作业(三) 平面向量的数量积-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（人教A版·新教材）

[每日格言]在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步 高一数学（配RJA版） 作业（三） 今 月 星期 平面向量的数量积 历 天气 1知识整合 A.2 B.- 2 1.平面向量的数量积 D. 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0， 我们把数量|a||b|cos0叫做向量a与b 2.已知向量a=(2,1),b=(一1,1)，则12a一b= 的数量积，记作a·b. 2.向量数量积的运算律 A.√5 B.4 (1)a·b=b·a. C.√26 D.6 (2)(a)·b=λ(a·b)=a·(b). 3.已知平面向量a=(4,2),b=(m,1),且 (3)(a+b)·c=a·c+b·c. (a十b)⊥b,则m= 3.投影向量 A.-1 B.1 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹 C.-1或-3 D.3 角为0，则a在b上的投影向量为lalcos0e. : 4.平面向量数量积的有关结论 4.已知向量a与b的夹角为30°，a=2,a·b 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), =3,则a-b= a与b的夹角为0. 3综合演练 几何表示 坐标表示 1.已知向量a=(2,A),a+b=(4,-3),若 数量积 a·b=abcos0 a·b=x1x2十y1y2 a⊥b,则入的值可以为 () 棋 a=√a"a a=√+ a·b x1x2十y12 A.-4 B.-2 夹角 cos0=a cos 0=- √十√+喝 C.2 D.3 a⊥b的充要条件 a·b=0 x2十y1y2=0 2.（多选)已知向量a,b满足a·b=1,|b=1, a∥b的充要条件 a=b(A∈R) x2一x2y1=0 a·b≤ab 且a+b川=√7，则 a·b与ab x2+2≤ (当且仅当a∥b 的关系 A.a=2 √(r+v)(+y吃) 时等号成立) B.a⊥(a-b) 2基础演练 C.a与b的夹角为骨 1.△ABC是顶角为120的等腰三角形，BC是 底边，且AB=1,则AC·BA= ( D.a与b的夹角为骨 暑假作业现实是此岸，理想是彼岸，中间隔着湍急的河流，行动则是架在河上的桥梁。 [每日格言] 3.(多选)已知向量a=(1,2),b= 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足 (一3，一1)，c=(4,入)，则下列说法正确 |a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则 1b|= 的是 ( A.若a∥c,则λ=-2 A号 B号 B向景a与b的夹角为 D.1 C.若a1b十e,则X-} 3.(2025·全国二卷)已知平面向量a=(x,1), b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|= D.a+2b=25 4.已知向量a在向量b方向上的投影向量为 5易误警示 2b,a=4,bl=2,则a-b= 易错一 认为a与b的夹角为锐角（钝角） 等价于a·b>0(<0)致错 A.√10 B.3√5 [示例1] 已知a=(x,1),b=(2,2x+3), C.5√2 D.4 若a,b的夹角为钝角，则x的取值范围为 5.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC =90°，AD=2,BC=1,P是腰DC上的动 A.(-,+∞ 点，则PA十3PB的最小值为 B.(-∞，-2)U(-2,-) A.3 B.5 c.(-,-) C.4 D.5 6.已知a=(1,2),b=(x,-4),若a与b的 D.(-2,-)U(-+∞） 夹角是钝角，则实数x的取值范围是 名师叮嘱 当a·b>0(<0)时，a与b的夹角为锐角（钝角） 或0°(180°)角，所以a与b的夹角为锐角（钝角） 7.已知平面向量a,b满足a=4,b=(1, 等价于a·b>0(≤0)且a与b不共线. 2√2)，且(a+2b)⊥(3a-b).则向量a与 易错二向量夹角的概念不清致错 向量b的夹角是 [示例2]已知等边三角形ABC的边长 为2，则AB·BC= 4真题体验 A.2 B.-2 1.（2024·新课标I卷)已知向量a=(0,1), C.-√3 D.√3 名师叮嘱 b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( 对于平面图形中向量的数量积计算问题，要根据 A.-2 B.-1 向量夹角的定义，作出图形，准确确定向量的夹 C.1 D.2 角，然后利用向量数量积的定义计算. 6[每日格言]成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会 由P,G,B三点共线知，存在m∈R,满足AG=mAP+ 1-mA店=子mA+(1-m)A. 由C,G,E三点共线知，存在n∈R,满足AG=nAE十 (1-)AC-B+1-AC. 所以子mAC+1-m)A店=子A店+(1-n)A. 又因为AC,AB为不共线的非零向量， 1 3 1-m=2”,解得m=5’ 所以1m (3m=1-n, 4 n=5 所以店号+号 作业（三）平面向量的数量积 【基础演练】 1.A由题意知AC=AB=1,∠BAC=120°， : 所以AC.BA=AC1BA0s(180°-120°)=1X1 故选A. 2.C因为a=(2,1),b=(-1,1), 所以2a-b=(5,1), 所以|2a-b|=√52+12=√26，故选C. 3.C由题意，a十b=(4十n,3), 因为(a+b)⊥b,所以(a十b)·b=(4十m)m+3=0, 解得m=-3或m=一1.故选C. 4.解析a·b=a·1bcos30°=3，故2，b× 2 3,解得|b=√3， 则|a-b|=√/(a-b)2=√a2-2a·b+b=√4-2×3+3 1. 答案1 【综合演练】 1.A因为a=(2,A),a十b=(4,-3),所以b: =(2,-3-λ)， 因为a⊥b,所以a·b=0, 即4-3入-2=0，解得入=1或入=一4. 故选A. 2.AC因为a+b=√7，a·b=1,所以a2+2a·b+b2=7, 即a2+2×1十1=7，解得a=2,A正确： 因为a·(a一b)=a2-a·b=4-1≠0，所以B错误； 1 、因为c0s(a,b)三86=2由两向量夫角的范图是 [0,],得a与b的夹角为于，C正确，D错误. 故选AC. 3.BC因为a∥c,则入=2X4=8,故A不正确： 3-2=-E 由题可得，cos〈a,b》=Tab5×0, a·b 2 因为向量夹角范围为[0，π]，所以向量a与b的夹角为 4π，故B正确； 由于b十c=(1,-1+入)，a⊥(b十c),则1-2十2A=0, 解得入-之故C正璃： 由于a十2b=(-5,0),所以|a+2b=5,故D错误. 故选BC. 4.D因为向量a在向量b上的投影向量为2b, 所以6治。=号，所以治=合，又1。=4， b|=2, 所以a·b=2,所以|a-b|=√(a-b)2= w√a2-2a·b+b2=√16-4+4=4. 故选D. 在你需要时将你唤醒。 高一数学（配RJA版） 5.D如图，以直线DA,DC分别 y 为x,y轴建立平面直角坐 C 标系， 设DC=a,则A(2,0),B(1,a), P C(0,a),D(0,0), 设P(0,b)(0≤b≤a), A 则PA=(2,-b),PB=(1,a-b), .PA+3PB=(5,3a-4b), .|PA+3PB|=√52+(3a-4b)2≥5， 即当3a=4b时，取得最小值5. 故选D. 6,解析因为a与b夹角为钝角，可以得出a·b=1×x+ 2X(一4)=x一8<0，解得x<8, 且a,b不平行，则1×(-4)≠2x,x≠-2， 即x<8且x≠-2，即x∈(-∞，-2)U(-2,8). 故答案为（一∞，一2）U(一2,8). 答案(-∞，-2)U(-2,8) 7.解析因为b=(1,2√2)，所以b=√/1十8=3， 由(a十2b)⊥(3a-b),可得(a+2b)·(3a-b)=3a2 -2b2+5a·b=48-18+5a·b=0,所以a·b=-6, a·b -6. 1 所以cosa,b》=1a:1b-4X3=-2, 由a,b∈[0，知ab= 答案 2π 3 【真题体验】 1.D解法一（向量法十坐标法）因为b⊥(b一4a),所以 b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2, x),所以b2=4十x2,a·b=x,得4十x2=4.x,所以(x 2)2=0,解得x=2,故选D. 解法二（坐标法）因为a=(0,1),b=(2,x),所以b 4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为 b(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x一4) =0,所以(x一2)2=0，解得x=2,故选D. 2.B由(b-2a)⊥b,得(b一2a)·b=b2-2a·b=0,所以 b2=2a·b.将|a+2b|=2的两边同时平方，得a2十 4a·b+4b2=4,即1+2b2+4b2=1+6b2=4,解得 b12=弓，所以b1-竖，k选B 3.解析a一b=(1,1一2x),因为a⊥(a一b),则a·(a b)=0,则x十1-2x=0,解得x=1. 则a=(1,1),则a=√2. 故答案为√2. 答案√2 【易误警示】 [示例1]Ba,b夹角为钝角， a·b 六oos(a,b)=Ta.b<0且a,b不共线， 即a·b=4x十3<0且x(2x十3)≠2， 解得K-是且x≠-2 x的取值范国为(-©，-2)U(-2,-) [示例2】B国为向量A店，B心的夹角为否，所以A店· BC=2X2Xc0s牙=-2，故选B, 作业（四）正弦定理和余弦定理 【基础演练】 1.C由正弦定理a。 里sinA=snB可得b=asin B- b sin A Xsim45°4X2 sin30° =4反.故选C 1