作业(十五) 简单几何体的再认识作业&作业(十六)直线与直线的方程-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊 高一数学（配BSD版） 作业（十五） 月 日 日 简单儿何体的再认识 星期 历 天气 1知识整合 1.直观图 (1)画法：常用斜二测画法」 (2)规则：①原图形中x轴、y轴、之轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45°（或135°）， 之轴与x'轴、y√轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段 在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半。 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 2Tr ,0 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S面性侧=πrl S面台倒=π(r1十r2)l 3.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） S表=Sm十2S底 V=S店h 锥体（棱锥和圆锥） S表=S侧十S底 v=35e小 台体（棱台和圆台） S表=Sm十S上十S V=g(5+5+/5:sph 球 S=4πR V-专R 2基础演练 A.2√2 B.2 1.如图，已知△OAB的平面直观图是等腰直 C.1 n号 角△0AB',且∠0A'B=受，0B'=2, 2.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径 为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体 则△OAB的面积是 ( 积为 ( y A .3x B.2π B c D.7x 33— 暑假作业即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步 [每日格言] 3.已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D 3.小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要 的所有顶点均在球O的球面上，则球O的 饮水2000mL~2500mL(1mL=1cm3). 表面积为 ( 若小明用的水杯近似为正四棱台，尺寸为： A.25π B.27π 上口边长为7cm,底部边长为5cm,高为 C.16π D.23元 9cm,厚度忽略不计，则小明在疗程内每天 4.如图，棱长为1的正方体ABCD A1B1C,D1中，P为BC边上任意一点，将 需要饮水的杯数至少是 正方体挖掉三棱锥D,ADP后，余下部分 A.5 B.6 的体积为 C.7 D.8 C 4.如图，实心圆锥PO的轴截面是一个底边 B 长为12，腰长为10的等腰三角形，过PO 上一点O'作平行于底面的截面，以该截面 为底面挖去一个圆柱OO',若剩下几何体 的表面积为120π，则圆柱OO的高为 A. 2 3 3 C.3 ”4 D 5 6 3综合演练 1.已知球的半径为R,圆柱的底面半径为R, 高为2R,则球的表面积与圆柱的表面积之 A.2 B.3 比为 C.4 D.6 A.1:1 B.2:3 C.3:4 D.1:2 5.(多选)已知某圆锥的侧面展开图是面积为 2.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的 9π的半圆，则下列说法正确的是() 基本元素.如图，该几何体是一个棱长为1 A.该圆锥的母线长是3√2 的正八面体，则此正八面体的体积与表面 积的数值之比为 B.该圆锥的高是3 P C.该圆锥的表面积是25x 2 D.该圆锥的体积是96m 4 6.将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、 /6 6 加工成球，经测量其高度为6m,底面为直 18 角三角形其直角边长分别为6m和8m, 6 6 D. 12 则该球的最大半径为 34 [每日格言]征服畏惧，建立自信的最快最切实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。高一数学（配BSD版） 7.如图，在长方体ABCD-A1B1CD1中， AB=AD=1,AA1=2√2，点E为AB上的动 点，则DE十CE的最小值为 A' D B A.2√2 B.1 D C.8 D.② 4 E B 名师叮嘱 8.三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=1, (1)“斜二测”画法的长度变化规则是：平行或与 AB⊥BC,设R为P-ABC外接球半径，则 x 轴重合的线段的长度不变，平行或与y轴重合 R 5 的线段的长度变为原来的二分之一. (2)解决此类问题时要注意角度的变化以及长度 4真题体验 的变化以及线与线之间的关系，直观图面积S与 1.(2024·新课标I卷)已知圆柱和圆锥的底 面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 原图形面积S满足S-s 4 3,则圆锥的体积为 ( 易错二 求组合体的体积考虑不全面致错 A.2√3π B.3√3π [示例2](2023·哈尔滨高一期中)如图所 C.6√3π D.9√3π 示（单位：cm),直角梯形ABCD挖去半径 2.(2025·上海卷)如图，在正四棱柱ABCD 为2的四分之一圆，则图中阴影部分绕 -A,BC,D中，BD=4√2，DB1=9,则该 AB旋转一周所形成的几何体的体积为 正四棱柱的体积为 B 0 ( 5易误警示 名师叮嘱 易错一将直观图还原成平面图形时出错 :求组合体的体积的关键是弄清组合体中各简单几 [示例1]△ABC的直观图△A'B'C'如图 何体的结构特征及组合形式，将它们拆分成几个 所示，其中A'B'∥x'轴，A'C'∥y轴，且 简单的组合体，且注意重合部分或挖去部分的处 A'B'=A'C'=1,则△ABC的面积为() 理方法. 35 暑假作业积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。 [每日格言] 第二部分 新知预习 作业（十六） 月 日 日 星期 直线与直线的方程 台 历 天气 知识点1 直线的倾斜角 2.过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相 为1，则m的值为 交的直线l,把x轴（正方向）按逆时针方 知识点3直线的斜率与方向向量的关系 向绕着交点旋转到和直线（首次重合时 定义 1.在直线1上任取两个不同的点P(x1,y1), 所成的角，称为直线的倾斜角 P2(x2,y2),向量P1P2是直线1的方向向 当直线1和x轴平行或重合时，直 规定 量，它的坐标是(x2一x1y2一y1),直线的 线1的倾斜角为0 记法 倾斜角α、斜率k、方向向量P,P2之间的关 a 系是k=二当=tana(其中x≠x). x2-x1 图示 2.若k是直线L的斜率，则v=(1,k)是它的 一个方向向量；若直线1的一个方向向量 范围 [0,π) 的坐标为(x,y),其中x≠0，则它的斜率 [注意] 每一条直线都有唯一的倾斜角与 k=y 之对应 [即学即练] [注意](1)任意斜率不存在时的直线的 1.(多选)下列命题正确的是 一个方向向量为a=(0,1); A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 (2)任意直线的方向向量可表示为a= B.一条直线的倾斜角可以为一30 (cos0,sin0)(0为倾斜角). C.倾斜角为0°的直线有无数条 [即学即练] D.若直线的倾斜角为a,则sina∈(0,1) 1.过两点A(1,y),B(2,一3)的直线的方向 2.已知直线L的倾斜角a,= 12 向量为(1，一1)，则y的值为 ) 15°，直线11与12的交点 A A.2 B.-2 C.-5 D.5 为A,直线1，和L,向上的B0 2.已知点A(2,1),B(4,2),若直线y=ax-1 方向所成的角为120°， 如图，则直线12的倾斜角为 与线段AB(包括端点)总有公共点，则实 知识点2直线的斜率 数a的取值范围是 ) 直线的斜率：称k=二义（其中西≠红2） A. ℃2一x1 为经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2y2)的 B(-∞， 3 U[1,+∞) 直线l的斜率. [即学即练] c 1.已知点P1(3,5),P2(一1，一3)，则直线 PP,的斜率= 36暑假作业一个人最大的破产是绝望，最大的资产是希望。 [每日格言] .BD⊥平面PAC,又PAC平面PAC 因为m⊥a,n⊥B,所以m⊥a,n'⊥B, ∴.BD⊥PA. 所以a⊥m,a⊥n',所以a⊥y. 由已知DE⊥AP,DE∩BD=D,DE,BDC平面BDE, 又因为1中a,l￠B,所以l与a不重合，所以1∥a. .AP⊥平面BDE. (2)由BD⊥平面PAC,DEC平面PAC,得BD⊥DE. 作业（十五）简单几何体的再认识 由D、F分别为AC、PC的中点，得DF∥AP. 【基础演练】 又由己知得DE⊥AP,所以DE⊥DF,又BD∩DF=D, 1.A2.D3.B4.D BD,DFC平面BDF, 【综合演练】 .DE⊥平面BDF, 1.B球的半径为R,则球的表面积为4πR, 又DEC平面BDE. 圆柱的底面半径为R,高为2R, ∴平面BDE⊥平面BDF 则圆柱的表面积为2πR2+2πRX2R=6πR2, 【真题体验】 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为4πR:6πR=2:3. 1.Aa∩B=m,则mCa,m二B,对于①，若m∥n,则n∥a或 故选B. n∥B,①正确；对于②，若m⊥n,则可能n∥a或n与a相 2.A如图所示，连接AC,EF相交 交，②错误；对于③，若n∥a且n∥B,则n∥m,③正确；对 于点O,而四边形ABCD为正方 于@m与m所成角可以为[0，受]内的任意角，④错误. 形，EOL平面ABCD. 由正八面体的性质可知，AB= 故选A. BC=EA=EC=1,则AC=√2， 2.BD由三棱柱的性质可知，AA,⊥平面ABC,则AA⊥ AD,假设ADLA C,又AA∩AC=A,AA1,ACC平面 EO 2 AA,C,C,所以AD⊥平面AACC,矛盾，所以AD与A,C 不垂直，故A错误；因为三棱柱ABCA,B,C1是正三棱 所以体我积V=2VD=2X号× 柱，所以AA1⊥平面ABC,AA1⊥BC,因为D为BC的中 点，AC=AB,所以AD⊥BC,又AD∩AA,=A,AD,AA, ×1X1=怎，表面积S=856w=8X分×1X1× 2 31 C平面AA,D,所以BCL平面AA,D,又BC∥B,C1,所以 sin60°=2√3， B,C1⊥平面AA,D,故B正确：AB∥A1B,,AD与AB相 反 交，所以AD与A,B,异面，故C错误；CC1∥AA,CC1中 V 3 √6 平面AA,D,AA二平面AA1D,所以CC1∥平面AAD,故 所以§258 D正确. 故选A. 故选BD. 3.C因为正四棱台的上口边长为7cm,底部边长为5cm, 【易误警示】 高为9cm, [示例1]解析连接AC,A,C1,A,B,AD,D,C,AP(图 略).因为AA1∥CC,AA,=CC1,所以四边形AACC是 所以水杯的体积为}×(5+十5XT)X9=君× 平行四边形，所以AC∥AC1.又因为AC寸平面A,BC1, 109×9=327(cm3), A1C,C平面A,BC1,所以AC∥平面A,BC1,同理可证 因为0≈6,12，所以小明在疗程内每天需要饮水的杯数 AD,∥平面A,BC1.又因为ACC平面ACD1,AD,C平面 ACD,且AC∩AD,=A,所以平面ACD,∥平面A,BC1· 至少是7 因为APC平面ABC1,所以AP∥平面ACD,故②正 故选C. 确.因为BC1∥AD,所以BC1∥平面ACD,所以点P到 ;4.C根据题意圆锥P0的底面直径为12和高是√/10-6 平面ACD的距离不变.又因为VAD,e=Vp-AD,所以三 =8, 棱锥A-D1PC的体积不变，故①正确.连接DB,DC1, 因为圆锥底面半径与圆维的离比位为，设围柱的高00 DP,BD(图略).因为DB=DC1,所以当P为BC1的中点 =8一4t,圆柱的底面半径为3t, 时才有DP⊥BC1,故③错误.因为BB,⊥平面ABCD,AC: 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去的圆柱的侧 C平面ABCD,所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD,BB,∩ 面积， BD=B,BB,BDC平面BB1D1D,所以AC⊥平面 圆锥表面积为π×62十π×6X10=96π，圆柱侧面积为2π BB1DD.因为B1DC平面BB1D1D,所以B1D⊥AC.同理 ×3t×(8-4t), 可证BD⊥AD1.又因为ACC平面ACD1,AD1C平面 所以剩下几何体的表面积为96π十6t(8-4t)π=120π，所 ACD,AC∩AD1=A,所以BD⊥平面ACD.又因为 以t=1. BDC平面PDB,所以平面PDB⊥平面ACD,故④ 所以圆柱的高OO=8一4t=4, 正确. 故选C. 答案①②④ 5.ABD设圆锥的母线长为1，则母线长1为侧面展开图的 [示例2]D若a∥B,则由m⊥平面a,n⊥平面B,可得 半圆的半径，又圆锥的侧面展开图是面积为9π的半圆，所 m∥n,这与m,n是异面直线矛盾，故a与B相交. 设a∩B=a,过空间内一点P,作m'm,n∥n,则m'与n' 以号·x·广=9，则1=3巨：设园维的底面半径为，则 相交，m与n'确定的平面为Y.因为1⊥m,l⊥n,所以l⊥ m,l⊥n,所以1⊥Y 没-39该属徐的高A=7=,滨同维 2π 58 [每日格言]忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。高一数学（配BSD版） 【真题体验】 1.B设圆柱和圆锥的底面半径均为r,因为它们的高均为 (2).6 √3，且侧面积相等，所以2πrX√3=πr√(W3)+r2,得r2= 2 4 故选ABD. ,所以国维的体积V=子X=35x,故选B 6.解析直角边长分别为6m和8m的直角三角形的面积 2.解析因为BD=4√2且四边形ABCD为正方形，故BA=4, 为S=号X6X8=24m). 而DB1=9,故BB+BD=81,故BB1=7, 2S 2×24=2(m), 故所求体积为7×16=112， 则内切圆半径为 6+8+√/62+82 24 故答案为112. 因直三技柱高度为6m,含>2，则演球的最大丰径为2m 答案112 【易误警示】 答案2m [示例1]B由题图可知，ABLAC, 7.解析将ABCD绕AB翻折到与ABC1D共面，平面图形 AB=A'B′=1，AC=2A'C'=2, 如下所示， 所以Sw=号×1X2=1.故选B [示例2]解析如图，旋转之后形成的图形为圆台去掉一 个半球体， D 连接CD,(平面图形中)，则CD,的长度即为D1E十CE的 最小值， 因为AB=AD=1,AA=2V2,所以AD,=√+(2V2) 则荧转一月所形成的儿行体的体积为号×4× =3, (4x+25x+Vxx25a)-合×含x×2-1 3 所以DD1=4,所以CD1=√+4=√17， 所以D1E+CE的最小值为√I7 答案 140元 3 答案√7 8.解析设P点在平面ABC的投影为D, 第二部分 新知预习 因为PA=PB=PC=1,则D为△ABC的外心， 因为AB⊥BC,所以AC的中点即为△ABC的外心， 作业（十六）直线与直线的方程 取AC的中点D,连接BDPD,BD=宁AC= 知识点1 [即学即练] 设三棱锥PABC外接球的球心为O,则P,O,D三点 1.AC任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为 共线， 负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此 连接OB,则OB=OP=R, A正确，B错误，C正确.D中，当a=0°时，sina=0:当a=90 共中AD=CD=号 时，sina=1,故D错误. 由勾股定理得PD=VAP-AD=, 2.解析设直线l的倾斜角为a,l1和l2向上的方向所成的 角为120°，所以∠BAC=120°，所以a=120°+a1=135°. 则OD=Dp-OP=E 答案135° 2 -R, 知识点2 由胶定理得OD+BD产=B0,即(-R)+子=R, [即学即练] 1解析6=二-2 答案 2 2.解析 由4仁”=1，得m=1 m+2 答案1 知识点3 B [即学即练] :1.B由题意得花=(2，-3)-1，y)=1-3-y) (1,-1),.-3-y=-1,∴y=-2. 2.A直线y=a.x-1经过定点M(0,-1),又点A 答案 15 (2,1),B(4,2), 59 暑假作业别拿自己的人生和他人做比较，你根本不清楚他们的人生是怎么一回事。 [每日格言] 所以kAM= 号=1km=子=2 6.C ''acos B-bcos A-c=0, 0-2 .由正弦定理可得sin Acos B一cos Asin B-sinC=0. 又因为直线y=a.x一l的斜率为a,所以结合图形可得a 又在△ABC中sinC=sin(A+B), 的取值范国为[子小故选A .'sin Acos B-cos Asin B-sin (A+B)=0, .'sin Acos B-cos Asin B-(sin Acos B+cos Asin B) =0, .-2cos Asin B=0, :在△ABC中，sinB>0, .cosA=0,且A为△ABC的内角， .A=90°， 故选C 第三部分 综合检测 7.A由图象知f(0)=1,所以sin9=号.因为-5<9< 1.D由(1-2i)g=5i 5i 5i(1+2i) 吾，所以g吾所以fx)=2sin(ox+吾)》 得：=2220十2D=-2+i, 根据正弦函数的图象，如图， 所以=一2-i, 故选D. 2 sin a-- 2 5x 所以cos(a+吾）=吾-sin asin-吾 11x-元=5x,3=5 663'2x6 21 所以设画教f(z)=2sin(ox+吾)的周期为T, 故选C. 则x0一0= T,即x= 6 ×2=5 3.A因为向量a=(-1,1),b=(2,x),且a∥b, 6w3w1 则-x=1×2,即x=-2,可得b=(2,一2)， 因为x≤元，所以≤，所以0≥5。 3w 3 则a-b=(-3,3),所以a-b|=√(-3)2+32=3√2. 故选A. 所以@的最小值为号 4.B如图，正四棱台ABCDA1B1C1D1,取上、下底面正方 故选A, 形的中心O1,O, 8.B由BD=5,BC=3,CD=4,∴.BD=BC2+CD,即有 再取E,F分别为B,C1,BC的中点，过E作EM⊥OF, BC⊥CD. D 又AB⊥平面BCD,所以AB,BC,CD两两互相垂直，该鳖 01 A 糯如图所示 B D -0 则由题意可得，A:B1=2,AB=12,EF=13,则O1E D A,B=1,0F=AB=6 B 3 则在Rt△EMF中，EM=√132-5=12， 图形可以补形为长方体，该鳖糯的外接球即该长方体的外 则该四梭台作积为子×(4+144十V个X)×12=688。 接球，AD是长方体的体对角线，也是外接球的直径，设外 故选B. 接球半径为R,则(2R)=32+4+52=50, 所以整糯的外接球表面积为4πR2=50π. 5.A由sina-c0sa=号手方得 9.BC对于A,若a∩B=ba二a,则a∥b或a与b相交， A错误； 1-2sin acos a= 25→2 sin acos a= 1 24 25 对于B,若a∥B,aCa,由面面平行的性质可知存在c二B使 sin2a+2cos'(g+a） 得a∥c,由线面平行的判定可得a∥B,B正确； 2sin acos a+2sin'a 对于C,若a∥b,b二a,则因为在a内存在无数条直线和b 1-tan(x-a) 1+tan a 平行，故直线a平行于平面a内的无数条直线，故C正确. -2sin a(cos a sin a)2sin acos cos a+sin a 25 对于D,若a∥B,aCa,b二B,则a∥b或a与b是异面直线， cos a 故D错误.故选BC 60