作业(二) 平面向量的基本定理及坐标表示-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言】一个人几乎可以在任何他怀有无限热忱的 作亚（二） 平面向量的基本定理及 1知识整合 1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任一向量a,有 且只有一对实数入1，入2，使a=入1e1十入2e2. 若e1,e2不共线，我们把{e1,e2}叫做表示 这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫做把向量作正交分解 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2, y1-y2),a=(λx1,y1),a=√+y. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标 即为向量的坐标， ②设A(x1,y1),B(x2y2),则AB=(x2一x1, 2-y),1ABl=√2-x)+02-y). 4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，则 a∥b台x1y2-x2y1=0. 2基础演练 1.如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上 的单位向量，且A(2,3),B(3,m),若AB=i 一3j,则m= ( A.-1 B.1 C.2 D.0 事情上成功。 高一数学（配RJA版） 今 月 日 星期 坐标表示 历 天气 2.已知点A(1,3),B(4,一1)，则与BA同方 向的单位向量为 A.(层-) B.(3,-4) c(-是) D.(-3,4) 3.已知平面向量a=(1,k+1),b= (2k-1,2k2),若a∥b,则k=() A.-1 B.1 C.2 D.3 4.在△ABC中，D为BC边上的中点，E是 AD上靠近A的四等分点，则BE=() A.-日A店+日ACB.-日A店-日AC C.-名A店-8AcD.-gA店+AC 3综合演练 1.在△ABC中，D是BC边上一点，且2BD =3CD,则AD= A.吉AB+号AC B.1AB+3AC C号AB+AD.A+aG 2.已知向量AB=(5,6),BC=(3,m),AD= (一1,2m),若A,C,D三点共线，则m= ( R号 c-8 3.已知平行四边形ABCD满足A(1,一2)， B(3,0),C(4,3),则点D的坐标为() A.(2,1) B.(1,4) C.(3,2) D.(5,1) 暑假作业生活的智慧大概就在于遇事问个为 4.(多选)在△ABC中，D在AB边上，AD= 2DB,E是CD的中点，则 () A.BC=AB-AC B.CD=2CA+1CB C.A店=}A店+号AC D.AC=2 CB-3 CD 5.（多选)已知向量a=(2,1),b=(一3,4)， 则 A.a2=b B.4a-3b=(17,8) C.a,b可以作为平面向量的一组基底 D.(a-b)∥b 6.（多选)已知△ABC中，点D(1,2),E(2,0), F(3,2)分别为AB,BC,CA的中点，则 A.EF=(1,2) B.CF=(1,-2) C.点A的坐标为(2,4) D.△ABF的面积为4 7.如图，平行四边形AB CD中，E是AD的中 点，F在线段BE上，且BF=3FE,记BA =a,BC=b,则CF= 8.如图，在矩形ABCD中，F为DC的中点， E为AF的中点.若AE=xAB十yAD,则 x十y= 4真题体验 1.(2024·北京卷)设a,b是向量，则“(a+b)· (a-b)=0”是“a=-b或a=b”的（) 什么。 [每日格言] A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2024·上海卷)已知a=(2,5),b= (6,k),a∥b,则k的值为 5易误警示 易错一转换向量关系致误 [示例1]平面上有A(2,-1),B(1,4), D(4,一3)三点，点C在直线AB上，且 AC=BC,连接DC并延长至点E,使 1C=ED1,则点E的坐标为 名师叮嘱 在将模的关系转换为向量之间的关系时，需要从 方向角度加以分析，若不能确定，则需分类讨论. 易错二忽视方程的思想在向量运算中的 应用 [示例2]如图，在平行四边形ABCD中， AB=2AE,AF=FD,点G为CE与BF 的交点，则AG= A.名A+号ad B店+C CA店+是Ad D.A店+号AC 名师叮嘱 对于向量的分解问题，求解的一个重要方法是待 定系数法，然后利用向量相等求解参数，若不能正 确设出向量的分解式，则难以求解.如本例由P, G,B三点共线知，存在m∈R,满足AG=mAP十 1-m)A店=子mAC+1-mA店。[每日格言]伟大的事业不是靠力气、速度和身体的敏捷完成的，而是靠性格、意志和知识的力量完成的。高一数学（配RJA版） 参考答案 第一部分温故知新 作业（一）平面向量的概念及线性运算 则X=-号以=2，A十以= 3 1 【基础演练】 故选B. 1.ACD CD和DC长度相等，方向相反，故A正确；单位向 7.解析因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为 量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B AC和BD的中点， 错误；向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小， 所以2OA-OB+2O元-0D=2(OA+O元)- 故C正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任 一非零向量都可以平行移动，故D正确. (OB+OD)=2X2OM-2 OM=20M. 2.C由题设AD-AB+BD=A店+BC-A店+号(AC 答案2OM :8.解析，a十边与（入-1）a十2b方向相同， -A-号+号0-号a+私 .存在正实数k,使得(A-1)a十2b=k(a十Ab)=a +k入b, 3.ABD对于A,(-7)×6a=-42a,A正确； 对于B,a-2b十(2a十2b)=3a,B正确： 又向量ab不共线侣，解绍货二（含去） 对于C,a+b-(a+b)=0,C错误； 对于D,4(2a十b)=8a+4b,D正确.故选ABD. 支资-2：2的值为2。 答案2 4.A OA+OC+BO+CO=CO+OC+BO+OA=0+ 【真题体验】 BA=BA.故选A. 【综合演练】 1.B由于D是边AB上的中点，则B元=BA. 1.B向量是既有大小又有方向的量，坐标轴只有方向，没 CD=C元+BD=-BC+号BA. 有大小，故A错误： 相反向量是大小相等且方向相反的向量，故B正确； 2.B因为CB=CA+AB,AD=CD-CA,又3AD=AB AB和CD可能平行，也可能共线，故C错误； 所以CB=-2CA+3CD,即CB=-2m十3n.故选B. 当b是零向量时，a和c可能不平行，故D错误.故选B. 【易误警示】 2.ABC由于AB=DC,因此与AB相等的向量只有DC, [示例1]D选项A中，单位向量方向可以不同，故a=b不 而与AB的模相等的向量有DA,DC,AC,CB,AD,CD, 一定成立：选项B中，A,B,C,D四点可能共线，不能组 成平行四边形；选项C中，当b=0时，a,c为任意向量； CA,BC,BA,故A,B正确； 选项D正确，相反向量是一对平行向量，故选D. 在R1AA0D中：∠AD0-30.Dd1-91D1, [示例2]CD因为点P为△ABC所在平面内一点，E 为AC的中点，F为BC的中点，则PA+PC=2PE, 故|DB|=√5|DA|,故C正确； PB+PC=2PF,而PA+2PB+3PC=0,即(PA+ 由于CB=DA,因此CB与DA是相等的，故D错误 PC)+2(PB+PC)=0,于是得2PE+4PF=0, 故选ABC. 即EP=2PF,所以点P在线段EF上，且PE:PF= 3.BAB=2a十3b,BC=-a+2b,则不存在唯一实数A, 2:1,即点P,A,C不共线，则向量PA与PC不可能平 使得AB=ABC,故A错误. 行，A不正确，B不正确，C正确，D正确.故选CD. BC=-a+2b.CD=5a+4b, 作业（二）平面向量的基本定理及坐标表示 则BD=BC+CD=4a十6b. 【基础演练】 1.D用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量， 则BD=2(2a+3b)=2AB,则BD∥AB,两个向量有公 共点B.故A,B,D三点共线，故B正确. 则i=(1,0),j=(0,1),且A(2,3),B(3,m),则AB= (1,n-3),i-3i=(1,-3),所以m-3=-3,则n=0. 同理BC=-a十2b,CD=5a十4b,则不存在唯一实数A, 故选D. 使得CD=入BC,故C错误. 2.C因为A(1,3),B(4,-1),所以BA=(1,3) AB=2a+3b,BC=-a+2b,AC-AB+BC=a+5b, (4,-1)=(-3,4),则|BA|=√(-3)2+42=5， 则不存在唯一实数入，使得CD=入AC,故D错误. 故选B。 所以与耐同方向的单位向量为丽=吉睛 BAI 4.D由题意，A正=花+B酝=A店+号-A成+号 (BA+A市)-Ai+号(-AB+2A)=AB+}Ad 号(-34)(-号，号)故选C 3.B根据题意，平面向量a=(1,k+1),b= 故选D. (2k-1,2k2),且a∥b,所以1×2k2= 5.A AB+BC=AC,:.ABI=BCI=AB+BCI. (k十1)(2k-1),解得k=1.故选B. 则|AB|=|BC|=|AC|,.△ABC是等边三角形.故 4.A 因为A正=十AD,由已知可得，AD=多(A店十 选A. 6.B因为BE=2BC,所以C为BE的中，点，又D是AB AC),所以A正=日(AB+AC),所以B正=A正-A店 的中点， 所以Di=C花-Ci=-Ci-(Ci+C)=-多 日(A店+)-店=名A店+号花 故选A. 43 暑假作业当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。 [每日格言] 【综合演练】 所以△ABF的面积为S△ABF=S△ABC-S△CF=8-4 1.C如图，由2BD=3CD可得BD=3BC, =4,故D正确. 故选ACD. 7.解析取a=BA,b=BC作为基底，因为E是AD中点， 则B眩=BA+A忘=B+号A市-BA+2B心=a十 2b, 则Ai-A店+成-A店+是B元=A店+是（花-A正） 因为B-3F应，所以成=是正=子(a+2b)=a =号花+心 故选C. 答案 子a-8b 2.CAC=AB+BC=(8,6+m),因为A,C,D三点共 8.解析在矩形ABCD中，F为DC的中点，E为AF的 线，所以AC,AD共线，故8×2m=-6-m,故m=一7 6 中点， 故选C, 由向量的线性运算法则，可得A正=号A市=之(AD十 3.A设点D的坐标为(x,y), 因为AB=(2,2),DC=(4-x,3-y). D丽)=ò+2A)=A+2Aò. 因为ABCD是平行四边形，所以AB=D心， 即台了：解释行-子所以点D的金标为2,1 为正=+y.所以=青y合片以十y 3 故选A. 41 4.CD如图， 答案 3 对于A,BC=AC-AB,故A 【真题体验】 错误； 1.B由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0,即a2-|b12 对于B,CD=CA+AD=CA+ B =0,所以a=b|,当a=(1,1),b=(-1,1)时，|a= 号i=i+号（成-Ci) |b,但a≠b且a≠一b,故充分性不成立；当a=一b或 a=b时，(a+b)·(a一b)=0,故必要性成立.所以 号CA+号C成故B错误： “(a十b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充 分条件. 对于C.A症=令(AC+A而)=之(AC+号AB)= 2.解析因为a∥b,所以2k=5×6,得k=15. 答案15 号店+元，故C正确： 【易误警示】 [示例1]解析设O为坐标原点， 对于D,AC=AB+BC=3DB+BC=3(CB-CD)- :A花-号d0d-0i=号0-0成. CB=2CB-3CD,故D正确. ∴.OC=2OA-OB=(3,-6). 故选CD. 5.AC向量a=(2,1),b=(-3,4), .点C的坐标为(3，-6). |a=√22+1区=5，|b|=√(-3)2+4=5，|a2= 又：CE=ED1,且E在DC的延长线上， 4 b,A正确； 4a-3b=(8,4)-(-9,12)=(17,-8),B错误： c龙=}ò， 因为2×4-1X(-3)≠0，所以a,b不共线，即a,b可以 设E(xy),则(x-3,y十6)=- 4(4-x,-3-y), 作为平面向量的一组基底，C正确： a-b=(5,-3),由5×4-(-3)×(-3)≠0，得a-b与 x-3=-1(4-x 8 b不共线，D错误 4 解得=3 故选AC. y+6=- y=-7, 6.ACD因为E(2,0),F(3,2), 1(-3-y) 4 所以EF=(3,2)一(2,0)= 点E的坐标为（号，-7） (1,2),故A正确： 因为D,E分别为AB,BC的 D 答案（停-） 中点， [示例2]A由AB=2AE,AF=FD,知E,F分别为 所以CF=E市=(1,2) AB,AD的中点. (2,0)=(一1,2)，故B错误： B 如图，设AC与BF的交点为P,易得△APF△CPB, A(r.y),B(m,n),C(p,q), 1=十m 则有 2 2=m九，3=e 2 2 D 2=y十n 2 解得A(2,4),B(0,0),C(4,0),故C正确： 所以A=A5=AE= 由C可知Sac=合×4X4=8,S△r=号X4X2 CFCB-AD=2,所以AP-}AC =4, 因为点E是AB的中点，所以A正=A店. 44 [每日格言]成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会在你需要时将你唤醒。 高一数学（配RJA版） 由P,G,B三点共线知，存在m∈R,满足AG=mA户+；5.D如图，以直线DA,DC分别 Y 1-mA=子mAC+1-m)A】 为x,y轴建立平面直角坐 C 标系， 由C,G,E三点共线知，存在n∈R,满足AG=nAE十 设DC=a,则A(2,0),B(1,a), 1-nAC-2A店+1-)A花 C(0,a),D(0,0), 设P(0,b)(0≤b≤a), D 所以子nAC+(1-m)A店=合nAi+(1-n)Ad 则PA=(2,-b),PB=(1,a-b), .PA+3PB=(5,3a-4h), 又因为AC,AB为不共线的非零向量， .|PA+3PB|=√52+(3a-4b)2≥5， 1 m= 3 即当3a=4b时，取得最小值5. 所以 故选D. 1 3m=1-n, 4 n5 6.解析因为a与b夹角为钝角，可以得出a·b=1×x十 2X(-4)=x一8<0，解得x<8, 所以G-成+号花 且a,b不平行，则1×(-4)≠2x,x≠-2， 即x<8且x≠-2，即x∈(-∞，-2)U(-2,8). 作业（三）平面向量的数量积 故答案为(-o∞，-2)U(-2,8). 【基础演练】 答案(-∞，-2)U(-2,8) 1.A由题意知AC=AB=1,∠BAC=120°， 7.解析因为b=(1,2√2)，所以|b|=√十8=3， 所以AC·BA=|AC|BA|cos(180°-120°)=1X1 由(a+2b)⊥(3a-b),可得(a+2b)·(3a-b)=3a2 -2b2+5a·b=48-18+5a·b=0,所以a·b=-6, a·b-6. 1 故选A. 2.C因为a=(2,1),b=(-1,1), 所以cosa,b》=1a:1b4X3一2 所以2a-b=(5,1), 由a6∈0知a6= 所以2a-b=√52+12=√26，故选C 3.C由题意，a十b=(4十n,3), 答案2π 3 因为(a+b)⊥b,所以(a十b)·b=(4十n)n+3=0, 【真题体验】 解得m=-3或n=一1.故选C. 1.D解法一（向量法十坐标法）因为b⊥(b一4a),所以 4.解析ab-=a·bcos30°=3，故2.b×5 b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2, x),所以b2=4十x2,a·b=x,得4十x2=4x,所以(x 3,解得|b=√5， 2)2=0,解得x=2,故选D. 则|a-b=√(a-b)2=√a2-2a·b+b=√4-2×3+3 解法二（坐标法）因为a=(0,1),b=(2,x),所以b =1. 4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为 答案1 b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4) 【综合演练】 =0,所以(x一2)2=0，解得x=2,故选D. 1.A因为a=(2,A),a+b=(4,-3),所以b =(2,-3-入)， 2.B由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以 因为a⊥b,所以a·b=0, b2=2a·b.将|a十2b|=2的两边同时平方，得a2+ 即4-3入-λ2=0，解得入=1或入=一4. 4a·b+4b2=4,即1+2b2+4b2=1+6b2=4,解得 故选A. 2.AC因为a+b|=√7，a·b=1,所以a2+2a·b+b=7, b2=子，所以6=号，故逸B 即a2+2×1+1=7,解得a=2,A正确； 3.解析a-b=(1,1-2.x),因为a⊥(a-b),则a·(a 因为a·(a-b)=a2-a·b=4-1≠0，所以B错误； b)=0,则x十1-2x=0,解得x=1. 1 则a=(1,1),则a=2. 因为cos(a,b)三a6=2·由两向量夹角的范围是 故答案为√2 [0,],得a与b的夹角为于，C正确，D错误。 答案√2 【易误警示】 故选AC. [示例1]B:a,b夹角为钝角， 3.BC因为a∥c,则入=2×4=8，故A不正确； a·b 由题可得，cos〈a,b>=Tab5×√0 a·b 一3-2 cos(a.b)=1af:0<0且a,b不共线， 21 即a·b=4x十3<0且x(2.x十3)≠2， 因为向量夹角范围为[0，π]，所以向量a与b的夹角为 解得<-且≠一2， 4T,故B正确； 4 由于b+c=(1,-1+入)，a⊥(b十c),则1-2十2入=0， ∴x的取值范周为(-©，-2)U(-2、-)片 解得X=合，故C正确； [示例2]B因为向量A店，BC的夹角为否，所以A店· 由于a十2b=(-5,0),所以|a+2b|=5,故D错误. 故选BC. BC-2X2Xc0s牙=-2，故选B, 4.D因为向量a在向量b上的授影向量为2b、 作业（四）正弦定理和余弦定理 【基础演练】 所以6治b=号，所以6治=名又a=4 1.C由正弦定理a。 里sinA=snB可得b=a、sin里- b sin A |b=2, 所以a·b=2,所以|a-b|=√(a-b)2= 4Xsin45° 2 √a2-2a·b+b2=√16-4+4=4. sin30° =4√2.故选C. 故选D. 2 45