假期作业四 圆的方程-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教A版）

=0022. 假期作业四圆的方 《思维整合室 知识梳理 1.设圆的圆心是C(a,b),半径是r,则圆的标 准方程是 ；当圆的圆心在 坐标原点时，圆的半径为，则圆的标准方 程是 2.设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r.若 点P在圆外，则d r.若点P在圆 上，则d r.若点P在圆内，则 d r. 3.方程x2+y+Dx十Ey十F=0. (1)当 时，方程表示一个点， 该点的坐标为 (2)当 时，方程不表示任何 图形 (3)当 时，方程表示的曲线 为圆，它的圆心坐标为 ,半径等于 ,上述方程称为圆的一 般式方程， 4.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2十Dx十 Ey十F=0和圆的一般方程x2+y+Dx十 Ey十F=0,可以得出如下结论.当二元二次 方程具有以下条件： (1)x和y的系数相同，且不等于0，即 (2)没有xy项，即 (3) 时，它才表示圆 自测自查 1.(x-a)2+(y-b)2=r2x2十y2=r2 2.> < 8.1D+E-4F=0(-2-号) (2)D+E2-4F<0 (3)D2+E2-4F>0 分D+E-4F 4.(1)A=C≠0(2)B=0(3)D+E2-4AF>0 11 温故而知新，可以为师矣。 程 完成日期： 日 要点记忆 求圆的方程的两种方法 (1)直接法： 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和 半径，进而写出方程。 (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关， 则设圆的标准方程，依据已知条件列出关 于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D,E,F的方程组，进而求出D,E,F的值. 《技能提升台 技能提升 1.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是 () A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不确定 2.圆C:x2+y2+2x+4y-3=0的圆心坐 标是 () A.(1,2) B.(2,4) C.(-1,-2) D.(-1,-4) 3.圆的一条直径为x=2(一2≤y≤0)，则此圆 的方程是 ) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y十1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x+2)2+(y+1)2=1 4.过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别 为2和3的圆的方程为 () A.x2+y2-2x-3y=0 B.x2+y2+2x-3y=0 C.x2+y2-2x+3y=0 D.x2+y2+2x+3y=0 飞壁快乐假期 5.与圆x2+y2一2x+4y+3=0同圆心，且过 点(1，一1)的圆的方程是 () A.x2+y2-2x+4y-4=0 B.x2+y2-2x+4y+4=0 C.x2+y2+2x-4y-4=0 D.x2+y2+2x-4y+4=0 6.设O为坐标原点，A为圆C:x2十y2一4x+2 =0上的一个动点，则∠AOC的最大值为 () A.B.C.D. 7.（多选)若坐标原点在圆(x-m)2十(y十m) =4的内部，则实数m的取值可以是() A.-1 B.2 C.-√2 D.1 8.(多选)若直线mx十2ny一4=0始终平分圆 x2+y2-4x-2y-4=0的周长，则mn的取 值可以是 ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 9.已知圆x2十y2-2x一4y=0,则该圆的圆心 坐标为 10.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为 A,点P在圆上，则PA的中点M的轨迹 方程是 11.设点P(x,y)是圆x2+(y+4)2=4上任意 一点，则√(x一1)2十(y一1)2的最大值为 12.已知一个圆过P(4,一2)，Q(-1,3)两点， 且在y轴上截得的线段长为4√3，求该圆 的方程. 00= 13.已知直线11过原点，且与直线l2:3x一2y 一1=0平行. (1)求直线1的方程； (2)求L1与L2间的距离； (3)若圆C经过点A(1,3),B(2,2),并且 被直线1平分，求圆C的方程. 14.已知实数x,y满足方程x2十y2一4x十1=0. (1)求之的最大值和最小值； (2)求y一x的最大值和最小值； (3)求x2+y2的最大值和最小值， 高考冲浪 1.(新课标I卷，6)过点(0，一2)与圆x2+y 一4x一1=0相切的两条直线的夹角为，则 sin a= () A.1 B.15 c.D.5 4 2.(上海卷，7)已知圆C:x2十y一4y一m=0的 面积为元，则m= 3.(全国乙卷，14)过四点(0,0)，(4,0)，（一1,1）， (4,2)中的三点的一个圆的方程为飞壁快乐傻期 高考冲浪 1.B[由直线y=(x+1)过定点（一1,0），要使距离最大， 则当y=k(x十1)与(0,1)和（一1,0）的连线垂直时可得最 大距离为(0,1)和(-1,0)两，点之间的距离d= /(0+1)2+(1一0)2=2，故选B.] 2.解析：因为圆心(0,0)到直线x一√3y十8=0的距离d= 8 =4,由弦长公式l=2√2-d2可得6= √/1+3 2√2-42，解得r=5. 答案：5 假期作业四圆的方程 技能提升台技能提升 1.C2.C3.B 4.A[设圆的一般方程为x2+y2+Dx十Ey十F=0(D2十 E2-4F>0),:过坐标原，点，则F=0,即x2+y2+Dx十 Ey=0,令x=0,则y2+Ey=0,.y=-E=3,.E=-3. 令y=0,则x2+Dx=0,x=-D=2,D=-2..所求 圆的方程为：x2+y2-2x-3y=0.] 5.B[设所求圆的方程为x2十y2-一2x十4y十m=0,由该圆 过点(1，-1)，得m=4,所以所求圆的方程为x2+y2一2x 十4y+4=0.] 6.C[如图所示，当直线AO与圆相切时，y A为切，点，此时∠AOC最大，连接CA, 易得ACLAO.由x2+y2-4x十2=0→ (x-2)2+y2=2,即C(2,0),AC=√2， 0 所以sin∠A0C-竖，得∠A0C-子] 7.AD[因为(0,0)在(x-m)2+(y十m)2 =4的内部，则有(0一m)2+(0+m)2<4,解得-√2<m <√2.] 8.ABC[可知直线mx十2ny-4=0过圆心(2,1)， 有2m十2n-4=0,即n=2-m, 则mn=m·(2-m)=-m2+2m=-(m-1)2+1≤1.] 9.(1,2)10.(x-2)2+(y+1)2=411.√26+2 12.解：方法一：设圆的方程为x2+y2十Dx十Ey十F=0(D2+ E2-4F>0)① 将P,Q的坐标分别代入①， 得02+00。品 令x=0,由①得y2+Ey+F=0,④ 由已知y1一y2=4V3,其中y1y2是方程④的两根. .(y1-y2)2=(y1十y2)2-4y1y2=E2-4F=48,⑤ tD=-2, D=-10, 联立②③⑤解得E=0,或E=-8, F=-12,F=4. 故所求方程为x2十y2-2x-12=0或x2十y2-10x- 8y+4=0. 方法二：由题意得线段PQ的中垂线方程为x一y一1=0. .所求圆的圆心C在直线x一y一1=0上，设其坐标为 (a,a-1).又圆C的半径长r=|CP|= √/(a-4)2+(a+1)2.① 由已知圆C截y轴所得的线段长为4√3，而圆心C到y 轴的距离为a. r=2+色，代入D并特两瑞平方得心2-6十5 2 =0,解得a1=1,a2=5,.r1=√13，r2=√37. 故所求圆的方程为(x-1)2十y2=13或（x一5)2十 (y-4)2=37. 13.解：(1)根据题意，直线l1与l2:3x一2y-1=0平行， 则直线山的斜率为号，又直线么过原点，所以直线1的 方程为3x一2y=0. ·4 90M= (2)直线1的方程为3x-2y=0,直线l2:3x-2y-1= 0,所以1与2间的距离为 |0+11 =1=13 32+(-2)2√13131 (3)设圆心C(a,b). 由于直线1：3x-2y=0平分圆C,所以圆心在直线1 上，即3a-2b=0.① 又|CA|=|CB, 所以有√(a-1)2+(b-3)2=√/(a-2)2+(b-2)2.② 联立①②，解得a=2,b=3. 所以|CA|=√(2-1)2+(3-3)2=1. 所以圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1, 14.解：原方程化为(x-2)2十y2=3, y y=kx 表示以点C(2,0)为圆心，以√3为 半径的圆」 (1)设义=k,即y=kx, 由图可知当直线y=kx与圆相切 时，斜率取最大值和最小值， Rt△AOC中，tan∠AOC= √22-3 =5, 故飞的最大值为√，由对称性知的最小值为一√. 故义的最大值为√，最小值为一√3 (2)设y-x=b,即y=x十b, 当y=x十b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小 值，此时2-0+b=5,即6=-2士6. √2 故y一x的最大值为一2十√6，最小值为一2-√6. (3)x2十y2表示圆上点与原点距离的平方，由图知x2十 y2的最大值为(0C1+3)2=(2+√3)2=7+4√5. 最小值为(OC-√3)2=(2-√3)2=7-4√3. 高考冲浪 1.B[由题可知，圆的方程可化为(x一2)2+ y2=5,故圆心B(2,0),A(0,-2),如图，设 切，点为M,N,AB=2√2，BM=√5，故 AM=,m∠MA-铝- 2√2 cos∠MBA=5 ,sina=sin(π-a)=sin,∠NBM=sin2 2√2 ∠MBA=2X5×5=E.] 222√24· 2.解析：x2+(y-2)2=m十4，r2=元=1，由题意m十4=1 →m=-3. 答案：一3 3.解析：设点A(0,0),B(4,0),C(一1,1)，D(4,2),圆过其 中三点共有四种情况，解决办法是两条中垂线的交点为 圆心，圆心到任一点的距离为半径. (1)若圆过A,B,C三点，则圆心在直线x=2,设圆心坐标 为(2，a),则4+a2=9+(a-1)2→a=3,r=√4+a2= √13，所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13. (2)若圆过A,B,D三，点，同(1)设圆心坐标为(2，a),则 4十a2=4+(a-2)2→a=1,r=√4+a2=√5，所以圆的方 程为(x-2)2+(y-1)2=5. (3)若圆过A,C,D三点，则线段AC的中垂线方程为y= x十1，线段AD的中垂线方程为y=-2x十5，联立得 4 x=3’ /16+49=w65 7r/9+9 31 y=3’ 三0022 所以周的方程为(-专)+(-子)广-臣 (4)若圆过B,C,D三点，则线段BD的中垂线方程为 y=1,线段BC中垂线方程为y=5x一7，联立得 8 y=1, 所以圆的方程为（一）'+(y一1)-9， 8〉 25 答案：(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5 =169 25 假期作业五直线、圆的位置关 技能提升台技能提升 1.C2.C3.A 4.A[直线x十y十2=0分别交x轴、y轴于A,B两点， .A(-2,0),B(0,-2),∴|AB|=2√2，点P在圆(x-2)2 十y2=2上，.圆心为(2,0)，设圆心到直线的距离为d,则d =12+0+2=22.故点P到直线x十y十2=0的距离d的 √2 范国是[E,3见，则Saur=号ABld∈[2,61.] 5.A[由圆C:(x+2)2+(y-2)2 =1,得圆心C(一2,2)，半径r=1, 易得点M(一4，一2)关于y轴的 对称，点为M(4,-2), 如图，所求的最短路程即为M到 圆C上的点的最短距离CM-,M M =√/(4+2)2+(-2-2)2-1=2 √13-1.] 6.B[因为四边形APBM为正方形，且MA=MB=1,所 以MP=√2，故动点P的轨迹是以M为圆心，W2为半径的 圆，其方程为(x十2)2+(y十3)2=2.] 7.ABD[圆x2十y2一2x=0的标准方程为(x一1)2+y2=1, 圆心为(1,0)，半径为1，圆x2十y2十4y=0的标准方程为 x2十(y十2)2=4，圆心为(0，-2)，半径为2..圆心距d =√/(1-0)2+(0+2)2=√5<1+2=3，且√5>2-1=1， .两圆相交.门 8.ABD[由题意，△ABC的“欧拉线”即AB的垂直平分 线，A(0,1),B(2,-1),AB的中点坐标为(1,0)，kAB 201,则AB的垂直平分线方程为y=x一1， x-y-1=0,故A正确；，“欧拉线”与圆M:(x一4)2十 y2=r2相切，且圆心M(4,0)到直线x-y-1=0的距离 为40-3,7=3Y,则国M的方崔为（红 √I十I 4)2+y2=号，国心M4,0)到直线x-y=0的距离为d =4一0=22，则圆M上的点到直线x一y=0的最小 W1+1 距离为d-7-2反-8-号长B正确：苏圈M:( 2 02+y2=号与周2+(y-a)2=8有公共点，则2E- </4-0+0-@<2+3,解得-<0 2 2 <,敢C错民：六的几何意义为园M上的点（红，》 与定点P(一1,0)连线的斜率，当过P(一1,0)的直线与圆 M相切，且直线的斜率为正时，取得最大值.设过点 ·43 富二学都) P(-1,0)与圆M相切的直线方程为y=k(x十1)，即kx 十=0，由-3，解得=士3 √2+1 2 的最大值是3y厘，故D正确.] 41 9.2√2 10.解析：由图可得，两圆外 切，且均与直线l1:x=一1 相切.另过两圆圆心的直 线1的方程为y=号，可 43 得1与11交点为 P(1,-号)由切线定 3-202345678王 71-2 理得，两圆另一公切线2 过点P,设2：y叶专-(x十1)，由点到直线距离公式可 4 好3解特k甲2义7界，另由于 7 √R2+1 两圆外切，因此在公切点处存在公切线1？与1垂直，解 答案=-1，或=7积或)=-十〔答对 7 其中之一即可) 1山.解析：因为=“23，所以AB关于直线y=公的对称 直线为(3-a)z-2十2a=0,所以13(a-3)+4+2al≤1，整 √4十(3-a)2 理可得12a2-2a十6≤0，解得日≤a≤是 答案：[日】 12.(1)证明：因为直线l:mx-y十1=0恒过定，点N(0,1), 且点N(0,1)在圆C:x2+(y-2)2=5的内部， 所以直线1与圆C总有两个不同的交点. (2)解：由题知C(0,2),设动点M(x,y), 当x=0时，M(0,1)； 当x≠0时，由垂径定理，知INMC, 所以y二2.y1=-1, 整理得2+（是）}户=子又0,10满足此方程， 所以费A的中点M的轨蓬方想是2+()》广=是。 13.解：(1)方法一： 由x2+y2-10, {x2+y2+2x+2y-14=0, 得x=。1或x=3, (y=3, 0y=-1. 故两圆的交点为A(-1,3),B(3,一1)， 由直线方程的两点式可得公共弦所在的直线方程为 x+y-2=0. 方法二：由x十y2=10, {x2+y2+2x+2y-14=0, 消去二次项得x十y一2=0，即为公共弦所在直线的方程. (2)由两圆方程可得圆心连线为y=x,由圆的性质所求 圆的圆心在y=x上， 由{计2)3=0，得x=y=1,故所求圆的圆心C1,D, 由y=x, 半径r=|AC1=√（-1-1)2+(3-1)2=2√2， ∴.所求圆的方程为(x-1)2+(y一1)2=8.