作业(五) 解三角形的综合问题及应用举例-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言]为别人鼓掌的人也是在给自己的生命加油。 高一数学（配RJA版） 作业（五） 今 月 日 星期 解三角形的综合问题及应用举例 台 历 天气 1知识整合 2.在△ABC中，若A= 答AB=1,AC= 测量中的几个有关术语 则BC边上的高为 ) 术语 术语意义 图形表示 A.1 B.√2 .2 D.2 名称 在目标视线与水平视 3.如图所示，为测量一棵树HP的高度，在 线（两者在同一铅垂 目标 地面上选取A,B两点(A,B,H三点共 平面内)所成的角中， 视线 仰角与 铅 仰角水平 线)，从A,B两点分别测得树尖P的仰角 目标视线在水平视线 俯角 线 又俯角视线 为30°，45°，且A,B两点之间的距离为 上方的叫做仰角，目 目标 30m,则树的高度为 标视线在水平视线下 视线 方的叫做俯角 从某点的指北方向线 起按顺时针方向到目 北1 标方向线之间的夹角 135° 方位角 东 叫做方位角.方位角 A.15m B.303m 0的范围是0°≤0 C.(15+15√3)m D.(303-15)m <360° 4.一游客在C处望见在北偏东40°的方向上 例：(1)北偏东a 有一塔A,在南偏东80°的方向上有一塔 北 B,测得A,C间的距离为1.25km,B,C两 正北或正南方向线与 东 目标方向线所成的锐 点间的距离为2km,则塔A与塔B间的 方向角 角，通常表达为北 距离为 km. (2)南偏西aα (南)偏东（西）α 北↑ 3综合演练 东 1.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一 座灯塔P的南偏西75°，距灯塔64海里的 2基础演练 M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向 1.甲船在湖中B岛的正南A处，AB=3km, V处，则该船航行的速度为 甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同 A.8√6海里/小时 B.16√2海里/小时 时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向 C.166海里/小时 D.32√2海里/小时 北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两 2.某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高 船的距离是 度AB,在塔附近选取了相距60米的C,D A.√7km B.√/13km (C,D与该塔的塔底B在同一水平面上) C.√/19km D.(10-3√3)km 两个测量点，从C点观测该塔塔顶A的仰 9 暑假作业你希望别人怎样对待你，你就应该怎样对待别人。 [每日格言] 角为5，从D点观测该塔塔顶A的仰角为 2.(2025·天津卷)在△ABC中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin B=√3 bcos A, 至，且∠CDB=号，则这座塔的高度AB为 c-2b=1,a=√7. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值. D A.15米 B.15√2米 C.30米 D.30√2米 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, ,△AC的面积为35，且6=1，C=系， 5易误警示 则AB边上的中线长为 易错一把空间问题误解为平面问题 4.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B, [示例1]如图，在地面上共 线的三点A,B,C处测得一 C的对边，且bcos A+√3 bsin A=a+c. 个建筑物的仰角分别为 (1)求角B的大小： 30°，45°，60°，且AB=BC= 30°>A 45 (2)若b=2,△ABC的面积为3，D为AC 60m,则建筑物的高度为 60 边上一点，满足CD=2AD,求BD的长. ( A.15√6m B.20√6m C.25√6m D.30√6m 名师叮嘱 根据实际情境抽象出空间图形是解决这类问题的 关键，注意区分是“立体图形”还是“平面图形”，区 分构成三角形的边与角，标清其中的已知边、角， 明确所求变量。 易错二忽视三角形中的大边对大角致错 [示例2]在△ABC中，角A,B,C的对边 分别为a,bc,其中a=E,h=尽，B=吾 4真题体验 则满足条件的△ABC 1.(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A, A.有两个解 B.有一个解 B,C的对边分别是a,b,c,若acos B C.无解 D.不能确定 beos A=c,且C-F则∠B- 名师叮嘱 ( 本题由正弦定理求得sinA= A.1o B晋 c语 π 后，容易怎略黄要利 D. 5 用“大边对大角”对角A是否可以为钝角进行取舍. 10[每日格言]凡事要三思，但比三思更重要的是三思而 所以1-2snA2=0,则snA=合 因为0<A<所以A=吾或A=晋 6 当A=吾时，inA十5c0sA=2成立，特合条件： 当A=要时，inA十5c0sA=2不成立，不特合条件. 故A=吾 (2)由√2 bsin C=csin2B,得√2 bsin C=2 csin Bcos B, 由正弦定理，得，②c=2 cbeos B,所以cosB=2, 2 因为0<B<π，所以B=π」 Γ4 C=x-(A+B)-登 所以mC=n径=n(+)-mcos十 4 w吾m-×9+士×9-6 422 2 4 2 in A-sin B-nc,得b=B 由正弦定理a b sin A 2sin 4 π 7π -=2√2，c=asin C sn sin A 2sim2=6+瓦. 所以△ABC的周长为a十b+c=2十√6+3√2. 【易误警示】 [示例1]C,B=2A,.sinB=sin2A,由正弦定理得 b sin Bsin 2A-2cos A. a sin A sin A 0<2A<受0<-3A<受晋<A< 2 osA<<2sA<,即E<合<反故 2 a 选C. [示例2]C根据题意，将三边都截掉xm后，三角形的 三边长分别为(4-x)m,(5-x)m,(6-x)m,且0< x4.设长为(6一x)m的边所对的角为&，则&为钝角. 4-x>0,5-x>0,6-x>0, cosa=4=2t52-(6-2<0. 2(4-x)(5-x) .1<x<4. '4-x十5-x>6-x, x<3,1<x<3, 故x的取值范围是(1,3).故选C. 作业（五）解三角形的综合问题及应用举例 【基础演练】 1.B如图，设行驶15分钟时，甲船北↑ 到达M处，乙船到达N处， 由意客知AM=8X品=2，BN= 60° N <5=3,MB=AB-AM=3-2 B 12×60 =1, 所以由余弦定理，得MN2=MB2 A +BN2-2MB×BNcos120°=1+9-2×1×3× (-2)=13. 所以MN=√J13km. 故选B. 2.C由余弦定理，得BC12+(3)2-2X1×5X0s 6 =1,设BC边上的商为h,则S△AC=之AB·AC· sn吾-号BC·h,解得h故选C 2 47 行 高一数学（配RJA版） 3.C设树的高度为h,由已知，得PH=HB=h, 本R△rPHA中，∠HaN-器产D号 化简得3h=5(h十30)，解得h=305=55 3-√3 (3+√3)=15+153. 所以树的高度为(15十15√5)m 故选C. 4.解析依题意可得∠ACB= 60°，AC=1.25km,BC= 2 km, 由余弦定理AB2=AC2+BC -2AC·BCcos∠ACB, 西一 东 即AB2=1.252+22-2×1.25 X2X合所以AB=子，中站 南 A与塔B间的距高为子km 答案 7 【综合演练】 1,A如图所示， 北 在△PNM中，由题意可 知∠PNM=45°，∠MPN →东 =75°+45°=120°，PM= 64海里， 75° PM 由正孩定理sin∠PNM sin∠MPN,可得MN=PM·sin∠MPV MN 64×号 =32 sin∠PNM 2 6(海里). 且该船航行时间为4小时，所以该船航行的速度为 325=8√6（海里/小时）. 4 故选A. 2.C设这座塔的高度AB为h米， 因为从C点观测该塔塔顶A的仰角为否，从D点观测 该塔塔项A的仰角为晋， 在△ABC中，∠ACB=若，BC=a米： 在△ABD中，∠ADB=年，BD=A米， 在△BCD中，∠CDB=号，CD=60米， 由余弦定理得：os∠CDB=CD+DB2-BC 2D.DB,聊2】 =602+h2-3h2 120h 整理得h2+30h-1800=0, 即(h+60)(h-30)=0, 解得h=30或h=一60（舍） 所以，这座塔的高度AB为30米. 故选C. π=3 3.解析由SaAc=2=2aX1×sn吾-a 3,5,解得a=3, 4 设AB的中点为D.则Ci=之(C+C). 则c市=Ci+C)2 暑假作业如果你希望成功，以恒心为良友，以经验 }+C亦+2C.i) =(1+9+2×1×3x)=是 则1cD1=3 2 即AB边上的中线长为 2 答案√3 2 4.解析(1)由正弦定理有sin Bcos A+√3 sin Bsin A= sin A+sin C, 因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Bcos A十W3 sin Bsin A=sinA+sin Acos B+ cos Asin B, 化简得V3 sin Bsin A=sinA十sin Acos B, 由A∈(0，π)，sinA≠0有√3sinB=1+cosB, 可得sin(B-若）-合： 因为B∈0x).B晋∈（吾晋） 所以B-晋-答，则B=子 (2)由B=子S=名xsnB =√5，得ac=4. 又b2=a2+c2-2 accos B可 得a2+c2=8, 眼之8解得。- B =2,所以△ABC为正三 角形， 所以AD=号A=吾 在△ABD中，由余弦定理得BD2=2+(号)-2X2 周BD-2做BD的长为 3 【真题体验】 1.C由题意结合正弦定理可得 sin Acos B-sin Bcos A=sin C, Ep sin Acos B-sin Bcos A=sin (A+B) =sin Acos B++sin Bcos A, 整理可得sin Bcos A=0,由于B∈(0，π)， 故sinB>0, 据此可得c0sA=0,A=受， 则B=π一A-C=π一乞一方=10 -π_文=3π 故选C. 2.解析(1)已知asin B=√3 bcos A, 由正孩定理日AB 得asin B=bsinA=√3 bcos A,显然cosA≠0， 得tanA=√5，由0<A<π， 得A=子 (2②)由(1)知c0sA=号，且c=26+10=厅， 由余弦定理a2=b2十c2-2 bccos A, 则7=62+(26+1)2-2×26(26+1)=362+36+1， 解得b=1(b=一2舍去)， 故c=3. 为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 [每日格言] b (3)由正弦定理 sin A sin B 且b=1,a=√7，sinA= 3 2 得sinB=bsin A=21 ,且a>b,则B为锐角， 14 故cosB= 5W7 ,故sin2B=2 sin Bcos B= 5w3 14 14 2 且cos2B=1-2sin2B=1-2× 21 11 14 =14 故sin(A+2B)=sin Acos2B+cos Asin2B=5×+ 2 14 155_43 2×14 7 【易误警示】 [示例1]D设建筑物的高度为hm,由题图知， PA-2h m.PB-/Zh m.PC-25 m 在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理的推论，得 c0s∠PBA=602+2h2-4h ,① 2X60X√2h 602+2h2-4h2 3 cos∠PBC -,② 2×60×√2h 因为∠PBA+∠PBC=180° 所以cos∠PBA十cos∠PBC=0,③ 由①②③，解得h=30√6或h=一30√6（舍去）， 即建筑物的高度为30√6m. [示例2]B因为a=E,b=5,B=答，由正弦定理 AnB可得，B。解得nA三因为 61 a<b,所以A<B,故A∈(0，)，又y=sinx在 (0,受)上单调递增，故A只有一解，故选B. 作业（六）复数 【基础演练】 1.A因为之=(1+ai)(2-i)=2+a十(2a-1)i,且之的 实部与虚部相等， 故2十a=2a一1，解得a=3, 故选A. 2.A因为，+31-1+3)C2-D=2-i计6i-3=1+十i. 2+i (2+i)(2-i) 5 所以，十对应的点坐标为1,1)，该点位于第一象限， 2+i 故选A. 3.A由题意可知，复数之满足之十i=2i(e-i), 则可转化为之= ++ 1-2i(1-2(1+21) 所以（）‘+（号》 =1.故选A. 4.解析因为(x十i)2=2i, 所以x2+2.xi+2=2i,即x2-1+2xi=2i, 1x2-1=0·解得x=1. 所以2x=2, 答案1 5.解折2+x+1=0→(+)广=->x=-士 4 2i.=- 生1+-士9.1+1 ± 2 √（)+（±- 故答案为3. 答案√3 48