1.3 实际问题与反比例函数（知识解读）-2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（苏科版）

本讲义聚焦“实际问题与反比例函数”核心知识点，在反比例函数基本概念基础上，通过利润、工程、行程、物理等六大实际场景构建应用支架，明确自变量取值范围及矩形面积、压强等常见反比例关系，形成从概念到应用的完整学习脉络。 该资料以生活与跨学科实例（如便利店销售利润、物理电流电阻关系）为载体，通过例题与变式训练培养数学眼光（抽象实际问题数量关系）和模型意识，随堂检测助力课后查漏，课中辅助教师高效教学，提升学生用数学思维解决实际问题的能力。

1.3 实际问题与反比例函数（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 目录 【题型1 利润问题】 2 【题型2 工程问题】 5 【题型3 行程问题】 4 【题型4 物理问题】 5 【题型5 表格问题】 7 【题型6 分段函数问题】 9 【随堂检测】 11 知识点 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为．. 【题型1 利润问题】 【例1】某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 【变式1-1】【例1】广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【变式1-2】商场销售一批进价为120元/双的运动鞋．当每双运动鞋的售价进行调整时，每天的销量随之发生变化（要求售价高于进价）部分销售数据如下： 每双的售价元 200 250 300 每天的销量双 30 24 20 (1)求y关于x的函数解析式． (2)若要求每天的销量不低于15双，则x的取值范围为 ． (3)若商场希望每天的销售利润为2400元，则售价应定为每双多少元？ 【题型2 工程问题】 【例2】某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【变式2-1】在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x(米)是反比例函数关系，图象如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ 【变式2-2】某工程队接到一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：）的反比例函数，其图象经过点．已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好天完成此项任务，则需要几台这样的挖掘机？ 【题型3 行程问题】 【例3】某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … (1)变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． (2)一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 【变式3-1】一艘船计划装载吨货物，若以最快速度装船，需1小时完成． (1)写出装完货物所需的时间y（单位：小时）与装船速度x（单位：吨／小时）之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)若要求在至2小时之间（包括小时与2小时）装完这批货物，求装船速度的取值范围． 【变式3-2】如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求与之间的函数关系式． (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． 【变式3-3】受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑到终点．第一次用了秒；第二次比第一次速度提高了米秒，用了秒． (1)求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？ (2)求所用时间秒与速度米秒的函数关系式；若要使所用时间不超过秒，则速度应不低于多少米/秒？ 【题型4 物理问题】 【例4】在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 【变式4-1】根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)若火焰的像高为，求此时的物距． 【变式4-2】康康暑假在工地实习，将自己所学的数学和物理知识运用于实践，获益良多．如图，某天康康需要搬动一块的大石头，尝试后发现自己使尽力气都无法使石头挪动分毫．思考一会儿后，他想到可以结合杠杆原理，用撬棍撬动大石头，已知大石头带来的阻力为，阻力臂长（大石头与棍下垫石的距离）为．设康康摁下撬棍所用动力为，动力臂长（康康施力点与垫石之间的距离）为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身重力忽略不计） (1)求y关于x的函数关系式． (2)康康能使出的最大动力为，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【变式4-3】研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． (1)当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是多少米？ (2)小明原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求小明的眼镜度数增加了多少度． 【题型5 表格问题】 【例5】如图所示是常见的手动打气筒，打气筒的充气次数与气筒内直径（对应“粗筒”“细筒”）存在关联：当充气总量（固定气量，如给一辆自行车轮胎充至标准胎压、给1个气球充至饱满）不变时，气筒内直径越大（单次充气量越大），所需充气次数越少；气筒内直径越小（单次充气量越小），所需充气次数越多某实验小组对同一固定气量的气球进行充气测试，记录了气筒内直径L（单位：）与充气次数F（单位：次）的对应数据如表所示： 气筒内直径 2 3 5 6 充气次数F/次 15 10 6 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)若使用内直径L为的打气筒给该固定气量的气球充气，所需充气次数F为_______次； (2)在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象； (3)根据函数图象，描述当时，F随L的变化规律． 【变式5-1】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值． 气体的体积 气体的气压 (1)试确定气体的气压关于气体的体积的函数解析式； (2)当气体的体积为时，求气体的气压． 【变式5-2】某同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 波长 (1)求波长关于频率的函数关系式； (2)当时，求此电磁波的波长． 【变式5-3】学习小组在探索当电压为定值，输出功率与电阻的关系时，记录了功率和电阻的变化关系如下表： … 2 4 6 8 12 … … 18 9 6 4.5 3 … (1)通过分析表格中的数据发现，用函数可以刻画功率与电阻之间的关系，在如图②所示的平面直角坐标系中，取出表中各组对应值为坐标的点，并画出这个函数的图象； (2)求出这个函数的表达式； (3)请直接写出：若大于10W，的取值范围为_____． 【题型6 分段函数问题】 【例6】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数是时间的一次函数．以后注意力指数是的反比例函数． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，求本节课讲这道题的时长不能超过多少分钟？ 【变式6-1】为了预防冬季流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题． (1)药物燃烧时，关于的函数关系式为______；药物燃烧完后，与的函数关系式为______． (2)研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于25分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【变式6-2】学校为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温与通电时间x（分）的关系如图所示（图中的曲线是双曲线的一部分），解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求图中a值； (3)一天早上，王老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在上课前能喝到不超过的温开水，应在什么时间段内接水？ 【变式6-3】某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求恒温系统设定的恒定温度； (2)求这天在阶段与阶段的温度与时间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于10，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是（　　） A． B． C． D． 2．下列选项中，变量之间的关系属于反比例关系的是（  ） A．正方形的周长 C 与边长 ． B．汽车匀速行驶时，路程与行驶时间 ． C．某村的总耕地面积固定，人均耕地面积与该村总人数． D．圆的面积与半径． 3．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，图像如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是（    ） A．0.5米 B．0.4米 C．0.125米 D．0.6米 4．如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法正确的是（   ） A．加热4分钟时水温上升了 B．加热5分钟时水沸腾 C．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟 D．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 5．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，P关于V的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A．增大，增大了 B．减小，减小了 C．增大，增大了 D．减小，减小了 6．公路部门往往通过地磅检测汽车载重情况．如图（1）是某跨学科学习小组的可视化地磅的电路原理图，压力传感器的阻值随其所受压力的变化关系如图（2）所示，电流与压力传感器的阻值的关系如图（3）所示．下列说法不正确的是（   ） A．地磅所受的压力越大，的阻值越小 B．当时，的阻值是 C．当时，检测装置会自动报警 D．当地磅受到压力时，且的阻值小于时，检测装置不会自动报警 7．如图，在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）成反比例函数关系．当时，则压强__________． 8．如图，小伟用撬棍撬石头，已知阻力为，阻力臂为．根据杠杆原理，动力F与动力臂l的函数关系是______（用含l的式子表示）． 9．某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间（单位：天）与入库平均速度（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当入库平均速度为400吨/天时，入库所需要的时间为3天．求与之间的函数关系式，并求当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为多少天？ 10．杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），他们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并系上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．求关于的函数关系式． 11．李先生利用分期付款的方式购买了一套房子，价格24万元，交了首付之后每年付款y万元与x年结清余款的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)确定y与x的函数关系式； (2)李先生若用10年结清余款，每年应付多少元？ 12．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求y与x（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 实际问题与反比例函数（知识解读） 【新教材苏科版】 题型归纳 目录 【题型1 利润问题】 2 【题型2 工程问题】 5 【题型3 行程问题】 7 【题型4 物理问题】 11 【题型5 表格问题】 14 【题型6 分段函数问题】 18 【随堂检测】 24 知识点 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为．. 【题型1 利润问题】 【例1】某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 【答案】(1)描点画图见解析，猜想：反比例函数 (2) (3)销售单价x定为8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系． （1）建立坐标系直接描点画图，再猜想即可； （2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可； （3）先确定与的函数关系式，然后根据售价最高不超过8元/根，利用函数的增减性即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示： 猜想：y与x之间具有反比例函数关系． （2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数）， 把代入，得， 将，，分别代入，均成立， 所以y与x之间的函数关系式为. （3）解：， 当时，w随x的增大而增大， 又因为， 所以当时，， 所以，销售单价x定为每根8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 【变式1-1】【例1】广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应为160元 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可． （2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可． 【详解】（1）解：设函数式为， ∵当销售定价为120元时，每日可销售20件， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）解：设单价是x元， ∵， ∴，解得：， 检验：当时，利润为元，符合题意． 答：销售单价应为160元． 【变式1-2】商场销售一批进价为120元/双的运动鞋．当每双运动鞋的售价进行调整时，每天的销量随之发生变化（要求售价高于进价）部分销售数据如下： 每双的售价元 200 250 300 每天的销量双 30 24 20 (1)求y关于x的函数解析式． (2)若要求每天的销量不低于15双，则x的取值范围为 ． (3)若商场希望每天的销售利润为2400元，则售价应定为每双多少元？ 【答案】(1) (2) (3)200元 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用． （1）由表中数据可得，与x成反比例函数关系，且，即可得到y关于x的函数解析式； （2）根据“销量不低于15双”列出不等式求解即可； （3）根据“每天的销售利润为2400元”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：由表中数据可得， 与x成反比例函数关系，且 关于x的函数解析式为； （2）解：∵每天的销量不低于15双， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：售价应定为每双200元． 【题型2 工程问题】 【例2】某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【答案】(1) (2)乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务 【分析】此题主要考查了反比例函数和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式． （1）根据工作量时间土石方总量可得，进而可得函数解析式，再根据，即可解答； （2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车，根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意：解：， ，， 随的增大而减小，当时，有最小值， ； （2）解：设乙车队需要派出x辆同样的卡车才能按时完成任务． 则原计划需要的天数为： 解得， 答：乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务． 【变式2-1】在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x(米)是反比例函数关系，图象如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ 【答案】(1) (2)天 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； （2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间． 【详解】（1）解：设， ∵点在其图象上， ∴ ， ∴， ∴所求函数关系式为． （2）由题意知，4台挖掘机每天能够开挖水渠(米)， 当时， 答：该工程队需要用天才能完成此项任务． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型． 【变式2-2】某工程队接到一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：）的反比例函数，其图象经过点．已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好天完成此项任务，则需要几台这样的挖掘机？ 【答案】需要台这样的挖掘机 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，求出反比例函数的解析式．设与的函数关系式为，将点代入求出该函数解析式，令，求出，即可求解． 【详解】解：设与的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， ， 与的函数关系式为， 当时，， ， （台）． 答：需要台这样的挖掘机． 【题型3 行程问题】 【例3】某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … (1)变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． (2)一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 【答案】(1)变量与满足反比例函数关系， (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）由的值为定值，可得出变量、之间的关系满足反比例函数，结合，可求出关于的函数表达式； （2）根据满电续航为及可行驶的时间不少于4小时，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 变量、之间的关系满足反比例函数， ， 函数表达式为； （2）解：该车充满电可行驶的总路程为， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为120． 答：的最大值是120． 【变式3-1】一艘船计划装载吨货物，若以最快速度装船，需1小时完成． (1)写出装完货物所需的时间y（单位：小时）与装船速度x（单位：吨／小时）之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)若要求在至2小时之间（包括小时与2小时）装完这批货物，求装船速度的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，理解题意，根据题意求得函数解析式是关键． （1）由题意知，装完货物所需时间（小时）与装船速度（吨/小时）之间的函数关系是反比例函数关系，即可求得此关系式； （2）求出当时， 当时的值，即装船速度即可确定答案． 【详解】（1）解：由题意，， ∴， 若以最快速度装船，需1小时完成， 得，则， 故自变量x的取值范围为； （2）由题意得， 当时，代入得， 当时，代入得， ∴若要求在至2小时之间（包括小时与2小时）装完这批货物，装船速度的取值范围为． 【变式3-2】如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求与之间的函数关系式． (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． 【答案】(1)； (2)它的最快移动速度． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意设出反比例函数解析式，利用已知条件求出比例系数，再代入求值． （1）根据题意设（）；将，代入，得，解得；故与之间的函数关系式为 . （2）将代入，得；故最快移动速度为． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设函数关系式为（）． 将，代入，得：， 解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，， 答：当载重后总质量时，它的最快移动速度为． 【变式3-3】受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑到终点．第一次用了秒；第二次比第一次速度提高了米秒，用了秒． (1)求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？ (2)求所用时间秒与速度米秒的函数关系式；若要使所用时间不超过秒，则速度应不低于多少米/秒？ 【答案】(1)3米/秒 (2)v=；6米/秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及反比例函数的应用； （1）依据题意，根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可； （2）依据题意，求出从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意，设小勇第一次训练的速度是米秒， 则第二次训练的速度是米秒， ． 解得：， 答：小勇第一次训练的速度是米秒． （2）从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程为：米， 小勇从滑雪道顶端匀速滑到终点的平均速度为米秒，所用时间为秒， ． 当要使所用时间不超过秒时，即， ． 要使所用时间不超过秒，则速度应不低于米秒． 【题型4 物理问题】 【例4】在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 【答案】(1) (2)电流变为原来的 【分析】（1）将已知的、数值代入，求出常数，再写出关于的函数表达式． （2）设原来电阻为，表示出原电流；再表示电阻增大为原来的倍后的电阻，求出新电流，对比得出电流变化规律． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2）解：设原电阻为，原电流． 电阻增大为原来的倍后，新电阻． ， ， ， 电流变为原来的． 【变式4-1】根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)若火焰的像高为，求此时的物距． 【答案】(1) (2)此时的物距为 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式． 把，代入，得， 关于的函数关系式为． （2）解：把代入，得． 答：此时的物距为． 【变式4-2】康康暑假在工地实习，将自己所学的数学和物理知识运用于实践，获益良多．如图，某天康康需要搬动一块的大石头，尝试后发现自己使尽力气都无法使石头挪动分毫．思考一会儿后，他想到可以结合杠杆原理，用撬棍撬动大石头，已知大石头带来的阻力为，阻力臂长（大石头与棍下垫石的距离）为．设康康摁下撬棍所用动力为，动力臂长（康康施力点与垫石之间的距离）为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身重力忽略不计） (1)求y关于x的函数关系式． (2)康康能使出的最大动力为，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题目中给出的动力动力臂阻力阻力臂，即可求解． （2）计算在动力臂最大为的条件下，维持杠杆平衡所需的动力，再和康康能使出的最大动力作比较，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可得， 化简得， ∴y关于x的函数关系式为． （2）解：由（1）可知y关于x的函数关系式为， 当时，， 即在动力臂最大为的条件下，需要的动力使杠杆维持平衡， ， 在动力臂最大为的条件下，他能撬动这块石头． 【变式4-3】研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． (1)当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是多少米？ (2)小明原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求小明的眼镜度数增加了多少度． 【答案】(1)当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是米 (2)小明的眼镜度数增加了50度 【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，求得反比例函数解析式并将矫正治疗后所配镜片焦距调整为代入反比例函数求出矫正后的度数是解题的关键． （1）先设近视眼镜的度数y度与镜片焦距x解析式为：，由函数图象可得，当时，，代入即可求解； （2）将代入即可求得焦距为米时近视眼镜的度数，再与200度作比较即可求解． 【详解】（1）解：设近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的反比例函数表达式为． 由图象可知，当时，， ∴，解得， ∴反比例函数表达式为． 当时，． 答：当近视眼镜的度数是125度时，镜片焦距是米． （2）解：当时，， （度）． 答：小明的眼镜度数增加了50度． 【题型5 表格问题】 【例5】如图所示是常见的手动打气筒，打气筒的充气次数与气筒内直径（对应“粗筒”“细筒”）存在关联：当充气总量（固定气量，如给一辆自行车轮胎充至标准胎压、给1个气球充至饱满）不变时，气筒内直径越大（单次充气量越大），所需充气次数越少；气筒内直径越小（单次充气量越小），所需充气次数越多某实验小组对同一固定气量的气球进行充气测试，记录了气筒内直径L（单位：）与充气次数F（单位：次）的对应数据如表所示： 气筒内直径 2 3 5 6 充气次数F/次 15 10 6 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)若使用内直径L为的打气筒给该固定气量的气球充气，所需充气次数F为_______次； (2)在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象； (3)根据函数图象，描述当时，F随L的变化规律． 【答案】(1)20 (2)，见解析 (3)当时，F随L的增大而减小 【分析】（1）求出F关于L的表达式，将代入计算即可； （2）由（1）知表达式为，根据表格数据画图即可； （3）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：由题中数据知，且L与F的乘积恒为30， ∴F关于L的函数是反比例函数，表达式为， 当时，次； （2）解：由（1）知表达式为， 在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象如答图所示． （3）解：根据函数图象可知，当时，F随L的增大而减小． 【变式5-1】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值． 气体的体积 气体的气压 (1)试确定气体的气压关于气体的体积的函数解析式； (2)当气体的体积为时，求气体的气压． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）先通过表格数据判断与的乘积为定值，确定二者是反比例函数关系，进而求出函数解析式， （2）代入指定的体积值计算对应的气压． 【详解】（1）解：由表格中的对应数据计算 可得 所以 结合实际背景，气体体积不能为0， 因此自变量的取值范围是即气体的气压关于气体的体积的函数解析式为； （2）解：当时 答：气体的气压为． 【变式5-2】某同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 波长 (1)求波长关于频率的函数关系式； (2)当时，求此电磁波的波长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （）设波长关于频率的函数关系式为，然后利用待定系数法求解即可； （）把代入（）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【详解】（1）解：设波长关于频率的函数关系式为， 由表格可知，当时，， ∴，解得， ∴波长关于频率的函数关系式为； （2）解：由（）得波长关于频率的函数关系式为， ∴当时，， ∴此电磁波的波长． 【变式5-3】学习小组在探索当电压为定值，输出功率与电阻的关系时，记录了功率和电阻的变化关系如下表： … 2 4 6 8 12 … … 18 9 6 4.5 3 … (1)通过分析表格中的数据发现，用函数可以刻画功率与电阻之间的关系，在如图②所示的平面直角坐标系中，取出表中各组对应值为坐标的点，并画出这个函数的图象； (2)求出这个函数的表达式； (3)请直接写出：若大于10W，的取值范围为_____． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到这个函数的图象； （2）利用待定系数法求解即可得到答案； （3）根据反比例函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：描点、连线，函数图象如图所示： ； （2）解：由题意得，该函数是反比例函数， 设该函数的解析式为， 将代入得，， ∴该函数的解析式为； （3）解：当时，； 由图象知若大于10W，的取值范围为． 故答案为：． 【题型6 分段函数问题】 【例6】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数是时间的一次函数．以后注意力指数是的反比例函数． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，求本节课讲这道题的时长不能超过多少分钟？ 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为； (2)12分钟 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出时的一次函数值，进而利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）分别求出函数值为50时两个函数的自变量的值，再结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：当时，设， 将，代入得， 解得， ∴， 在中，当时，， 当时，设，将代入得，解得， ∴； ∴一次函数解析式为；反比例函数解析式为； （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 分钟， 答：本节课讲这道题的时长不能超过12分钟． 【变式6-1】为了预防冬季流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题． (1)药物燃烧时，关于的函数关系式为______；药物燃烧完后，与的函数关系式为______． (2)研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于25分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)， (2)即从消毒开始，至少需要50分钟后学生才能回到教室 (3)这次消毒有效 【分析】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据待定系数法即可求出两个函数解析式，从图上可读出x的取值范围； （2）解不等式即可； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的两数之差与25进行比较再下结论即可． 【详解】（1）解：药物燃烧时，，关于的函数是正比例函数，设， 代入得，解得， ∴； 药物燃烧完后，，关于的函数是反比例函数，设， 代入得，解得， ∴； 药物燃烧时，关于的函数关系式为；药物燃烧完后，与的函数关系式为， 故答案为：，． （2）解：结合实际，令中，即，结合解得， 答：即从消毒开始，至少需要50分钟后学生才能回到教室； （3）解：把代入得，解得， 把代入得，解得， ∵， 所以这次消毒有效． 【变式6-2】学校为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温与通电时间x（分）的关系如图所示（图中的曲线是双曲线的一部分），解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求图中a值； (3)一天早上，王老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在上课前能喝到不超过的温开水，应在什么时间段内接水？ 【答案】(1) (2) (3)他应在时间段内接水 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用； （1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得与的关系式； （2）将代入，即可得到的值； （3）要想喝到不超过的开水，加20分钟即可接水，一直到； 【详解】（1）解：由图可知， 当时，设与的关系式为， 将，代入得：， 解得：， ∴当时，与的关系式为， （2）解：当时，设与的函数关系式为：， 将代入，得： 解得：， ∴当时，与的函数关系式为：； 将代入，得：； （3）解：依题意，得：， 解得：． ∵， ∴， ∴他应在时间段内接水． 【变式6-3】某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求恒温系统设定的恒定温度； (2)求这天在阶段与阶段的温度与时间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于10，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1) (2)    ， (3)10小时 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是结合图象特征确定函数类型，利用已知点求出函数解析式，再解决实际问题． （1）通过图象中线段的恒定温度，直接得出恒温系统的设定温度； （2）分别设段的一次函数、段的反比例函数解析式，代入对应点的坐标求出解析式； （3）将温度代入段的函数解析式，求出对应时间，再计算与关闭时间的差值得到关闭时长． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为． 设的解析式为，代入，： 解得， 故段解析式为：， 当时，，则， 由图象可知，线段对应的温度是恒定的， 因此恒定温度为 （2）①段（一次函数）： 设的解析式为，代入，： 解得， 故段解析式为：． ② 段（反比例函数）： 设的解析式为，代入： 解得： 故段解析式为：． （3）当温度时，代入段解析式： 解得： 恒温系统在时关闭，因此最多关闭时长为小时． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，当时，求出对应的电流值即可． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴当时，， 故选：A． 2．下列选项中，变量之间的关系属于反比例关系的是（  ） A．正方形的周长 C 与边长 ． B．汽车匀速行驶时，路程与行驶时间 ． C．某村的总耕地面积固定，人均耕地面积与该村总人数． D．圆的面积与半径． 【答案】C 【分析】根据反比例关系指两变量乘积为常数，逐一判断解答即可． 本题考查了反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 正方形的周长 C 与边长 即，不是反比例关系，不符合题意． B. 汽车匀速行驶时，路程与行驶时间即，不是反比例函数，不符合题意． C. 某村的总耕地面积固定，人均耕地面积与该村总人数，，符合题意； D. 圆的面积与半径即，不符合题意， 故选：C． 3．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，图像如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是（    ） A．0.5米 B．0.4米 C．0.125米 D．0.6米 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据反比例函数的定义求得反比例函数的解析式，再求得时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 依题意，把，代入反比例函数， 得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得， 则镜片焦距是0.5米， 故选：A． 4．如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法正确的是（   ） A．加热4分钟时水温上升了 B．加热5分钟时水沸腾 C．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟 D．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，反比例函数的应用、一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据函数图象的信息得加热4分钟时水温上升了，再分别求出反比例函数、一次函数的解析式，再根据该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：没加热前的水温是， 则 ∴加热4分钟时水温上升了， 故A选项不符合题意； ∵在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系 ∴设解析式为，把代入， 得 解得， ∴， 当时，则， ∴， 故B选项不符合题意； 茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系， ∴设解析式为 把代入， 得， ∴ ∵在时饮用口感最佳． ∴ ∴ 则在口感最佳时饮用，需要等待的时间是15分钟， 故C选项不符合题意； ∵该种茶水在时适宜饮用， ∴ ∴该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 故D选项符合题意； 故选：D． 5．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，P关于V的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A．增大，增大了 B．减小，减小了 C．增大，增大了 D．减小，减小了 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出，再分别求出压强为和时气体的体积即可得到答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为：，点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为，由图象可知，P随V的增大而减小， 当时，；当时，， ∴若压强由减压至，则气体体积的变化情况是增大了， 故选：A． 6．公路部门往往通过地磅检测汽车载重情况．如图（1）是某跨学科学习小组的可视化地磅的电路原理图，压力传感器的阻值随其所受压力的变化关系如图（2）所示，电流与压力传感器的阻值的关系如图（3）所示．下列说法不正确的是（   ） A．地磅所受的压力越大，的阻值越小 B．当时，的阻值是 C．当时，检测装置会自动报警 D．当地磅受到压力时，且的阻值小于时，检测装置不会自动报警 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用；根据函数图象与电流与压力传感器的阻值的关系式即可作出判断． 【详解】解：由图2知，地磅所受的压力越大，的阻值越小，故选项A说法正确； 由图2知，当时，的阻值是，故选项B说法正确； 当时，由图2知，，由图3知，，则检测装置会自动报警，故选项C说法正确； 由图3中，得，结合图2知，压力F增大，此时检测装置会自动报警，故选项D说法错误； 故选：D． 7．如图，在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）成反比例函数关系．当时，则压强__________． 【答案】50 【分析】本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数， 当时， 故． 8．如图，小伟用撬棍撬石头，已知阻力为，阻力臂为．根据杠杆原理，动力F与动力臂l的函数关系是______（用含l的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据动力×动力臂=阻力×阻力臂即可得函数关系式． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 9．某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间（单位：天）与入库平均速度（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当入库平均速度为400吨/天时，入库所需要的时间为3天．求与之间的函数关系式，并求当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为多少天？ 【答案】反比例函数的表达式为，当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为6天 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 设反比例函数的表达式为将代入求出解析式，再将代入求解即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将代入中，得， 解得， 反比例函数的表达式为， 令，则， 当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为6天． 10．杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），他们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并系上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．求关于的函数关系式． 【答案】关于的函数关系式为 【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求解反比例函数是解题的关键． 首先设，结合题意将，代入即可求解关于的函数关系式． 【详解】解：由题意可设， ∵在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量， ∴将，代入，得：， ∴关于的函数关系式为． 11．李先生利用分期付款的方式购买了一套房子，价格24万元，交了首付之后每年付款y万元与x年结清余款的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)确定y与x的函数关系式； (2)李先生若用10年结清余款，每年应付多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据已知条件找准等量关系是解题的关键． （1）设，把点代入函数表达式得到的值，据此确定y与x的函数关系式即可； （2）根据题意，李先生若用10年结清余款，即，代入（1）中y与x的函数关系式，求解函数值即可． 【详解】（1）解：设， 把点代入函数表达式得：，即， 因此y与x的函数关系式为：； （2）解：由（1）知，y与x的函数关系式为：， 李先生若用10年结清余款，即， 则万元元． 答：李先生若用10年结清余款，每年应付元． 12．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求y与x（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答时应注意临界点的应用． （1）应用待定系数法求函数解析式即可； （2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的x值，相减就是结论 【详解】（1）】解：（1）设双曲线解析式为：， ， ， 双曲线的解析式为：； （2）解：设的解析式为： 把代入中得： 解得： 的解析式为： 当时，，解得， 把代入， 得 解得： 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $