专题03 用反比例函数解决问题（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦用反比例函数解决实际问题，系统梳理从建立模型（核心等量关系xy=k，k>0）、写出解析式并标注自变量范围，到结合图像读取信息、利用增减性解决最值等问题的完整脉络，涵盖行程、销售、压强等多领域情境，搭建递进式学习支架。 资料以跨学科情境（物理做功、化学溶液浓度等）为载体，通过典例与变式题训练，培养学生抽象能力（从实际问题提炼反比例关系）、模型意识（构建函数模型）和应用意识。课中助力教师分层教学，课后辅助学生通过巩固训练查漏补缺，提升解决实际问题能力。

专题03 用反比例函数解决问题 1、根据实际情境建立反比例函数模型，抓住核心等量关系：两个变量乘积为定值，即 xy=k(k>0)。 2、写出实际问题中反比例函数解析式，并标注自变量取值范围；实际问题中长度、时间、速度等均为正数。3、利用反比例函数解析式求值，已知一个变量，代入求另一个变量；已知一组对应值求比例系数 k。 4、结合反比例函数图像解决实际问题 图像只取第一象限的一支，会从图像读取信息、看图求值。 5、利用反比例函数增减性解决最值、范围比较问题 如时间最少、速度最大、材料最少等实际最值问题。 6、结合图像分析实际问题 不会读图：分不清横、纵轴实际含义；不会利用图像增减性解释实际变化规律。 反比例函数相关的实际问题中的核心等量关系 行程：vt=s（其中：v为速度，t为时间，s为路程，s为定值）； 销售：xy=m（其中：x为单价，y为数量，m为总价，m为定值）； 压强公式：，（其中：p为压强，S为受力面积，F为压力，F为定值）； 杠杆原理：F1 L1 = F2L2（其中：F1为动力， L1为动力臂， F2为阻力，L2为阻力臂）； 矩形面积：ab=S（其中：a为长，b为宽，S为面积，S为定值）； 圆锥体积：，（其中：S为圆锥的底面积，h为圆锥的高，V为圆锥的体积，V为定值）。 题型01 反比例函数的实际应用-做功问题 【典例】（2026·湖北·模拟预测）在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：W）与做功时间（单位：s）成反比例，功率与做功时间之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山西吕梁·模拟预测）在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示．当时，P的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北黄冈·模拟预测）在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间（单位：）是充电功率（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．若该新能源电动车每次充满电需要，则充电时的充电功率范围是（    ）． A． B．以内 C． D．以上 题型02 反比例函数的实际应用-压强问题 【典例】（2026·辽宁大连·二模）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（）与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强P（）是时，木板面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压与气体体积成反比例函数，其图像经过点，则当气体体积为时，气压为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北张家口·一模）一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（   ） A．函数解析式为： B．当体积为5升时，压强为80千帕 C．体积越大，对应的压强越大 D．当压强为200千帕时，体积为2升 题型03 反比例函数的实际应用-其他力学问题 【典例】（2026·河北沧州·模拟预测）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 【变式1】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【变式2】（2026·辽宁丹东·一模）物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 【变式3】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度V（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_______． 题型04 反比例函数的实际应用-电学问题 【典例】（2026·湖北咸宁·模拟预测）图①是某电路图，滑动变阻器为R，电源电压恒为U，电功率为，P关于R的函数图象如图②所示．两次调节电阻，发现当时，，则当时，P的值为______W． 【变式1】（2026·河南周口·二模）智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作．图1为某款智能机器人送餐时的电路原理图，图中为电阻箱（一种变阻器，电阻阻值大小可调），R为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值R（单位：Ω）随所受压力F（单位：N）变化的函数图象如图2所示，下列说法不正确的是（    ） 信息窗 1．正常运行时，电路中的（触发器电阻忽略不计），要求不低于120Ω； 2．智能机器人送餐一次的最大送餐量的压力F为200N． A．当时，压力传感器阻值 B．压力传感器阻值R随所受压力F的增大而减小 C．当时，压力传感器所受压力 D．当智能机器人正常运行时，电阻箱阻值可以为110Ω 【变式2】（2026·辽宁沈阳·一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时，I的取值范围是 D．当时， 【变式3】（2026·河南·二模）在一次物理实验中，小华用一个固定电压的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电路中电流的大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻间的关系为，通过实验得出如下数据： ．．． 1 3 4 6 ．．． ．．． 4 3 2.4 2 ．．． 结合函数图象，下列说法中不正确的是（   ） A．固定电压的值为12 B．是关于的反比例函数 C．的值为的值为1.5 D．随的增大而减小 题型05 反比例函数的实际应用-光学问题 【典例】（2026·广东茂名·二模）如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到了0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ） A．400度 B．300度 C．200度 D．100度 【变式1】（2026·内蒙古乌海·二模）某天，小颖爷爷像往常一样用收音机收听所在地区的音乐广播，其电台发出的广播的频率（）和波长（）之间满足表达式，已知该地区的音乐广播的波长约在，若小颖爷爷能收听到该地区的音乐广播，则收音机所调的频率范围是______（结果精确为整数）． 【变式2】（2026·山西吕梁·一模）通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）是距离（单位：）的反比例函数．已知距离该通信信号塔的区域，信号强度为；当小张同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为__________． 【变式3】（2026·辽宁鞍山·一模）近视眼镜（凹透镜）的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，关于的函数图象如图所示．小鹏同学的镜片焦距为米时，眼镜度数为度，经过一段时间的矫正治疗后，小鹏同学的镜片焦距变为米，此时眼镜的度数为________． 题型06 反比例函数的实际应用-饮水机加热问题 【典例】（2025·广西南宁·一模）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【变式1】（2025·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    【变式2】（2026·山东临沂·一模）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度下加热水箱中的水；当水温达到设定温度时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到时，再次自动加热水箱中的水至时，加热停止；当水箱中的水温下降到时，再次自动加热，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度．（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整： 下表记录了内14个时间点的温控水箱中水的温度随时间的变化情况 接通电源后的时间（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 水箱中水的温度 （单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 50 64 40 20 (1)的值为___________；(2)①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度随时间变化的函数图象；②求出当时最符合表中数据的函数解析式；(3)如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第9次达到时，距离接通电源_____min． 【变式3】（25-26九年级上·安徽池州·期中）某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：    (1)填空：的值为_______；(2)求线段对应的函数解析式； (3)在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度． 题型07 反比例函数的实际应用-化学问题 【典例】（2026·湖南郴州·二模）已知溶液中溶质的质量溶液质量浓度．小明用如图所示坐标系中的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四种溶液的质量与其浓度的情况，其中甲、丙在反比例函数图象上，则四种溶液的溶质质量最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】（2026·广西防城港·一模）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系． 时间天 3 5 6 9 硫化物的浓度 4.5 2.7 2.25 1.5 则下列说法错误的是（    ） A．在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 B．在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 C．该企业所排污水中硫化物的浓度可在第10天降为 D．该企业所排污水中硫化物的浓度不可能在15天以内实现不超过最高允许的的要求 【变式2】（2026·四川南充·一模）日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·陕西榆林·模拟预测）细胞的相对表面积是指细胞的表面积与其体积的比率，它与细胞的大小和生理功能紧密相关，在生物学中，细胞的相对表面积（单位：）与细胞的半径（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示．当细胞的相对表面积为时，细胞的半径为______． 题型08 反比例函数的实际应用-环境消杀问题 【典例】（25-26九年级上·河北石家庄·月考）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值；(2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间：(3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【变式1】（24-25八年级下·重庆·月考）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力；(2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题：(1)求药物燃烧时y与x的函数关系式；(2)求药物燃烧后y与x的函数关系式；(3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 题型09 反比例函数的实际应用-其他问题 【典例】（2026·福建宁德·一模）物理兴趣小组在实验室开展“加速度与质量关系”的验证实验．在力恒定的条件下，物体的加速度（单位：）与质量（单位：）满足反比例函数．为保证实验安全，质量控制在范围内．若，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】（2026·辽宁沈阳·一模）为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服质量不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北随州·一模）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积V（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当容器的体积满足时，气体的密度可以是（   ）． A．2 B．6 C．10 D．14 【变式3】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【变式4】（25-26九年级下·江西上饶·期中）在资源有限的环境中，某种动物的种群密度D与其平均个体活动领域面积S成反比，即（k为常数）．在某片森林中，当该动物的平均个体活动领域面积为平方公里时，其种群密度为每平方公里25只．则常数k的值为_________． 【变式5】（25-26九年级下·辽宁大连·月考）视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度（   ） A．40度 B．50度 C．80度 D．4000度 【变式6】（25-26八年级下·山东济南·期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值；(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【变式7】（25-26八年级下·山西·期中）综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 【巩固训练】 1．（2026·湖北·模拟预测）在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，（单位：）与（单位：）之间的函数关系如图所示．当时，的值可以是（  ）    A．18 B．28 C．38 D．48 2．（2026·山西阳泉·一模）在电压恒定、电功不变的条件下，物理小组利用小电动机提升同一重物，研究“用电器电流I与通电时间t”的关系，记录了5组实验数据如下表：经分析，I与t满足某种函数关系，则I与t的函数关系式为（   ） 电流I（安） 0.4 1.0 1.6 2.0 2.5 时间t（秒） 25 10 6.25 5 4 A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·四川成都·月考）二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率（赫兹）与长度（米）近似成反比例关系，即（为常数，）．若某一振动弦的共振频率为320赫兹，长度为0.5米，如果为400赫兹，则是_____米． 4．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 5．（2026·山西大同·二模）每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为_____厘米． 6．（2026·广东江门·一模）如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系．当时，则二氧化碳的密度为________． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于时，电流I可能是_________A． 8．（2026·辽宁葫芦岛·一模）在某玩具车功率不变的情况下，行驶速度（单位：）与所受牵引力（单位：）是反比例函数关系．当时，当玩具车的速度是时，玩具车受到的牵引力是 __________ N． 9．（2026·陕西西安·三模）某段视频的完整时长为，当以倍速播放时，实际播放时间（单位：）与的函数关系式为．若该视频以3倍速播放，则实际播放时间为_______． 10．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为________． 11．（25-26八年级下·河南周口·期中）根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式．(2)若火焰的像高为，求此时的物距． 12．（2026·贵州遵义·一模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力与其运动速度的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重 … 10 15 20 30 … 速度 … 6 5 4 3 2 … (1)表格中的值为 ；(2)在图中坐标系中描出表中相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (3)某次任务要求机器狗在内将货物运送至外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【强化训练】 1.（2026·河南周口·一模）某康复中心对房间进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间的变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现两段函数图象（部分图象），其中段为渐深消毒阶段，用一次函数刻画，段是反比例函数（）图象的一部分，为降解消毒阶段．下列结论错误的是（    ） A．当，y随x的增大而增大 B．当消毒后60分钟时，消毒效果为3效力 C．消毒过程中消毒效果为4效力及以上的持续时长为28分钟 D．当消毒后20分钟时，消毒效果为效力 2.（25-26九年级下·山东泰安·期中）现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示，平行于R轴的直线l分别交两图象于点A，B，过点A，B分别作R轴的垂线，垂足为C，D，图中阴影部分的面积是20，则下列说法正确的是（    ） A．经过用电器的电流的差值为 B．两款蓄电池的电压的差值为 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值为 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值为 3．（2026·广东深圳·二模）如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（    ） A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 4．（2026·广西南宁·一模）《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少．现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A．平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数 B．当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加 C．当时，平均每人分到粮食12千克 D．这批粮食总量有500千克 5．（2026·内蒙古通辽·一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 6．（2026·贵州遵义·一模）小红同学学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高y（单位：）与物距（小孔到物体的距离）x（单位：）的几组数据． 像高y（单位：） 1.5 2 3 5 物距x（单位：） 8 6 4 2.4 (1)已知像高y与物距x之间是反比例函数关系，请求出该函数关系式；(2)当像高为时，物距是多少厘米？(3)因为实验器材限制，物距（x）不能超过为，则像高（y）的范围是__________． 7．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 8．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】(2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】(3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 9．（2026九年级下·广东清远·学业考试）在环境科学领域的一定条件下，某污染区域的净化时间（单位：小时）与净化设备的功率（单位：千瓦）存在着某种函数关系，部分对应值如表所示： 净化设备的功率（千瓦） ．．． 90 60 45 36 ．．． 净化时间t（小时） ．．． 2 3 4 5 ．．． (1)请根据表中给出的数据，求与之间的函数关系式． (2)若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要多少千瓦？ 10．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值；(2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 用反比例函数解决问题 1、根据实际情境建立反比例函数模型，抓住核心等量关系：两个变量乘积为定值，即 xy=k(k>0)。 2、写出实际问题中反比例函数解析式，并标注自变量取值范围；实际问题中长度、时间、速度等均为正数。3、利用反比例函数解析式求值，已知一个变量，代入求另一个变量；已知一组对应值求比例系数 k。 4、结合反比例函数图像解决实际问题 图像只取第一象限的一支，会从图像读取信息、看图求值。 5、利用反比例函数增减性解决最值、范围比较问题 如时间最少、速度最大、材料最少等实际最值问题。 6、结合图像分析实际问题 不会读图：分不清横、纵轴实际含义；不会利用图像增减性解释实际变化规律。 反比例函数相关的实际问题中的核心等量关系 行程：vt=s（其中：v为速度，t为时间，s为路程，s为定值）； 销售：xy=m（其中：x为单价，y为数量，m为总价，m为定值）； 压强公式：，（其中：p为压强，S为受力面积，F为压力，F为定值）； 杠杆原理：F1 L1 = F2L2（其中：F1为动力， L1为动力臂， F2为阻力，L2为阻力臂）； 矩形面积：ab=S（其中：a为长，b为宽，S为面积，S为定值）； 圆锥体积：，（其中：S为圆锥的底面积，h为圆锥的高，V为圆锥的体积，V为定值）。 题型01 反比例函数的实际应用-做功问题 【典例】（2026·湖北·模拟预测）在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：W）与做功时间（单位：s）成反比例，功率与做功时间之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设与之间的函数关系式为， ∵函数图象经过点，∴， 解得，∴与之间的函数关系式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小，∴当时，， 观察选项，只有在此范围内．故选：B． 【变式1】（2026·山西吕梁·模拟预测）在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示．当时，P的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，把代入得，∴，∴， ∵，∴当时，P随t的增大而减小，当时，，∴当时，． 【变式2】（2026·湖北黄冈·模拟预测）在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间（单位：）是充电功率（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．若该新能源电动车每次充满电需要，则充电时的充电功率范围是（    ）． A． B．以内 C． D．以上 【答案】C 【详解】解：设反比例函数的解析式为，将点代入，得，， 解得，∴反比例函数的解析式为， 将代入，得，将代入，得， ∵，又∵随的增大而减小，∴，∴充电时的充电功率范围是． 题型02 反比例函数的实际应用-压强问题 【典例】（2026·辽宁大连·二模）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（）与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强P（）是时，木板面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设压强与木板面积的函数解析式为． ∵函数图象过点， ∴， ∴， ∴函数解析式为． 当时， ， ∴． 【变式1】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压与气体体积成反比例函数，其图像经过点，则当气体体积为时，气压为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与成反比例函数， ∴设 ，将点代入解析式得，解得， ∴函数解析式为，当 时，． 【变式2】（2026·河北张家口·一模）一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（   ） A．函数解析式为： B．当体积为5升时，压强为80千帕 C．体积越大，对应的压强越大 D．当压强为200千帕时，体积为2升 【答案】C 【详解】解：∵p与V成反比例函数关系；∴设 将，代入得 ，解得，∴函数解析式为； 当时，千帕，∵，且体积 ∴p随V的增大而减小，即体积越大，压强越小； 当时，，解得；综上，只有选项C错误. 题型03 反比例函数的实际应用-其他力学问题 【典例】（2026·河北沧州·模拟预测）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∴当时，F随L的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，∵L最大为， ∴若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是，故C正确，不符合题意； 当原物体重量增加，，则，故D错误，符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【答案】C 【详解】解：由图象中数据发现：，拉力与距离的乘积不变， 拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意； 由图象可得，当的长增大时，拉力在减小，故B正确，不符合题意； 由图象知，当时，，当时，，当时，，， 的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意； 当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意． 【变式2】（2026·辽宁丹东·一模）物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 【答案】18 【详解】解：由题意得，设和阻力臂的函数解析式为， 将代入，得， ∵阻力阻力臂动力动力臂，动力，∴动力为18． 【变式3】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度V（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_______． 【答案】4 【详解】解：设，由图象可知，反比例函数经过点， ，解得：，，当时，， 即当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为． 题型04 反比例函数的实际应用-电学问题 【典例】（2026·湖北咸宁·模拟预测）图①是某电路图，滑动变阻器为R，电源电压恒为U，电功率为，P关于R的函数图象如图②所示．两次调节电阻，发现当时，，则当时，P的值为______W． 【答案】5 【详解】解：由得，将，代入，得， 函数解析式为 ，当时，． 【变式1】（2026·河南周口·二模）智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作．图1为某款智能机器人送餐时的电路原理图，图中为电阻箱（一种变阻器，电阻阻值大小可调），R为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值R（单位：Ω）随所受压力F（单位：N）变化的函数图象如图2所示，下列说法不正确的是（    ） 信息窗 1．正常运行时，电路中的（触发器电阻忽略不计），要求不低于120Ω； 2．智能机器人送餐一次的最大送餐量的压力F为200N． A．当时，压力传感器阻值 B．压力传感器阻值R随所受压力F的增大而减小 C．当时，压力传感器所受压力 D．当智能机器人正常运行时，电阻箱阻值可以为110Ω 【答案】C 【详解】解：A.由图得，当时，,所以压力传感器阻值正确，此选项正确，故不符合题意； B. 由图得，压力传感器阻值R随所受压力F的增大而减小，此选项正确，故不符合题意； C. 由图得，当时，压力传感器所受压力，此选项错误，故符合题意； D. 因为智能机器人送餐一次的最大送餐量的压力F为200N，所以由图得可以取，因为要求不低于120Ω，所以，即，此时，当智能机器人正常运行时，电阻箱阻值可以为110Ω，此选项正确，故不符合题意． 【变式2】（2026·辽宁沈阳·一模）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时，I的取值范围是 D．当时， 【答案】A 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点，∴，∴， ∴I与R的函数关系式是，故B正确，不符合题意； 当时，，故D正确，不符合题意； ∵，∴在第一象限，I随R增大而减小，∴当时，，故A错误，符合题意； 当时，的取值范围是，故C正确，不符合题意． 【变式3】（2026·河南·二模）在一次物理实验中，小华用一个固定电压的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电路中电流的大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻间的关系为，通过实验得出如下数据： ．．． 1 3 4 6 ．．． ．．． 4 3 2.4 2 ．．． 结合函数图象，下列说法中不正确的是（   ） A．固定电压的值为12 B．是关于的反比例函数 C．的值为的值为1.5 D．随的增大而减小 【答案】B 【详解】解：由题意得，，当，时，， ∴关于的函数解析式为，但不是反比例函数，故A正确，B不正确； 当时，，解得；当时，，故C正确； 由函数图象可得，随的增大而减小，故D正确． 题型05 反比例函数的实际应用-光学问题 【典例】（2026·广东茂名·二模）如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到了0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ） A．400度 B．300度 C．200度 D．100度 【答案】B 【详解】解：设，将代入，得，解得，∴， 将代入，得，（度）∴近视眼镜减少的度数为300度． 【变式1】（2026·内蒙古乌海·二模）某天，小颖爷爷像往常一样用收音机收听所在地区的音乐广播，其电台发出的广播的频率（）和波长（）之间满足表达式，已知该地区的音乐广播的波长约在，若小颖爷爷能收听到该地区的音乐广播，则收音机所调的频率范围是______（结果精确为整数）． 【答案】 【详解】解：由题意可知，， 当时，；当时，， 因此，若小颖爷爷能收听到该地区的音乐广播，收音机所调的频率范围是． 【变式2】（2026·山西吕梁·一模）通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度（单位：）是距离（单位：）的反比例函数．已知距离该通信信号塔的区域，信号强度为；当小张同学在距离该通信信号塔处时，信号强度为__________． 【答案】5 【详解】解：设反比例函数，已知距离该通信信号塔的区域，信号强度为， ，解得，，又时，，所以，此时信号强度为． 【变式3】（2026·辽宁鞍山·一模）近视眼镜（凹透镜）的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，关于的函数图象如图所示．小鹏同学的镜片焦距为米时，眼镜度数为度，经过一段时间的矫正治疗后，小鹏同学的镜片焦距变为米，此时眼镜的度数为________． 【答案】 【详解】解：由已知设与的函数关系式为， 把代入，得，解得，， 当时，有，即小鹏此时眼镜的度数为． 题型06 反比例函数的实际应用-饮水机加热问题 【典例】（2025·广西南宁·一模）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意；B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得，水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为，令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意．故选：D． 【变式1】（2025·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    【答案】12 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得，解得，， 设反比例函数关系式为：，将代入，得，， 中，令，解得；反比例函数中，令，解得：， （min），水温不低于的时间为min．故答案为：． 【变式2】（2026·山东临沂·一模）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度下加热水箱中的水；当水温达到设定温度时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到时，再次自动加热水箱中的水至时，加热停止；当水箱中的水温下降到时，再次自动加热，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度．（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整： 下表记录了内14个时间点的温控水箱中水的温度随时间的变化情况 接通电源后的时间（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 水箱中水的温度 （单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 50 64 40 20 (1)的值为___________；(2)①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度随时间变化的函数图象；②求出当时最符合表中数据的函数解析式；(3)如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第9次达到时，距离接通电源_____min． 【答案】(1)80(2)①图象见解析；②(3)66 【详解】（1）解：由题意可知，阶段，为加热，且每分钟水温上升， 又，∴20分钟时，对应的水温为，即； （2）解：①图象如下： ②由表格，可知，∴当时，， 由表格，可知，当，y是x的一次函数，由题意，， 设，代入，得，∴， ∴； （3）解：由表格和图象可知，每16分钟一循环，在第一个16分钟，当和时，水温为， 故每个16分钟，有2次水温为，第9次为第5个16分钟的第1次，此时（分钟）． 【变式3】（25-26九年级上·安徽池州·期中）某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：    (1)填空：的值为_______；(2)求线段对应的函数解析式； (3)在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度． 【答案】(1)21(2)(3) 【详解】（1）解：∵线段轴，且点的纵坐标为100， ∴，解得，故答案为：21； （2）解：设线段的解析式为， 把代入得，，解得， ∴线段的解析式为； （3）解：在中，当时，，解得， 在中，当时，，解得，∴， ∴在图中所示的温度变化过程中，可进行零件加工的时间长度为． 题型07 反比例函数的实际应用-化学问题 【典例】（2026·湖南郴州·二模）已知溶液中溶质的质量溶液质量浓度．小明用如图所示坐标系中的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四种溶液的质量与其浓度的情况，其中甲、丙在反比例函数图象上，则四种溶液的溶质质量最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：∵溶质的质量溶液质量浓度，甲、丙在反比例函数图象上， ∴甲、丙两种溶液的溶质的质量相等，∵乙在函数图象上方，丁在函数图象下方， ∴乙种溶液的溶质的质量>甲、丙两种溶液的溶质的质量，丁种溶液的溶质的质量<甲、丙两种溶液的溶质的质量，∴四种溶液的溶质质量最大的是乙． 【变式1】（2026·广西防城港·一模）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系． 时间天 3 5 6 9 硫化物的浓度 4.5 2.7 2.25 1.5 则下列说法错误的是（    ） A．在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 B．在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 C．该企业所排污水中硫化物的浓度可在第10天降为 D．该企业所排污水中硫化物的浓度不可能在15天以内实现不超过最高允许的的要求 【答案】D 【详解】解：当时，设函数关系式为， 把代入，得，解得， ∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；故A正确； 当时，由表格可知的值保持不变，设，把代入，得； ∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为，故B正确； 当时，， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度可在第10天降为；故C正确； 当时，， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内实现不超过最高允许的的要求；故D错误； 【变式2】（2026·四川南充·一模）日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可知，氯化钠的质量为， ∵甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上，∴甲、丙两瓶盐水中氯化钠的质量相同，即 ， 如图，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，则 ，∴大小关系为． 【变式3】（2026·陕西榆林·模拟预测）细胞的相对表面积是指细胞的表面积与其体积的比率，它与细胞的大小和生理功能紧密相关，在生物学中，细胞的相对表面积（单位：）与细胞的半径（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示．当细胞的相对表面积为时，细胞的半径为______． 【答案】 【详解】解：设细胞的相对表面积（单位：）与细胞的半径（单位：）的反比例函数关系式为，将图中代入得，， 当时，，故细胞的半径为． 题型08 反比例函数的实际应用-环境消杀问题 【典例】（25-26九年级上·河北石家庄·月考）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值；(2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间：(3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)，(2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设，把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，，∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，∴设反比例函数式为， 把点代入中，得，∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，，∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得，即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·月考）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力；(2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3(2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3，故答案为：3． （2）解：当时，设直线的函数关系式为，结合和， 利用根据题意，得，解得，所以．根据题意，得反比例函数经过点， 当时，设反比例函数的解析式为，故，解得，故． （3）解：根据解析式为，，当时，；当时，； 持续时长为．故本次消毒有效． 【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式；(2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1)(2)(3)对病毒有作用的时间长为分钟 【详解】（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：，燃烧时的函数关系式为； （2）解：设燃烧后函数解析式为，由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3）解：由题意得： 解得：，（分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 题型09 反比例函数的实际应用-其他问题 【典例】（2026·福建宁德·一模）物理兴趣小组在实验室开展“加速度与质量关系”的验证实验．在力恒定的条件下，物体的加速度（单位：）与质量（单位：）满足反比例函数．为保证实验安全，质量控制在范围内．若，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：在力恒定的条件下，物体的加速度（单位：）与质量（单位：）满足反比例函数，∴加速度随质量的增大而减小， 又，，∴当时，加速度有最大值，最大值为． 【变式1】（2026·辽宁沈阳·一模）为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服质量不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为， 从图上可以看出图象过点，将其代入得，解得， ∴，当时，，综合各个选项，只有符合． 【变式2】（2026·湖北随州·一模）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积V（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当容器的体积满足时，气体的密度可以是（   ）． A．2 B．6 C．10 D．14 【答案】B 【详解】解：设，由图象可知过，，则， 在第一象限内，随v的增大而减小，当时，，当时，， ，． 【变式3】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【答案】 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为，把代入得：，解得：，∴点， ∵点坐标为，，轴，∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得：， ∴双曲线的解析式为：，把代入得：， 解得：，∴点，∴．故答案为：． 【变式4】（25-26九年级下·江西上饶·期中）在资源有限的环境中，某种动物的种群密度D与其平均个体活动领域面积S成反比，即（k为常数）．在某片森林中，当该动物的平均个体活动领域面积为平方公里时，其种群密度为每平方公里25只．则常数k的值为_________． 【答案】1 【详解】解：由题意可知 ，， 将，代入得，，解得 ． 【变式5】（25-26九年级下·辽宁大连·月考）视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度（   ） A．40度 B．50度 C．80度 D．4000度 【答案】A 【详解】解：视野角度与车速成反比例函数关系，设 当时，，，，． ∴当时，． 【变式6】（25-26八年级下·山东济南·期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值；(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)，A点对应的指标值为20(2)能，见解析 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为， 由图知，反比例函数过点，代入解析式得，解得， ∴反比例函数的关系式为，当时，，则A点对应的指标值为； （2）解：能．理由：设上升阶段的表达式为， 将代入得：，解得， 上升阶段解析式为，当时，，解得：， 在下降阶段：，解得，，能安排． 【变式7】（25-26八年级下·山西·期中）综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 【答案】(1)；(2)米；(3)符合安全设置要求，理由见解析；(4)米 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为．设反比例函数表达式为，将代入得：，解得， ∴曲线段所在反比例函数的表达式为． （2）解：∵点距离地面竖直高度为米，∴点纵坐标， 将代入得：，解得， ∵点横坐标为，∴、两点水平距离为(米)． 答：、两点间的水平距离为米． （3）解：该位置符合安全设置要求，理由如下： ∵，，点到的水平距离为米，∴点横坐标， 将代入得， ∵，满足“距地面竖直高度不低于3米”的要求，∴该位置符合安全设置要求． （4）解：由题意，点的横坐标为，将代入得：， 因此点距地面的竖直高度为米． 【巩固训练】 1．（2026·湖北·模拟预测）在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，（单位：）与（单位：）之间的函数关系如图所示．当时，的值可以是（  ）    A．18 B．28 C．38 D．48 【答案】A 【详解】解：由题意，把代入，得，∴， ∴当时，，当时，， ∴当时，，∴的值可以是18. 2．（2026·山西阳泉·一模）在电压恒定、电功不变的条件下，物理小组利用小电动机提升同一重物，研究“用电器电流I与通电时间t”的关系，记录了5组实验数据如下表：经分析，I与t满足某种函数关系，则I与t的函数关系式为（   ） 电流I（安） 0.4 1.0 1.6 2.0 2.5 时间t（秒） 25 10 6.25 5 4 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依次计算表格中每组数据的 ： ， ， ， ， ∴I与t的乘积，可发现二者乘积为定值即，整理得． 3．（25-26九年级下·四川成都·月考）二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率（赫兹）与长度（米）近似成反比例关系，即（为常数，）．若某一振动弦的共振频率为320赫兹，长度为0.5米，如果为400赫兹，则是_____米． 【答案】0.4/ 【详解】解：由题意将，代入中，得， ∴，∴，将代入中，得，∴．故答案为：0.4． 4．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）某品牌新能源汽车搭载了一块容量为（千瓦时）的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率（单位：）与充满电所需的时间（单位：）满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的倍，则充满电所需的时间将缩短______（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为， 根据题意，，，又， ，即，解得，，则充满电所需的时间将缩短． 5．（2026·山西大同·二模）每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为_____厘米． 【答案】 【详解】解：∵组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为7厘米， ∴，解得：，∴与之间的函数表达式为，∴当时，，解得：， ∴当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为厘米． 6．（2026·广东江门·一模）如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系．当时，则二氧化碳的密度为________． 【答案】 【详解】解：设反比例函数的解析式为，把代入，得，∴， ∴反比例函数的解析式为，当时，． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于时，电流I可能是_________A． 【答案】 【详解】解：由图像可知电流与电阻是反比例函数关系，电流随电阻的增大而减小，则当电阻R大于时，电流I可能是A． 8．（2026·辽宁葫芦岛·一模）在某玩具车功率不变的情况下，行驶速度（单位：）与所受牵引力（单位：）是反比例函数关系．当时，当玩具车的速度是时，玩具车受到的牵引力是 __________ N． 【答案】4 【详解】解：设v关于F的反比例函数解析式为)， 将，代入解析式，得 ， 解得，∴函数解析式为， 将代入解析式，得 ， 解得（N）． 9．（2026·陕西西安·三模）某段视频的完整时长为，当以倍速播放时，实际播放时间（单位：）与的函数关系式为．若该视频以3倍速播放，则实际播放时间为_______． 【答案】15 【详解】解：当时，，所以实际播放时间为． 10．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为________． 【答案】 【详解】解：因为与成反比例函数关系，所以设，将，代入得：， 因此出水速度与水管横截面积的函数表达式为， 11．（25-26八年级下·河南周口·期中）根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式．(2)若火焰的像高为，求此时的物距． 【答案】(1)(2)此时的物距为 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式． 把，代入，得，关于的函数关系式为． （2）解：把代入，得．答：此时的物距为． 12．（2026·贵州遵义·一模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力与其运动速度的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重 … 10 15 20 30 … 速度 … 6 5 4 3 2 … (1)表格中的值为 ；(2)在图中坐标系中描出表中相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (3)某次任务要求机器狗在内将货物运送至外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【答案】(1)12(2)见解析(3)最大载重量为 【详解】（1）解：根据题意得：，即，把代入得：，∴； （2）解：如图所示： （3）解：，∴，由（1）得该反比例函数为， ，即在每一象限内，随的增大而减小 当时，W取得最小值，最小值为，此时机器的最大载重量为． 【强化训练】 1.（2026·河南周口·一模）某康复中心对房间进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间的变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现两段函数图象（部分图象），其中段为渐深消毒阶段，用一次函数刻画，段是反比例函数（）图象的一部分，为降解消毒阶段．下列结论错误的是（    ） A．当，y随x的增大而增大 B．当消毒后60分钟时，消毒效果为3效力 C．消毒过程中消毒效果为4效力及以上的持续时长为28分钟 D．当消毒后20分钟时，消毒效果为效力 【答案】C 【详解】观察函数图象可知，当，y随x的增大而增大，∴A选项正确，不符合题意； 对于，当时，解得，∴点B的坐标为， ∴，解得，∴；当时，解得， ∴当消毒后60分钟时，消毒效果为3效力，∴B选项正确，不符合题意； 当时，，解得，当时，， ∴持续时长为（分钟），∴C选项错误，符合题意； 将代入，解得，∴D选项正确，不符合题意． 2.（25-26九年级下·山东泰安·期中）现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示，平行于R轴的直线l分别交两图象于点A，B，过点A，B分别作R轴的垂线，垂足为C，D，图中阴影部分的面积是20，则下列说法正确的是（    ） A．经过用电器的电流的差值为 B．两款蓄电池的电压的差值为 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值为 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值为 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∴两款蓄电池的电压的差值为，故B选项正确，A选项错误； 当用电器的电阻都为R时，则有，，电流的差值为，故D选项错误；假设经过用电器的电流都为，则有，则有，故C选项错误． 3．（2026·广东深圳·二模）如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（    ） A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 【答案】C 【详解】解：设水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，过点、， ∴，解得：，∴水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是， ∴选项A的说法正确，故此选项不符合题意； 设当水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式为，过点，∴，解得：， ∴此时水温与启动加热后通电时间的关系式为，当时，， ∴在通电启动加热开关时，喝到的茶水为，∴选项B的说法正确，故此选项不符合题意； 当时，，解得：；当时，； 又∵，∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为， ∴选项C的说法错误，故此选项符合题意； 当时，，∴在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为， ∴选项D的说法正确，故此选项不符合题意． 4．（2026·广西南宁·一模）《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少．现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A．平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数 B．当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加 C．当时，平均每人分到粮食12千克 D．这批粮食总量有500千克 【答案】D 【详解】解：∵当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少， ∴平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加，故A、B选项正确，不符合题意；设该函数解析式为， ∵当时，，∴， ∴该函数解析式为，这批粮食总量有600千克，故D选项错误，符合题意； 当时，，即当时，平均每人分到粮食12千克，故C选项正确，不符合题意； 5．（2026·内蒙古通辽·一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】50 【详解】解：设 关于 的函数解析式为 ， 把 代入 ， ， 函数解析式为 ， 当 时， ，当 时， ， 度数减少了 （度）． 6．（2026·贵州遵义·一模）小红同学学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高y（单位：）与物距（小孔到物体的距离）x（单位：）的几组数据． 像高y（单位：） 1.5 2 3 5 物距x（单位：） 8 6 4 2.4 (1)已知像高y与物距x之间是反比例函数关系，请求出该函数关系式；(2)当像高为时，物距是多少厘米？(3)因为实验器材限制，物距（x）不能超过为，则像高（y）的范围是__________． 【答案】(1)(2)物距是5厘米；(3) 【详解】（1）解：∵像高y与物距x之间满足反比例函数关系， ∴设像高关于物距的函数关系式为，∴， ∴像高关于物距的函数关系式为； （2）解：当时，，解得，∴物距是5厘米； （3）解：由于物距x不能超过，即， 根据反比例函数性质，当x增大时，y减小，因此，当时，，∴像高的范围为． 7．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10(2)y=(3)59.5 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时；故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得，∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得；“危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 8．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】(2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】(3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【答案】(1)(2)x每增加相同的数值，y的增加量相同(3) 【详解】（1）解：令，得， ，∴，∴，即； （2）解：，，， 设（为常数），则，∴是常数． ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同． （3）解：，整理得， ∵，∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令，得，∴． 9．（2026九年级下·广东清远·学业考试）在环境科学领域的一定条件下，某污染区域的净化时间（单位：小时）与净化设备的功率（单位：千瓦）存在着某种函数关系，部分对应值如表所示： 净化设备的功率（千瓦） ．．． 90 60 45 36 ．．． 净化时间t（小时） ．．． 2 3 4 5 ．．． (1)请根据表中给出的数据，求与之间的函数关系式． (2)若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要多少千瓦？ 【答案】(1)(2)18千瓦 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，，∴； （2）解：在中，当时，， ∵，∴t随P的增大而减小，∴当时，， 答：若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要18千瓦． 10．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值；(2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么这种抗过敏药物隔多少时间需服用一次（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 【答案】(1)(2)这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次 【详解】（1）解：由题意得，，∴； （2）解：由（1）得，在中，当时，， 解得或（舍去），小时， 答：这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $