精品解析：吉林长春市长春净月高新技术产业开发区2025-2026学年度下学期期末试题八年级数学

净月高新区2025-2026学年度下学期期末试题 八年级数学 本试卷包括三道大题，共24 道小题，满分 120分，答题时间 120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 使分式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长约为0.000698毫米，将数据0.000698用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中， 若， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，①在直线l上任取A、B两点，在直线l外取一点D，连接；②分别以点B、D为圆心，以、的长为半径画弧，使两弧交于点 C；③连接．则根据上述尺规作图得到四边形 是平行四边形的判断依据是（ ） A. B. C. D. 6. 在一次满分为120分的测试中，将甲、乙两个班的成绩整理为箱线图，如图所示，已知甲、乙两班人数相同，则下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两个班都有人考满分 B. 甲班的最低分比乙班的最低分低 C. 甲班成绩的上四分位数与乙班成绩的中位数相同 D. 甲班的成绩比乙班的成绩更集中 7. 若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的3倍，分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 8. 小明同学利用人工智能设计了一款游戏，计算机屏幕上随机地出现一些图形，若过定点的直线与图形的边（包含顶点）有交点，则称图形被“击中”．当屏幕上出现如图所示的正方形时，点，，轴，直线 “击中”正方形，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：________ 10. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 11. 开放性题请写出一个图象经过，且y随x增大而增大的一次函数表达式：______________________． 12. 如图，在不锈钢制的矩形框架中，对角线长为，现取上一点N和的中点M进行固定（即用钢材将M、N两点连接），若，则需要的钢材的长度为_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 14. 如图，在等腰三角形中，是底边上一动点，作交于点，交于点．给出下面四个结论： ①四边形是平行四边形； ②； ③若点运动至中点，则四边形是菱形； ④若，连结，则的最小值为 上述结论中，正确结论的序号是___________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1） （2） 16. 有这样一道题：工程队检修一条长自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，工程队每小时检修管道长度是原计划的倍，结果提前小时完成任务．求工程队原计划每小时检修管道多少米．聪聪和小明的部分解答过程如下： 聪聪 小明 解：设工程队原计划每小时检修管道x米． 根据题意，得： … 解：设 ． 根据题意，得： … （1）根据表格信息回答问题：聪聪所列方程中的 表示的是 ，小明所设未知数y表示的是 ； （2）选择一种方法并写出完整的解答过程． 17. 如图，在平行四边形中， E、F是对角线上的两点，于点E， 于点 F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，直接写出四边形的面积 ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与直线 交于点A． （1）在平面直角坐标系中画出一次函数的图象，并求点A 的坐标； （2）当时，直接写出x的取值范围 ． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定网格中按下列要求作图并回答问题． （1）直接写出的长； （2）在图①中，作一格点，连结、，使四边形是菱形； （3）在图②中，作一格点（不在上且不与点、重合），连结、，使． 20. 长春市体育中考改革，引体向上新纳入男生力量选考项目，某校体育老师从八年一班抽取10名男生开展为期一个月的引体向上专项训练，记录每个人训练前、后有效完成引体向上个数（单位：个） 训练前：5，6，6，7，8，9，10，11，12，14． 训练后：7，9，10，10，a，12，13，13，14，15． 根据以上数据，绘制如下不完整的表格，根据信息，解答问题： 平均数 众数 中位数 方差 训练前 8.8 6 m 7.76 训练后 n 10 11 5.61 （1） ， ， ； （2）根据《国家学生体质健康标准》，八年级男生引体向上达到10个为“及格”，达到12个为“良好”．老师制定了“及格率，良好率”的训练目标．请根据训练后数据，判断这两个目标是否达成，并说明理由． （3）由于统计失误，老师发现将一名学生训练后的成绩“14”误输入为“16”，则下列统计量不发生变化的有 ．（选出所有正确的选项） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 21. 共享电动车是一种服务于中短距离的交通工具，主要面向的出行市场．现有A、B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间之间的对应关系如图所示，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应．根据信息回答下列问题： （1）A品牌收费规则是每分钟 元，当 ，两种品牌的收费相同； （2）当骑行时间， 求关于x的函数关系式； （3）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择 品牌共享电动车更省钱（填“A”或“B”），可以节约 元． 22. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，在 中，点D、E分别是边、的中点． 求证： （方法一） 证明：如图，过点C作，且与的延长线交于点 F． （方法二） 证明：如图，延长到点 F，使得 ，连结 、、． （1）选择上表中的一种方法，完成三角形中位线定理的证明； （2）如图①，点P在的外部，且与点A位于直线的两侧，连结、， 点G、H分别是、 的中点，连结、、，得到四边形．则四边形的形状为 ； （3）如图②，点P在的内部或边上时， 连结， 其它条件同（2）． ①若，， 四边形的周长是 ； ②若点 P在边的高线上运动（不含点），的面积为10，，设四边形的周长为L，直接写出L 的取值范围是 ． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）将直线沿y轴方向平移，使平移后的直线与x轴交于点 C，且，求平移后的直线表达式； （3）在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 数学兴趣小组利用一个直角三角尺（含有）和一个正方形卡纸进行探究活动．将等腰直角三角形的直角顶点与正方形的顶点A重合，从图①所示的位置开始（即点B在上时），绕点A逆时针旋转，旋转角度为． （1）当时，如图②，若点E恰好落在射线上，发现此时点F落在正方形的边上．证明过程如下： 证明：连结、． 在正方形及等腰直角三角形中， 证明过程缺失 ∴． ∵点E 在直线 上， ∴， ∴． ∵， ∴点F在 上． 补全上述证明过程缺失部分． （2）当时， 如图③，若斜边恰好经过点 B， 连结． 求的度数； （3）当时，若斜边恰好经过点B，连结． 延长、交于点 G，连结．若， ，直接写出的长 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 净月高新区2025-2026学年度下学期期末试题 八年级数学 本试卷包括三道大题，共24 道小题，满分 120分，答题时间 120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 使分式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即可得到答案. 【详解】解：∵使分式有意义， ∴， ∴； 故选：D. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件. 2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长约为0.000698毫米，将数据0.000698用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法表示绝对值小于1的数时，形式为，需满足，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数，包括小数点前的零． 【详解】解：． 3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】第二象限点的特征为横坐标为负，纵坐标为正，据此对各选项判断即可； 【详解】解：A、中，，，符合第二象限点的特征，故A正确； B、中，，，该点在第四象限，故B错误； C、中，，，该点在第一象限，故C错误； D、中，，，该点在第三象限，故D错误． 4. 在平行四边形中， 若， 则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质，结合已知条件即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，解得， ∴． 5. 如图，①在直线l上任取A、B两点，在直线l外取一点D，连接；②分别以点B、D为圆心，以、的长为半径画弧，使两弧交于点 C；③连接．则根据上述尺规作图得到四边形 是平行四边形的判断依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据基本作图得到，继而判定四边形 是平行四边形，只有B符合题意 6. 在一次满分为120分的测试中，将甲、乙两个班的成绩整理为箱线图，如图所示，已知甲、乙两班人数相同，则下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两个班都有人考满分 B. 甲班的最低分比乙班的最低分低 C. 甲班成绩的上四分位数与乙班成绩的中位数相同 D. 甲班的成绩比乙班的成绩更集中 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图的意义，求解即可； 【详解】解：A. 甲、乙的最大值都是120，两个班都有人考满分，正确，不符合要求； B. 甲班的箱线图最下端（最小值）位置低于乙班，甲班的最低分比乙班的最低分低，正确，不符合要求； C. 甲班成绩的上四分位数与乙班成绩的中位数相同，正确，不 符合要求； D. 乙班箱体宽度更小，四分位距更小，成绩分布更集中，故甲班的成绩比乙班的成绩更集中的说法错误，符合要求； 7. 若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的3倍，分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将、分别替换为原来的3倍，代入各选项化简后，与原分式对比，即可判断分式值是否改变； 【详解】解：将换为，换为，依次化简判断： A、，分式值改变，不符合题意； B、，分式值改变，不符合题意； C、，替换后与原分式相等，分式值不变，符合题意； D、，分式值改变，不符合题意． 8. 小明同学利用人工智能设计了一款游戏，计算机屏幕上随机地出现一些图形，若过定点的直线与图形的边（包含顶点）有交点，则称图形被“击中”．当屏幕上出现如图所示的正方形时，点，，轴，直线 “击中”正方形，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形，点，，轴，确定，，根据直线经过点A，点C是直线击中正方形的临界点，结合一次函数的性质，求解即可； 【详解】解：根据正方形，点，，轴， 得，， 当直线 “击中”正方形的点，则， 解得； 故直线从此位置向右移动时，都能击中正方形，k的值逐渐变大； 当直线 “击中”正方形的点，则， 解得； 故直线从此位置向左移动时，都能击中正方形，k的值逐渐变小； 故k的取值范围是； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：________ 【答案】 【解析】 【分析】根据，求解即可； 【详解】解：； 10. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解． 【详解】解：两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为， ， 两种小麦长势更整齐的是甲， 故答案为：甲． 11. 开放性题请写出一个图象经过，且y随x增大而增大的一次函数表达式：______________________． 【答案】（答案不唯一，写成的形式并保证即可） 【解析】 【分析】根据“随增大而增大的一次函数”，可设一次函数的解析式，把代入，解出的值，即可作答． 【详解】解：∵随增大而增大， ∴可设一次函数的解析式（即可）， ∵一次函数过点， ∴把代入， 得， ∴（答案不唯一）． 12. 如图，在不锈钢制的矩形框架中，对角线长为，现取上一点N和的中点M进行固定（即用钢材将M、N两点连接），若，则需要的钢材的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接交于点O，首先利用矩形的性质得到，然后结合得到，然后利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，即点N是的中点， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 【详解】解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 14. 如图，在等腰三角形中，是底边上一动点，作交于点，交于点．给出下面四个结论： ①四边形是平行四边形； ②； ③若点运动至中点，则四边形是菱形； ④若，连结，则的最小值为 上述结论中，正确结论的序号是___________． 【答案】④ 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定即可知①正确；由平行四边形的性质得和，结合平行和等腰三角形的性质即可得，则，已知等腰三角形，那么，与不一定相等，则②错误；证明，由全等三角形的性质得出，结合①得出四边形是菱形，则③正确；证明平行四边形是矩形，则，根据时，最小，进而可判断④正确 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，则①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵三角形为等腰三角形， ∴， ∴， 则， ∴， ∵三角形为等腰三角形， ∴与不一定相等，则②错误； 如图， ∵点运动至中点，则, ∵，， ∴,, ∴, ∴, 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，则③正确； 如图，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵时，最小， ∴此时最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则④正确． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 16. 有这样一道题：工程队检修一条长自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，工程队每小时检修管道长度是原计划的倍，结果提前小时完成任务．求工程队原计划每小时检修管道多少米．聪聪和小明的部分解答过程如下： 聪聪 小明 解：设工程队原计划每小时检修管道x米． 根据题意，得： … 解：设 ． 根据题意，得： … （1）根据表格信息回答问题：聪聪所列方程中的 表示的是 ，小明所设未知数y表示的是 ； （2）选择一种方法并写出完整的解答过程． 【答案】（1）实际检修所用时间；工程队原计划完成自来水管道检修任务的时间； （2）选聪聪解法： 解：设原计划每小时检修米 两边同乘： 解得， 检验：时，是分式方程的解， 答：原计划每小时检修管道50米； 选小明解法： 解：设原计划用小时完成，则实际用小时， 根据题意，得 解得， 检验：时，是分式方程的解， （米） 答：原计划每小时检修管道50米； 【解析】 【分析】（1）根据时间等于工作量除以工作效率，解答即可； （2）根据解分式方程的基本步骤求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在平行四边形中， E、F是对角线上的两点，于点E， 于点 F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，直接写出四边形的面积 ． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形 ， ∴， ，， ， ， 在与中 ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）48 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质，结合三角形的全等判定和性质，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据平行四边形的性质，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据，且， ， ， ， 故平行四边形的面积为：； 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与直线 交于点A． （1）在平面直角坐标系中画出一次函数的图象，并求点A 的坐标； （2）当时，直接写出x的取值范围 ． 【答案】（1）解： （2） 【解析】 【分析】（1）根据画图象的基本步骤作图即可； （2）利用数形结合思想求解即可； 【小问1详解】 解：当时，；当时，； 图略； 根据题意，得，解得， 故； 【小问2详解】 解：根据题意，得，得， 故当时，直接写出x的取值范围． 19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定网格中按下列要求作图并回答问题． （1）直接写出的长； （2）在图①中，作一格点，连结、，使四边形是菱形； （3）在图②中，作一格点（不在上且不与点、重合），连结、，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取点，利用勾股定理求解即可； （2）结合（1）可知，且，根据菱形的性质在点右侧5个单位处取点即满足题意； （3）结合（2）菱形的性质即可知点位于直线上． 【小问1详解】 解：取点，如图， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 长春市体育中考改革，引体向上新纳入男生力量选考项目，某校体育老师从八年一班抽取10名男生开展为期一个月的引体向上专项训练，记录每个人训练前、后有效完成引体向上个数（单位：个） 训练前：5，6，6，7，8，9，10，11，12，14． 训练后：7，9，10，10，a，12，13，13，14，15． 根据以上数据，绘制如下不完整的表格，根据信息，解答问题： 平均数 众数 中位数 方差 训练前 8.8 6 m 7.76 训练后 n 10 11 5.61 （1） ， ， ； （2）根据《国家学生体质健康标准》，八年级男生引体向上达到10个为“及格”，达到12个为“良好”．老师制定了“及格率，良好率”的训练目标．请根据训练后数据，判断这两个目标是否达成，并说明理由． （3）由于统计失误，老师发现将一名学生训练后的成绩“14”误输入为“16”，则下列统计量不发生变化的有 ．（选出所有正确的选项） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】（1） （2）及格个，不达标的有7，9共2人，及格率，及格率目标不达标； 良好个，达标的有12，13，13，14，15共5人，良好率，良好率目标达标； （3）BC 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数和平均数的定义求解即可； （2）根据题意计算即可求解； （3）根据众数、中位数、平均数和方差的定义即可判断． 【小问1详解】 解：∵训练后众数为10， ∴； 训练前，排在中间的两个数分别是8和9， ∴； 训练后，； 【小问2详解】 解：及格个，不达标的有7，9共2人，及格率，及格率目标不达标； 良好个，达标的有12，13，13，14，15共5人，良好率，良好率目标达标． 【小问3详解】 解：误输入后的数据7，9，10，10，10，12，13，13，15，16． A、平均数：总和变大，平均数变大，发生变化； B、中位数：原中位数，新中位数，不变； C、众数：原众数是10，新众数还是10，不变； D、方差：数据波动变大，方差变大，发生变化； 所以不发生变化的是BC． 21. 共享电动车是一种服务于中短距离的交通工具，主要面向的出行市场．现有A、B两种品牌的共享电动车，收费y（元）与骑行时间之间的对应关系如图所示，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应．根据信息回答下列问题： （1）A品牌收费规则是每分钟 元，当 ，两种品牌的收费相同； （2）当骑行时间， 求关于x的函数关系式； （3）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择 品牌共享电动车更省钱（填“A”或“B”），可以节约 元． 【答案】（1）； （2） （3）B；1 【解析】 【分析】（1）由图可知A品牌骑行20分钟收费8元，故单价为元/分钟；当时两品牌收费相同． （2）当时，为一次函数，代入、解得，，故． （3）路程，速度，用时25分钟．A品牌费用元；B品牌元，B更省钱，节约1元． 【小问1详解】 解：由图可知，A品牌收费（元）是关于骑行时间的一次函数， 当骑行时，收费元， A品牌收费规则是每分钟元； 由图可知，当时，两种品牌的收费相同． 【小问2详解】 解：由图可知，当时，是关于的一次函数关系， 当时，可设，代入， 可得，解得， ， 【小问3详解】 解：由题意得，小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为， 小明家到工厂的时间为， 由（1）可知，A品牌收费规则是每分钟元； 小明家到工厂A品牌收费为元； 由（2）可知，， 将代入得，， 小明家到工厂B品牌收费为元； 小明选择B品牌共享电动车更省钱，可以节约元． 22. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，在 中，点D、E分别是边、的中点． 求证： （方法一） 证明：如图，过点C作，且与的延长线交于点 F． （方法二） 证明：如图，延长到点 F，使得 ，连结 、、． （1）选择上表中的一种方法，完成三角形中位线定理的证明； （2）如图①，点P在的外部，且与点A位于直线的两侧，连结、， 点G、H分别是、 的中点，连结、、，得到四边形．则四边形的形状为 ； （3）如图②，点P在的内部或边上时， 连结， 其它条件同（2）． ①若，， 四边形的周长是 ； ②若点 P在边的高线上运动（不含点），的面积为10，，设四边形的周长为L，直接写出L 的取值范围是 ． 【答案】（1）情况1：选方法一 证明：过点C作，且与的延长线交于点 F． ， ， ∵是中点， ∴， 在和中，， ∴， ，， 点D是的中点， ， ，且， 四边形是平行四边形， ， ． 情况2：选方法二 证明：延长至，使，连结 、、， ∵是中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴，又， ∴四边形是平行四边形 ， ∴，， ∵， ∴，． （2）平行四边形 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）方法一：过点作交延长线于，由平行线得，结合和对顶角，证，得，．由为中点得，故且，四边形为平行四边形，得，，故，． 方法二：延长至使，证，得，，推出且，得四边形为平行四边形，得，，故，． （2）由分别为中点，得，．由分别为中点，得，．因此且，故四边形为平行四边形． （3）由中位线性质得且，故四边形为平行四边形，，且．由分别为中点得，周长． ②设为边上的高，由面积，得．点在边的高线上运动（不含点），故．由中位线得，，周长，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点D、E分别是边、的中点 是的中位线， ， 点G、H分别是、 的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 【小问3详解】 ①由（2）同理得，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 点D、G分别是边、的中点 是的中位线， ， 四边形的周长是． ②如图，是边的高， 的面积为10，， ，解得， 点 P在边的高线上运动（不含点）， ， 同理可得，四边形是平行四边形，， 四边形的周长为， L 的取值范围是． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）将直线沿y轴方向平移，使平移后的直线与x轴交于点 C，且，求平移后的直线表达式； （3）在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数：；反比例： （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，求解即可； （2）根据，得到，继而得到；确定或，根据平移求解即可； （3）根据题意，得或；当点P在直线上时，得或， 当点P在直线上时，得或，求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． ，， 解得，， 故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据，得， ； 或， 设平移后的解析式为， 当直线经过时，得，解得； 当直线经过时，得，解得； 故平移后的函数解析式为或； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 则，， 根据题意，得， ， ， ， 或 当点P在直线上时，得或 解得或， 故点P的坐标为或； 当点P在直线上时，得或 解得或， 故点P的坐标为或； 综上所述，符合要求的点P的坐标为； 24. 数学兴趣小组利用一个直角三角尺（含有）和一个正方形卡纸进行探究活动．将等腰直角三角形的直角顶点与正方形的顶点A重合，从图①所示的位置开始（即点B在上时），绕点A逆时针旋转，旋转角度为． （1）当时，如图②，若点E恰好落在射线上，发现此时点F落在正方形的边上．证明过程如下： 证明：连结、． 在正方形及等腰直角三角形中， 证明过程缺失 ∴． ∵点E 在直线 上， ∴， ∴． ∵， ∴点F在 上． 补全上述证明过程缺失部分． （2）当时， 如图③，若斜边恰好经过点 B， 连结． 求的度数； （3）当时，若斜边恰好经过点B，连结． 延长、交于点 G，连结．若， ，直接写出的长 ． 【答案】（1）在正方形及等腰直角三角形中， ，， ∴，即， 在与中， ， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由正方形和等腰直角三角形性质，利用边角边证明即可； （2）由（1）同理可得，则，故； （3）由旋转全等得，设，由勾股定理，解得或，结合图形位置取，延长与交于，由角度关系得为等腰直角三角形，故，．作，由得．作，利用面积法求，再由勾股定理求，，最后在由勾股定理得．另一位置同理可得结果为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等腰， ， 由（1）同理可得，， ， ． 【小问3详解】 解：如图，当斜边恰好经过点B，连结． 延长、交于点 G，连结， 过作，交于，过作交于，交于， 由（1）可得，， ， 由（2）可得，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 在正方形及等腰直角三角形中， ， 设， 在中， ，即， 解得或， 由图可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中， ； 如图，当斜边恰好经过点B，连结． 延长、交于点 G，连结， 过作，交的延长线于，过作交的延长线于，交延长线于， 同理可得，，， ， ， ， ， 在中， ； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $