作业(四) 正弦定理和余弦定理-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言]本来无望的事，大胆尝试，往往能成功。 作业（四） 正弦定理和余弦 1知识整合 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,R为△ABC外接圆半径. 定理 正弦定理 余弦定理 a b a2=62+c2-2bccos A; sin A sin B 内容 62=c2+a2-2cacos B; sinC≈2R c2=a2+62-2abcos C (1)a=2Rsin A, b=2Rsin B, cosA=+c-a2 2bc c=2Rsin C; 变形 c0sB=2+a2-62 (2)asin B=bsin A, 2ac bsin C=csin B, cos C=a2+62-c2 2ab asin C=csin A 2.三角形中常用的面积公式 (1)S= 2ah.(h.表示边a上的高). (2)-ubsin C-csin B- 2bcsin A. (3)S= 2r(a十b+c)(r为三角形的内切圆 半径) 2基础演练 1.在△ABC中，已知A=30°，B=45°，a=4, 则b= ( ) A.22 B.3√2 C.4√2 D.5√2 2.在△ABC中，已知a=√5，b=√2，A=60°， 则角B的值为 A.45°或135° B.45 C.135° D.30°或150° 高一数学（配RJA版） 今 月 日 星期 定理 台 历 天气 3.在△ABC中，满足a=b2+c2+√3bc,则A ( ) A.150 B.30°或150° C.60° D.60°或120° 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a, b,c,若acos A=bcos B,则△ABC的形 状是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 3综合演练 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a, b,c,则下列各式中正确的是 ) b A.sin B sin A b B.sin AcosB C.asin B=bsin A D.sin A sin (BC) b+c 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,a=5,b=1,A=2B,则c=() A.2 B.√3 C.√2 D.1 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 ab,c,且b=2,B=于，△ABC的面积 S△Auc=3,则a十c= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,已知b一c= a,2sin B=3sin C, 则cosA= ( ) A.-B. c- 1 D.3 暑假作业人生的价值，并不是用时间，而是用深度去 5.（多选)在△ABC中，角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,对于以下命题，其中正确 的是 A.若A>B,则sinA>sinB B.若sinA+sinB-sinC>0,则△ABC 是锐角三角形 C.若A=60°，a=√15，b=4,则满足条件的 三角形有两个 D.若角A,B都是锐角，则sinA>cosB 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,若asin B=2 bcos A,则tanA= 7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若b2=2ac且sinC=2sinA,则cos A的值为 8.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,且(2b-c)·cosA=acos C. (1)求角A的值； (2)若△ABC的面积为W3,BC边上的高 为1，求△ABC的周长. 4真题体验 1.(2025·全国二卷)在△ABC中，BC=2, AC=1+√3，AB=√6，则A= () A.45°B.60°C.120° D.135 2.(2024·新课标I卷)记△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC= √2cosB,a2+b2-c2=√2ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3十√3，求c. 衡量的。 [每日格言] 3.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ √3cosA=2. (1)求A; (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC 的周长 5易误警示 易错一忽视隐含条件致错 [示例1]在锐角三角形ABC中，a,b,c分 别是内角A,B,C的对边，若B=2A,则b 的取值范围是 A.(-2,2) B.(0,2) C.(2,5) D.(√2,2) 名师叮嘱 本题的易错之处是忽视锐角三角形的各角均为锐 角这一条件而不能准确求出角A的范围而出现错 误，易只考虑A是锐角，而不是C为锐角时角A 的范围，因此涉及锐角三角形时，要综合考虑三个 角均为锐角的条件 易错二忽视构成三角形的条件致错 [示例2]已知△ABC的三条边的长度分别 为4m,5m,6m,将三边都截掉xm后，剩 余的部分组成一个钝角三角形，则x的取 值范围是 A.(0,5) B.(1,5) C.(1,3) D.(1,4) 名师叮嘱 若要长度分别为4一x,5一x,6一x的线段构成三角 形，需要满足4一x十5一x>6一x(两边之和大于第三 边)，忽视构成三角形的条件是出错的主要原因.[每日格言]成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会 由P,G,B三点共线知，存在m∈R,满足AG=mAP+ 1-mA店=子mA+(1-m)A. 由C,G,E三点共线知，存在n∈R,满足AG=nAE十 (1-)AC-B+1-AC. 所以子mAC+1-m)A店=子A店+(1-n)A. 又因为AC,AB为不共线的非零向量， 1 3 1-m=2”,解得m=5’ 所以1m (3m=1-n, 4 n=5 所以店号+号 作业（三）平面向量的数量积 【基础演练】 1.A由题意知AC=AB=1,∠BAC=120°， : 所以AC.BA=AC1BA0s(180°-120°)=1X1 故选A. 2.C因为a=(2,1),b=(-1,1), 所以2a-b=(5,1), 所以|2a-b|=√52+12=√26，故选C. 3.C由题意，a十b=(4十n,3), 因为(a+b)⊥b,所以(a十b)·b=(4十m)m+3=0, 解得m=-3或m=一1.故选C. 4.解析a·b=a·1bcos30°=3，故2，b× 2 3,解得|b=√3， 则|a-b|=√/(a-b)2=√a2-2a·b+b=√4-2×3+3 1. 答案1 【综合演练】 1.A因为a=(2,A),a十b=(4,-3),所以b: =(2,-3-λ)， 因为a⊥b,所以a·b=0, 即4-3入-2=0，解得入=1或入=一4. 故选A. 2.AC因为a+b=√7，a·b=1,所以a2+2a·b+b2=7, 即a2+2×1十1=7，解得a=2,A正确： 因为a·(a一b)=a2-a·b=4-1≠0，所以B错误； 1 、因为c0s(a,b)三86=2由两向量夫角的范图是 [0,],得a与b的夹角为于，C正确，D错误. 故选AC. 3.BC因为a∥c,则入=2X4=8,故A不正确： 3-2=-E 由题可得，cos〈a,b》=Tab5×0, a·b 2 因为向量夹角范围为[0，π]，所以向量a与b的夹角为 4π，故B正确； 由于b十c=(1,-1+入)，a⊥(b十c),则1-2十2A=0, 解得入-之故C正璃： 由于a十2b=(-5,0),所以|a+2b=5,故D错误. 故选BC. 4.D因为向量a在向量b上的投影向量为2b, 所以6治。=号，所以治=合，又1。=4， b|=2, 所以a·b=2,所以|a-b|=√(a-b)2= w√a2-2a·b+b2=√16-4+4=4. 故选D. 在你需要时将你唤醒。 高一数学（配RJA版） 5.D如图，以直线DA,DC分别 y 为x,y轴建立平面直角坐 C 标系， 设DC=a,则A(2,0),B(1,a), P C(0,a),D(0,0), 设P(0,b)(0≤b≤a), A 则PA=(2,-b),PB=(1,a-b), .PA+3PB=(5,3a-4b), .|PA+3PB|=√52+(3a-4b)2≥5， 即当3a=4b时，取得最小值5. 故选D. 6,解析因为a与b夹角为钝角，可以得出a·b=1×x+ 2X(一4)=x一8<0，解得x<8, 且a,b不平行，则1×(-4)≠2x,x≠-2， 即x<8且x≠-2，即x∈(-∞，-2)U(-2,8). 故答案为（一∞，一2）U(一2,8). 答案(-∞，-2)U(-2,8) 7.解析因为b=(1,2√2)，所以b=√/1十8=3， 由(a十2b)⊥(3a-b),可得(a+2b)·(3a-b)=3a2 -2b2+5a·b=48-18+5a·b=0,所以a·b=-6, a·b -6. 1 所以cosa,b》=1a:1b-4X3=-2, 由a,b∈[0，知ab= 答案 2π 3 【真题体验】 1.D解法一（向量法十坐标法）因为b⊥(b一4a),所以 b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2, x),所以b2=4十x2,a·b=x,得4十x2=4.x,所以(x 2)2=0,解得x=2,故选D. 解法二（坐标法）因为a=(0,1),b=(2,x),所以b 4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为 b(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x一4) =0,所以(x一2)2=0，解得x=2,故选D. 2.B由(b-2a)⊥b,得(b一2a)·b=b2-2a·b=0,所以 b2=2a·b.将|a+2b|=2的两边同时平方，得a2十 4a·b+4b2=4,即1+2b2+4b2=1+6b2=4,解得 b12=弓，所以b1-竖，k选B 3.解析a一b=(1,1一2x),因为a⊥(a一b),则a·(a b)=0,则x十1-2x=0,解得x=1. 则a=(1,1),则a=√2. 故答案为√2. 答案√2 【易误警示】 [示例1]Ba,b夹角为钝角， a·b 六oos(a,b)=Ta.b<0且a,b不共线， 即a·b=4x十3<0且x(2x十3)≠2， 解得K-是且x≠-2 x的取值范国为(-©，-2)U(-2,-) [示例2】B国为向量A店，B心的夹角为否，所以A店· BC=2X2Xc0s牙=-2，故选B, 作业（四）正弦定理和余弦定理 【基础演练】 1.C由正弦定理a。 里sinA=snB可得b=asin B- b sin A Xsim45°4X2 sin30° =4反.故选C 1 暑假作业坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久够大声，终会把人唤醒的。 [每日格言] 2B8An0e迎后：咖B-2 b 2 !7.解析因为sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a, 又因为b2=2ac,可得b2=4a2,所以b=2a,由余弦定理 又0°<B<180°，且b<a, 得cosA= b2+c2-a2_4a2+4a2-a2_7 .B<A,则角B的值为45° 2bc 2×2aX2a=8 故选B. 7 3.A因为a2=b2+c2+√3bc,即b2+c2-a2=-√3bc, 故答案为 所以0A==-9且0<A<180所以A 答案名 2bc 8.解析(1)因为(2b一c)cosA=acos C, =150°. 由正弦定理，得(2sinB-sinC)cosA=sin Acos C, 故选A. Ep 2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 4.C由正往定理得，sin Aeos A=sin Bcos B>-sin2A 即2 sin Bcos A=sinB. 二2sin2B,解得2A=2B或2A+2B=元，即A=B或 因为在△ABC中，sinB≠0，所以cosA=子 A十B=乏，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形. 又因为0<A<π，所以A= 3 故选C (2)因为△ABC的面积为√5， 【综合演练】 所以号aX1=5,得a=25. 1.C在△ABC中，由正弦定理，a b sin A sin B sin C' 由cnA=5,中c×g-5, b b+c ,asin B-bsin A.sin A-sin B sin B+sin C' 所以bc=4.由余弦定理，得a2=b2十c2-2 bccos A,即 故A、B、D错误，C正确. 12=b2+c2-bc,化简得(b十c)2=3bc+12, 2.A因为A=2B,所以sinA=sin2B,故sinA= 所以(b十c)2=24,即b十c=2√6， 2 sin Bcos B,由正弦定理可得a sinA-sinB,所以a= b 所以△ABC的周长为a+b+c=2√6+2√3. 【真题体验】 2 bcos B,又a=√3，b=1, 所以心B-号又BE0).所以B-吾A-吾， 1.A 由题意得cosA= AB2+AC2-BC2 2AB·AC (√6)2+(1十3)2-22√2 故C=元一A-B=受，由勾股定理可得c2=a2十2=4， 2×√6×(1+3) 2 又0°<A<180°，所以A=45°. 所以c=2.故选A. 故选A. 3.B由题意，Sa=弓acin吾-尽，可得ac=4 3 2.解析(1)由余弦定理得c0sC=a2+2-c2= 2ab 由余弦定理，b2=a2+c2-2 accos3, 元 又0<C<π，.C=π」 4 十24，将4=a十c-3ac=a+c)一12，解将“ wsB=inC-9cosB=之， .1 +c=4. 故选B. 4.A由2sinB=3sinC,则2b=3c, 又0<B<π，.B= 3 (2)由(1)得A=π-B-C=5 12 故0sA=2+c2-a2 ()+()-是 由正弦定理 里sin A-sin C,得于 2+62 2bc 2X3 3 24 4 2 4 ,故选A a=1+3 4 5.AC在△ABC中，若A>B,则a>b,由正弦定理得sin A>sinB,故选项A正确.若sinA十sinB一sin2C>0, △ABC的西叔S=子cinB-1中×9-3十 4 由正弦定理可得a2+b2-c2>0,则cosC=a2+2-c2 √5，得c=2√2. 2ab 3.解析(1)解法一（辅助角法） >0,则角C为锐角，但不确定角A,B是否为锐角，故选 项B不正确.由于bsin A=2√3<√15=a<b,故三角形 由snA+Bc0sA=2,得sinA+ 2c0sA=1, 有两解，故选项C正确，当A=吾，B=子时，sinA<c0s 所以in(A+否)=1. B,故选项D不正确.故选AC 因为0<A<,所以受<A十子<暂 331 6.解析由asin B-=2 bcos A知cosA=2 bcos A=asin B 26 26 所以A+=受，故A= 6 >0,故tanA存在.再由正弦定理inA只，即可得到 "sin Bb 解法二（同角三角函数的基本关系法） tan A-sin AbsinAs2. 由sinA+√3cosA=2,得√3cosA=2-sinA, cosA2 bcos A asin B a·b 两边同时平方，得3cos2A=4-4sinA十sin2A, 故答案为2. 3(1-sin2A)=4-4sin A+sin2A, 答案2 整理，得1-4sinA+4sin2A=0, 46 [每日格言]凡事要三思，但比三思更重要的是三思而 所以1-2snA2=0,则snA=合 因为0<A<所以A=吾或A=晋 6 当A=吾时，inA十5c0sA=2成立，特合条件： 当A=要时，inA十5c0sA=2不成立，不特合条件. 故A=吾 (2)由√2 bsin C=csin2B,得√2 bsin C=2 csin Bcos B, 由正弦定理，得，②c=2 cbeos B,所以cosB=2, 2 因为0<B<π，所以B=π」 Γ4 C=x-(A+B)-登 所以mC=n径=n(+)-mcos十 4 w吾m-×9+士×9-6 422 2 4 2 in A-sin B-nc,得b=B 由正弦定理a b sin A 2sin 4 π 7π -=2√2，c=asin C sn sin A 2sim2=6+瓦. 所以△ABC的周长为a十b+c=2十√6+3√2. 【易误警示】 [示例1]C,B=2A,.sinB=sin2A,由正弦定理得 b sin Bsin 2A-2cos A. a sin A sin A 0<2A<受0<-3A<受晋<A< 2 osA<<2sA<,即E<合<反故 2 a 选C. [示例2]C根据题意，将三边都截掉xm后，三角形的 三边长分别为(4-x)m,(5-x)m,(6-x)m,且0< x4.设长为(6一x)m的边所对的角为&，则&为钝角. 4-x>0,5-x>0,6-x>0, cosa=4=2t52-(6-2<0. 2(4-x)(5-x) .1<x<4. '4-x十5-x>6-x, x<3,1<x<3, 故x的取值范围是(1,3).故选C. 作业（五）解三角形的综合问题及应用举例 【基础演练】 1.B如图，设行驶15分钟时，甲船北↑ 到达M处，乙船到达N处， 由意客知AM=8X品=2，BN= 60° N <5=3,MB=AB-AM=3-2 B 12×60 =1, 所以由余弦定理，得MN2=MB2 A +BN2-2MB×BNcos120°=1+9-2×1×3× (-2)=13. 所以MN=√J13km. 故选B. 2.C由余弦定理，得BC12+(3)2-2X1×5X0s 6 =1,设BC边上的商为h,则S△AC=之AB·AC· sn吾-号BC·h,解得h故选C 2 47 行 高一数学（配RJA版） 3.C设树的高度为h,由已知，得PH=HB=h, 本R△rPHA中，∠HaN-器产D号 化简得3h=5(h十30)，解得h=305=55 3-√3 (3+√3)=15+153. 所以树的高度为(15十15√5)m 故选C. 4.解析依题意可得∠ACB= 60°，AC=1.25km,BC= 2 km, 由余弦定理AB2=AC2+BC -2AC·BCcos∠ACB, 西一 东 即AB2=1.252+22-2×1.25 X2X合所以AB=子，中站 南 A与塔B间的距高为子km 答案 7 【综合演练】 1,A如图所示， 北 在△PNM中，由题意可 知∠PNM=45°，∠MPN →东 =75°+45°=120°，PM= 64海里， 75° PM 由正孩定理sin∠PNM sin∠MPN,可得MN=PM·sin∠MPV MN 64×号 =32 sin∠PNM 2 6(海里). 且该船航行时间为4小时，所以该船航行的速度为 325=8√6（海里/小时）. 4 故选A. 2.C设这座塔的高度AB为h米， 因为从C点观测该塔塔顶A的仰角为否，从D点观测 该塔塔项A的仰角为晋， 在△ABC中，∠ACB=若，BC=a米： 在△ABD中，∠ADB=年，BD=A米， 在△BCD中，∠CDB=号，CD=60米， 由余弦定理得：os∠CDB=CD+DB2-BC 2D.DB,聊2】 =602+h2-3h2 120h 整理得h2+30h-1800=0, 即(h+60)(h-30)=0, 解得h=30或h=一60（舍） 所以，这座塔的高度AB为30米. 故选C. π=3 3.解析由SaAc=2=2aX1×sn吾-a 3,5,解得a=3, 4 设AB的中点为D.则Ci=之(C+C). 则c市=Ci+C)2