第1章《反比例函数》题型复习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学讲义通过题型分类系统梳理反比例函数知识体系，涵盖概念辨析、解析式确定、图象性质、k的几何意义、与一次函数综合及实际应用，按“基础概念-性质应用-综合拓展”递进呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于“典例引领+分层练习”设计，如用待定系数法求解析式（练习2.3结合正反比例）培养模型意识，通过k的几何意义求面积（题型五）发展几何直观，实际应用（题型十工程问题）强化应用意识。基础题巩固概念，综合题提升能力，助力教师精准教学与学生分层提升。

反比例函数题型复习答案与解析 第一部分：反比例函数的概念与解析式确定 题型一：反比例函数概念的辨析 典例 1 答案：B 解析：反比例函数的定义为形如（为常数，）的函数，逐一分析选项： A 选项：是正比例函数，不符合； B 选项：，符合反比例函数的定义，符合； C 选项：是二次函数，不符合； D 选项：是正比例函数，不符合。 练习 1.1 答案：A 解析：若函数是反比例函数，需要满足两个条件： 指数为，即，解得，即； 系数不为 0，即，解得。 综上，。 练习 1.2 答案：B 解析：反比例关系的定义为两个变量的乘积为定值，逐一分析： A 选项：圆的面积，是二次关系，不符合； B 选项：矩形面积一定时，长与宽满足，乘积为定值，成反比例关系，符合； C 选项：匀速运动中，路程，是正比例关系，不符合； D 选项：正方形周长，是正比例关系，不符合。 练习 1.3 答案：A 解析：已知与成反比例，因此设函数解析式为。 当时，，代入得，解得，因此函数解析式为。 当时，，代入得。 题型二：待定系数法求反比例函数解析式 典例 2 答案： 解析：若函数是反比例函数，需要满足： 指数为，即，解得，即； 系数不为 0，即，解得。 综上，。 练习 2.1 答案：，该函数图象也经过点 解析：反比例函数经过点，因此，函数解析式为。 当时，，因此该点为。 练习 2.2 答案： 解析：点在反比例函数上，代入得，解得； 点在该函数上，代入得； 因此。 练习 2.3 解析与答案 已知与成正比例，与成反比例，因此设： ，，则。 将和代入得方程组： 解得，，因此关于的函数解析式为。 第二部分：反比例函数的图象与性质 题型三：根据图象分布确定字母取值范围 典例 3 答案：B 解析：反比例函数的图象位于第二、四象限，说明比例系数，解得。 练习 3.1 答案： 解析：反比例函数的图象在一、三象限，说明比例系数，解得。 练习 3.2 答案：A 解析：反比例函数在每一象限内，随的增大而减小，说明该函数的图象在一、三象限，因此比例系数，解得。 练习 3.3 答案：D 解析：反比例函数经过点，因此，函数解析式为。 逐一分析选项： A 选项：代入，，因此图象经过，正确； B 选项：，图象位于第二、四象限，正确； C 选项：当时，随增大而增大，正确； D 选项：当时，随增大而增大，不是减小，错误。 题型四：反比例函数图象上点的坐标特征与比较大小 典例 4 答案：D 解析：反比例函数，，因此图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大。 点、在第二象限，，因此，且均为正数； 点在第四象限，为负数。 因此大小关系为。 练习 4.1 答案：C 解析：反比例函数，，因此图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小。 点、在第三象限，，因此，且均为负数； 点在第一象限，为正数。 因此大小关系为。 练习 4.2 答案： 解析：反比例函数，，因此图象在第一、三象限。 当时，点在第三象限，； 当时，点在第一象限，。 因此。 练习 4.3 答案：，增大 解析：反比例函数经过点，因此，函数解析式为。 点在该图象上，因此。 因为，所以该函数在每一象限内随增大而增大。 第三部分：反比例函数中 k 的几何意义 题型五：利用 k 的几何意义求面积 典例 5 答案： 解析：对于反比例函数，过图象上一点作坐标轴的垂线，形成的矩形的面积为。 本题中矩形 ABOC 的面积为 6，且，因此。 练习 5.1 答案：（答案不唯一） 解析：设点的坐标为，则矩形 PAOB 的长为，宽为，周长为，解得，即，解得或。 因此点 P 的坐标可以为（或）。 练习 5.2 答案： 解析：对于双曲线，过 A、B 作坐标轴的垂线，形成的两个矩形的面积均为 5，因此两个矩形的面积和为。 已知空白部分的面积和为 4，因此阴影部分的面积为。 练习 5.3 答案：C 解析：对于反比例函数，过图象上一点作 x 轴的垂线，形成的三角形的面积为。 本题中的面积为 3，因此，解得，又因为图象在第一象限，，因此。 题型六：根据面积求反比例函数解析式 典例 6 答案：C 解析：已知点，，则向量。 将 AC 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到 AB，根据旋转的性质，向量逆时针旋转 90° 后变为，因此点 B 的坐标为。 因为点 B 在反比例函数上，因此。 练习 6.1 答案： 解析：矩形 OABC 中，点 B 在反比例函数上，根据 k 的几何意义，矩形的面积为，已知面积为 8，且 B 在第一象限，因此。 练习 6.2 答案： 解析：四边形 PMON 的面积为，又因为图象在第四象限，，因此。 练习 6.3 答案： 解析：的面积为，因此，又因为图象在第一象限，，因此。 第四部分：反比例函数与一次函数的综合 题型七：反比例函数与一次函数图象的综合判断 典例 7 解析与答案 对于一次函数和反比例函数，分情况讨论： 若，则反比例函数图象在一、三象限，此时、同号： 若，则一次函数图象过一、二、三象限，无对应选项； 若，则一次函数图象过二、三、四象限，无对应选项； 若，则反比例函数图象在二、四象限，此时、异号： 若，则一次函数图象过一、三、四象限，无对应选项； 若，则一次函数图象过一、二、四象限，符合该情况 练习 7.1 答案：B 解析：一次函数的图象经过第一、三、四象限，说明，，因此。 因此反比例函数的系数，图象位于第二、四象限。 练习 7.2 答案：一 解析：反比例函数的图象在第二、四象限，说明。 对于一次函数，，因此斜率为负，截距为负，图象过第二、三、四象限，不经过第一象限。 练习 7.3 解析与答案 分情况讨论： 若，则反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的斜率为正，截距为正，图象过一、二、三象限，无对应选项； 若，则反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的斜率为负，截距为负，图象过二、三、四象限，符合该情况的图象即为正确选项。 题型八：反比例函数与一次函数的交点问题 典例 8 解析与答案 (1) 首先求反比例函数解析式： 反比例函数经过点，因此，反比例函数解析式为。 点在该函数上，因此，即。 再求一次函数解析式： 一次函数经过和，代入得： 解得，，因此一次函数解析式为。 (2) 观察图象，一次函数值大于反比例函数值，即一次函数图象在反比例函数上方的部分，对应的 x 的取值范围是或。 练习 8.1 答案： 解析：已知交点为，因此反比例函数的，解析式为。 联立两个函数的方程： 整理得，即，因式分解得，解得或。 当时，，因此另一个交点为。 练习 8.2 答案：或 解析：两个函数的交点为和，因此当一次函数值大于反比例函数值时，对应的 x 的取值范围是或。 练习 8.3 解析与答案 已知交点的横坐标为 1，代入一次函数，得，因此交点为，代入反比例函数得，反比例函数解析式为。 联立两个函数的方程： 整理得，即，因式分解得，解得或。 当时，，因此另一个交点的纵坐标为 - 1。 题型九：反比例函数与几何图形的综合 典例 9 解析与答案 菱形 OABC 的面积为，已知，因此菱形的高为，即点 C 的纵坐标为 8。 设点 C 的坐标为，因为，因此，解得，即。 D 是 AC 的中点，,,反比例函数y= 当y=8时，x=4，E 练习 9.1 答案： 解析：设点 A 的坐标为，则正方形的边长为 4，因此，。 因为 D、E 都在反比例函数上，因此，解得，，因此。 练习 9.2 答案： 解析：设点 P 的坐标为，因为，是 P 到 x 轴的距离，即，是 P 到 y 轴的距离，即，因此。 又因为 P 在上，代入得，解得，因为在第一象限，，因此，所以 P 的坐标为。 自查：设出坐标，根据条件列方程，代入验证成立，结果正确。 第五部分：反比例函数的实际应用 题型十：反比例函数在实际问题中的应用 典例 10 答案：C 解析：治污前的反比例函数解析式为，治污后的一次函数为。 逐一分析： A 选项：4 月份时，，，正确； B 选项：一次函数的斜率为 30，说明每月利润增加 30 万元，正确； C 选项：利润低于 100 万元时，时，时，共 2 个月，不是 3 个月，错误； D 选项：8 月份时，， 练习 10.1 答案：，20 解析：总长度为 1200 米，每天修 x 米，因此天数。 当 x=60 时，。 练习 10.2 答案：，12 解析：总水量为 m³，因此排空时间。 若要 4 小时排空，则，即，解得。 练习 10.3 解析与答案 (1) 设函数解析式为，由图象可知，当时，，因此，所以解析式为。 (2) 当时，，因此气球内的气压是 120 千帕。 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版数学九年级第1章《反比例函数》题型复习 第一部分：反比例函数的概念与解析式确定 题型一：反比例函数概念的辨析 【典例1】 下列函数中，y是x的反比例函数的是（　） A. y=3x　　B. y=　　C. y=x2　　D. y= 练习1.1 若函数 y=(a+1)x|a|-2是反比例函数，则 a 的值为（　） A. 1　　B. -1　　C. ±1　　D. 0 练习1.2 下列关系中，成反比例关系的是（　） A. 圆的面积与半径　　B. 矩形的面积一定，长与宽 C. 匀速运动中，路程与时间　　D. 正方形的周长与边长 练习1.3 已知 y 与 x2 成反比例，且当 x=2 时，y=3，则当 x=-2 时，y 的值为（　） A. 3　　B. -3　　C. 12　　D. -12 题型二：待定系数法求反比例函数解析式 【典例2】 若函数 y=(m-2)是反比例函数，则 m 的值为______。 练习2.1 已知反比例函数 y=(k0)的图象经过点 (3,-4)，则 k= ，该函数图象也经过点 (-6, )。 练习2.2 若点 A(a,2)，B(3,b) 都在反比例函数 y=的图象上，则 a+b=______。 练习2.3 已知 y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当 x=1 时，y=5；当 x=2 时，y=4。求 y 关于 x 的函数解析式。 第二部分：反比例函数的图象与性质 题型三：根据图象分布确定字母取值范围 【典例3】 已知反比例函数 y=的图象位于第二、四象限，则 k 的取值范围是（　） A. k>　　B. k<　　C. k≥　　D. k≤ 练习3.1反比例函数 y=的图象在一、三象限，则 m 的取值范围是______。 练习3.2 若反比例函数 y=在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，则的取值范围是（　） A. >2　　B. <2　　C. 2　　D. 2 练习3.3 已知反比例函数 y=的图象经过点 (-2,3)，则下列结论中不正确的是（　） A. 图象经过点 (2,-3)　　B. 图象位于第二、四象限 C. 当 x>0 时，y随x增大而增大　　D. 当 x<0 时，y随x增大而减小 题型四：反比例函数图象上点的坐标特征与比较大小 【典例4】 已知点 A(-2,y1)，B(-1,y2)，C(2,y3) 都在反比例函数 y=的图象上，则y1,y2,y3的大小关系为（　） A. y1<y2<y3　　B. y3<y2<y1　　C. y2<y1<y3　　D. y3<y1<y2 练习4.1 若点 A(-3,y1)，B(-2,y2)，C(4,y3) 在反比例函数 y=的图象上，则y1,y2,y3的大小关系为（　） A. y1<y2<y3　　B. y3<y1<y2　　C. y2<y1<y3　　D. y3<y2<y1 练习4.2 已知点 (x1,y1)，(x2,y2) 在反比例函数 y=的图象上，且x1<0<x2，则y1与y2的大小关系为______。 练习4.3 已知反比例函数y=的图象经过点 A(-2,3)，点 B(4,m) 也在该图象上，则 m= ，且该函数在每一象限内y随x （填“增大”或“减小”）。 第三部分：反比例函数中k的几何意义 题型五：利用k的几何意义求面积 【典例5】 如图，点A是反比例函数y=(k>0) 图象上一点，AB∥x轴，AC∥y轴，若矩形ABOC的面积为6，则 k=______。 练习5.1 点P在反比例函数 的图象上，PA∥x轴于A，PB∥ y轴于B，若矩形PAOB的周长为12，则点P的坐标为______（写出一个即可）。 练习5.2 如图，A、B是双曲线上的两点，分别过A、B作坐标轴的垂线，若两个矩形中空白部分的面积和为4，则阴影部分的面积为______。 练习5.3 点A在反比例函数y=的图象上，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，连接AO，若△AOB的面积为3，且图象在第一象限，则k的值为（　） A. 3　　B. -3　　C. 6　　D. -6 题型六：根据面积求反比例函数解析式 【典例6】 如图，点A的坐标为 (-1,0)，点C的坐标为 (0,2)，将AC绕点A逆时针旋转90°得到AB，点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（　） A. -4　　B. 4　　C. -3　　D. 3 练习6.1 如图，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，点B在反比例函数y=的图象上，且矩形面积为8，且B在第一象限，则k=______。 练习6.2 如图，点P是反比例函数y=图象上一点，过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N，若四边形PMON的面积为5，且图象在第四象限，则k=______。 练习6.3 如图，点A在反比例函数y=的第一象限图象上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为4，则k=______。 第四部分：反比例函数与一次函数的综合 题型七：反比例函数与一次函数图象的综合判断 【典例7】 一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=在同一坐标系中的图象可能是（　） 练习7.1 已知一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，则反比例函数 y=的图象位于（　） A. 一、三　　B. 二、四　　C. 一、二　　D. 三、四 练习7.2 若反比例函数 y=的图象在第二、四象限，则一次函数 y=mx+m 的图象不经过第______象限。 练习7.3 一次函数y=ax+a(a为常数，a≠0)与反比例函数y=ax(a为常数，a≠0)在同一平面直角坐标系内的图象大致为( ) 题型八：反比例函数与一次函数的交点问题 【典例8】 一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=交于A(-2,1)、B(1,n)两点。 （1）求两函数解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值的x取值范围。 练习8.1 已知一次函数 y=2x-1 与反比例函数 y=的图象交于两点，其中一点为 (1,1)，则另一个交点的坐标为______。 练习8.2 如图，一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=的图象交于A(-3,2)，B(1,-6)两点，则当 ax+b>时，x的取值范围为______。 练习8.3 若一次函数 y=x+2 与反比例函数 y=的图象有两个交点，且其中一个交点的横坐标为1，则k=______，并求另一个交点的纵坐标。 题型九：反比例函数与几何图形的综合 【典例9】 如图，菱形OABC的顶点A的坐标为 (10,0)，对角线OB、AC相交于D点，双曲线 y=(x>0) 经过D点，BC的延长线与双曲线交于E，且 OB•AC=160，求双曲线与AB的交点E的坐标。 练习9.1 如图，边长为4的正方形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上，反比例函数y=在第一象限的图象经过顶点D和BC边上的中点E，则k的值为 练习9.2如图，点P是反比例函数 y=第一象限图象上一点，PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，且PA=2PB，则点P的坐标为______。 第五部分：反比例函数的实际应用 题型十：反比例函数在实际问题中的应用 【典例10】 某工厂从2019年1月开始限产治污，月利润y（万元）与月份x之间的变化如图，治污完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图象的一部分。下列说法错误的是（　） A. 4月份利润为50万元 B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 C. 治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元 D. 8月份该厂利润达到200万元 练习10.1 某工程队计划修建一条长1200米的公路，每天修建x米，需y天完成，则y与x的函数关系式为______，当每天修建60米时，需______天。 练习10.2 某蓄水池的排水管每小时排水8m³，6小时可将满池水排空。若每小时排水量增加为Q m³，则排空所需时间t（小时）与Q之间的函数关系式为______，若要在4小时内排空，则每小时至少排水______m³。 练习10.3 某气球内充满了一定质量的气球，当温度不变时，气球内气球的压力p（千帕）是气球 的体积V（米2）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位） 求出这个函数的解析式； （2）当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？ 学科网（北京）股份有限公司 $