三 点共线， 连接OB,则OB=OP=R, 其中AD=CD=号，由匀胶定理得PD=√AP-AD 2 则OD=-DP-OP-9-R, 由为殿定理得0D+BD2=B0,中（停R)°+子 R,解得R=5, 31 5 B 答案 3 15 【真题体验】 1.B设圆柱和圆锥的底面半径均为r,因为它们的高均 为3，且侧面积相等，所以2πr×√3=πr√（√3）2十r2,得 P=9,所以圆维的依积V=了2X5=3Bx,故选B. 2.解析因为BD=4√2且四边形ABCD为正方形，故 BA=4, 而DB1=9,故BB+BD2=81,故BB1=7, 故所求体积为7×16=112， 故答案为112 答案112 【易误警示】 [示例1]B由题图可知，AB⊥AC, AB=A'B'=1,AC=2A'C'=2, 所以Sa=号×1X2=1.故选B [示例2]解析如图，旋转之后形成的图形为圆台去掉 一个半球体. 则旋转一周所形成的几何体的体积为号×4× (4π+25π十√4πX25元)- 3 答案140x 3 作业（八）空间点、直线、平面之间的位置关系 【基础演练】 1.D直线1不平行于平面α，则可能为直线lC平面&，或 直线1与平面α相交， 所以A,B,C错误，D正确； 故选D.