作业(十四) 垂直关系-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（北师大版·新教材）

暑假作业很多事先天注定，那是“命”；但你可以决定怎么面对，那是“运”！ [每日格言] 作业（十四） 今 月 日 星期 垂直关系 历 天气 1知识整合 1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形表示 符号表示 l⊥a 如果一条直线与一个平面内的 L⊥b 判定 两条相交直线垂直，那么该直线 a∩b=A→l⊥a 定理 与此平面垂直 aCa bCa a b 性质垂直于同一个平面的两条直线 a⊥a →a∥b 定理平行 b⊥a 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成 的角，一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与平面平行，或在平面内，则它 们所成的角是0°的角. (2固：0，引 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角. (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角. (3)二面角的平面角α的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 类别 文宇语言 图形表示 符号表示 判定如果一个平面过另一个平面的 ⊥B1 →a⊥B 定理垂线，那么这两个平面垂直 ICa 两个平面垂直，如果一个平面内 a⊥B 性质有一条直线垂直于这两个平面 aNB-a →l⊥a 定理的交线，那么这条直线与另一个 l⊥a 平面垂直 ICB 30 [每日格言]失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。高一数学（配BSD版） 2基础演练 2.如图，已知棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，二面角D1-BCD的大小是 1.(多选)若直线l与平面α垂直，则下列说 法正确的是 ( ) A.直线l与平面a的所有直线都垂直 B B.在平面α内存在与直线l异面的直线 C.在平面α内存在无数条直线与直线1 相交 D.在平面α内存在与直线l平行的直线 A.30 B.45° 2.已知m,n是两条不同的直线，a是一个平 C.60 D.90° 面，下列命题正确的是 ( ) 3.(多选)平面a垂直于平面β，且a∩3=l,下 A.若m∥&，n⊥a,则m⊥n 列命题正确的是 () B.若m⊥a,n⊥a,则m⊥n A.平面α内一定存在直线平行于平面3 C.若m∥a,m⊥n,则n⊥a B.平面α内已知直线必垂直于平面B内无 D.若m⊥&，m⊥n,则n⊥a 数条直线 3.已知a,3是两个不同的平面，m,n是两条 C.平面α内任一条直线必垂直于平面B 不同的直线，能使m⊥n成立的一组条件是 D.过平面α内任意一点作交线l的垂线， 则此垂线必垂直于平面β A.a∥B,m⊥a,n⊥3 4.(多选)如图，在直三棱柱 A B.a∥B,mCa,n⊥3 ABC-A1B1C1中，BC= C.a⊥B,m⊥a,n∥3 AC,AC1⊥AB,M,N分别 D.a⊥β，mCa,n∥3 是AB1,AB的中点，那么 4.已知一个圆锥的侧面积是底面面积的 下列结论正确的有( 2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角 A.B1C1⊥平面AA,C1C 的大小为 B.A1B⊥NB 3综合演练 C.平面A,BC⊥平面AMC D.平面AMC1∥平面CNB, 1.设a表示平面，a,b表示直线，给出下列四 5.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥CB, 个说法中正确的是 ( AC=CB=1,CC1=2,则点A1到直线BC A.a∥a,a⊥b→b∥a 的距离是 B.a∥b,a⊥a→b⊥a 6.如图所示，已知三棱锥PABC中，PC⊥底 C.a⊥a,a⊥b→bCa 面ABC,AB=BC,D、F分别为AC、PC的 D.a⊥b,bCa→a⊥a 中点，DE⊥AP于E. 31 暑假作业若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。 [每日格言] 5易误警示 E 易错一 对面面垂直的判定定理理解不到 位致错 [示例1]如图，点P在正方体ABCD (1)求证：AP⊥平面BDE; ABCD1的面对角线BC1上运动，有下 (2)求证：平面BDE⊥平面BDF. 面四个结论：①三棱锥A-D1PC的体积 不变；②AP∥平面ACD1;③DP⊥BC1: ④平面PDB,⊥平面ACD1.其中正确结论 的序号是 .(写出所有你认为正确 结论的序号) 名师叮嘱 4真题体验 本题易忽视点P在BC1上运动时，平面PDB1内 的B,D⊥平面ACD1,导致无法证明平面PDB1⊥ 1.(2024·全国甲卷)设a,3为两个平面，m, 平面ACD,而漏选④.一条直线与一个平面垂直， n为两条直线，且a∩3=m,下述四个 则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线，线 命题： 线垂直、线面垂直和面面垂直之间是可以相互转 ①若m∥n,则n∥a或n∥B 化的，应准确掌握，灵活应用 ②若m⊥n,则n⊥a或n⊥3 易错二对线面垂直的性质应用不当致错 ③若n∥a且n∥β，则m∥n [示例2]已知m,n为异面直线，m⊥平 ④若n与&，3所成的角相等，则m⊥n 面a,n⊥平面β，直线l满足l⊥m,l⊥n, 其中所有真命题的编号是 l庄a,l吐B,则 A.①③ B.②④ A.a∥B且l∥a C.①②③ B.&⊥B且l⊥B D.①③④ C.α与3相交，且交线与l垂直 2.（多选)(2025·全国一卷)在正三棱柱ABC D.a与3相交，且交线与l平行 A1BC中，D为BC的中点，则 ( 名师可嘱 A.AD⊥AC 解答本题时，容易忽视α∥3时，可由条件推出 B.B,C1⊥平面AAD m∥n,与m,n为异面直线矛盾，导致错选A.也容 C.AD∥AB 易忽视构造辅助平面Y,无法利用线面垂直的性质 D.CC1∥平面AA,D 定理证明线线平行，导致错选C 32[每日格言]好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也 2.I)解析由题知，∠PAB=子，即轴藏面△ABP是等边 三角形，故PA=AB=2, 底面周长为2x×1=2x别侧面积为号×2X2x=2元 (2)证明由题知AQ=QP,AO=OB,则根据中位线性质， 得QO∥PB, 又QO寸平面PBD,PBC平面PBD,则QO∥平面PBD 由于AC=子，底面国半径是1，则∠AOC=号，又CD∥ AB,则∠OCD=吾 又OC=OD,则△OCD为等边三角 形，则CD=1, 于是CD∥OB且CD=OB,则四边 形OBDC是平行四边形，故OC ∥BD, 又OC寸平面PBD,BDC平面 PBD,故OC∥平面PBD. B 又OC∩OQ=O,OC,OQC平 C 面QOC, 根据面面平行的判定，得平面QOC∥平面PBD, 又M∈OC,则QMC平面QOC,则QM∥平面PBD 【易误警示】 [示例1]解析如图，连接BC1,交 4 B,D于点F,连接EF,因为平面 ABC1∩平面B,DE=EF,A,B∥ 平面B,DE,所以A,B∥EF,所以 AE BF EC FC B 因为BC∥B,C,易得△BDFD△CBF, 因为D是BC的中点，所 BD 1 C1B,2 AE-1 所以EC=2 1 答案 [示例2]D根据题意作出图形，如图，其中，E,F,G,H, P,Q,M,N分别为所在棱的中点，所以PN∥B,D.因为 PN中平面DBBD,BD1C平面DBB1D1,所以PN∥平 面DBB,D1,同理可证GF∥平面DBB,D1,因为四边形 BCCB,是平行四边形，N,F分别是B,C1,BC的中点，所 以NF∥BB.又因为NF寸平面DBB,D,BB,C平面 DBB,D,所以NF∥平面DBB,D.同理可证PG∥平面 DBB,D.又因为PN∩NF=V,PN,NFC平面PVFG, 所以平面PNFG∥平面DBB,D.因为PFC平面PNFG, VGC平面PNFG,所以PF∥平面DBB,D,,NG∥平面 DBBD1.同理可证QM,ME,EH,HQ,QE,MH也与平面 DBB,D1平行，所以与平面DBB1D1平行的直线共有 12条. D B D G 要和朋友一起分享。 高一数学（配BSD版） 作业（十四） 垂直关系 【基础演练】 1.AC2.A3.B4吾 【综合演练】 1.B若a∥a,a⊥b,则b与a可能平行，也可能相交，也可能 b就在平面Q内，故A错误；这是直线与平面垂直的性质 定理：若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条 也垂直于这个平面，故B正确：若a⊥a,a⊥b,则b可能在 平面a内，也可能b与a平行，故C错误；若a⊥b,b二a,则 与a可能平行，也可能垂直，也可能相交但不垂直，也可 能a就在平面a内，故D错误，故选B. 2.B由BC⊥平面DD1C1C,D1CC平面DD1C1C,所以D1C ⊥BC, 又DC⊥BC,可知∠D1CD为二面角D1-BCD的平面角， 因为DCC1D1为正方形，所以∠D1CD=45°， 所以二面角D1-BCD的大小是45°. 故选B. 3.AB因为I二平面B,则平面《内只要是平行于1的直线， 都平行于平面B,故A正确：在平面B内作直线1的垂线 m,则m⊥平面a,则m垂直于平面a的任意直线；故平面a 内已知直线必垂直于直线m,以及与m平行的无数条直 线，故B正确；平面α内垂直于两平面交线l的直线才垂直 于平面B,故C错误；过平面a内，且在交线1外的一点作 交线1的垂线，则此垂线必垂直于平面B,故D错误，故 选AB. 4.BCD因为B,C与AC不一定垂直，所以B,C,与平面 AA,C,C不一定垂直，故A错误. 由侧棱AA1⊥平面A1B,C1,可得AA⊥C1M.由B,C1= AC1及M为A1B,的中点，可得C1M⊥A1B· 又因为AA∩AB1=A,AA,A1B,C平面A1ABB1,所 以CM⊥平面A1ABB,,A,BC平面A1ABB1,从而C,M ⊥AB. 已知AC1⊥AB,CM∩AC1=C1,C1M,AC1C平面 AMC1,所以A,B⊥平面AMC,从而平面ABC⊥平面 AMC,,AB⊥AM. 又MB,∥AN,MB,=AN,所以ANB,M是平行四边形， 所以AM∥NB1,A1B⊥NB,所以B和C正确。 AM∥NB,,AM中平面CNB,NB,C平面CNB,,所以 AM∥平面CNB,, 同理MC∥平面CNB1,MC,∩AM=M,MC1,AMC平面 AMC1,所以平面AMC,∥平面CVB,故D正确. 5.解析连接AC,因为三棱柱ABCA1B,C为直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以CC1⊥BC,又 AC⊥CB, AC∩CC1=C,AC,CC1C平面ACC1A1,所以BC⊥平 面ACC1A1, 又A1CC平面ACC1A1,所以AC⊥BC, 又AC=CB=1,CC1=2,所以A1C=√2+2=√5， 即点A到直线BC的距离为√5. 答案√5 6.证明(1)，'PC⊥底面ABC,BDC平面ABC, .PC⊥BD. 由AB=BC,D为AC的中点，得BD⊥AC. 又PC∩AC=C,PC,ACC平面PAC, 暑假作业一个人最大的破产是绝望，最大的资产是希望。 [每日格言] ∴.BD⊥平面PAC,又PAC平面PAC 因为m⊥a,n⊥B,所以m⊥a,n'⊥B, ∴.BD⊥PA. 所以a⊥m',a⊥n',所以a⊥y. 由已知DE⊥AP,DE∩BD=D,DE,BDC平面BDE. 又因为l中a,l中B,所以1与a不重合，所以l∥a. .AP⊥平面BDE. (2)由BD⊥平面PAC,DEC平面PAC,得BD⊥DE. 作业（十五）简单几何体的再认识 由D、F分别为AC、PC的中，点，得DF∥AP. 【基础演练】 又由己知得DE⊥AP,所以DE⊥DF,又BD∩DF=D, 1.A2.D3.B4.D BD,DFC平面BDF, 【综合演练】 .DE⊥平面BDF, 1.B球的半径为R,则球的表面积为4πR, 又DEC平面BDE, 圆柱的底面半径为R,高为2R, ∴平面BDE⊥平面BDF 则圆柱的表面积为2πR2+2πRX2R=6πR2, 【真题体验】 所以球的表面积与圆柱的表面积之比为4πR:6πR=2:3. 1.Aa∩B=m,则mCa,m二B,对于①，若m∥n,则n∥a或 故选B. n∥B,①正确；对于②，若m⊥n,则可能n∥a或n与a相 2.A如图所示，连接AC,EF相交 交，②错误；对于③，若n∥a且n∥B,则n∥m,③正确；对 于点O,而四边形ABCD为正方 于@，m与m所成角可以为[0，受]内的任意角，④错误. 形，EO⊥平面ABCD. 由正八面体的性质可知，AB= 故选A. BC=EA=EC=1,则AC=√2， 2.BD由三棱柱的性质可知，AA,⊥平面ABC,则AA,⊥ 4 AD,假设ADLA C,又AA∩AC=A,AA1,ACC平面 EO- 2 AAC,C,所以AD⊥平面AACC,矛盾，所以AD与A,C 不垂直，故A错误；因为三棱柱ABCA1B,C1是正三棱 所以体积V=2VAD=2X号× 柱，所以AA1⊥平面ABC,AA1⊥BC,因为D为BC的中 点，AC=AB,所以AD⊥BC,又AD∩AA=A,AD,AA, X1X1=9,表面积S=8Sw=8×子X1X1× 2 31 C平面AA,D,所以BCL平面AA,D,又BC∥B,C1,所以 sin60°=2√3， B,C1⊥平面AA,D,故B正确；AB∥A1B,,AD与AB相 2 交，所以AD与A,B,异面，故C错误：CC1∥AA,,CC1中 V 3 6 平面AA,D,AA,C平面AA1D,所以CC1∥平面AAD,故 所以§258 D正确. 故选A. 故选BD. 3.C因为正四棱台的上口边长为7cm,底部边长为5cm, 【易误警示】 高为9cm, [示例1]解析连接AC,A,C1,A,B,AD,D,C,AP(图 略).因为AA1∥CC,AA1=CC1,所以四边形AACC是 所以水杯的体积为子×(5+十5XT)X9=君× 平行四边形，所以AC∥AC1.又因为AC寸平面A,BC1, 109×9=327(cm3), A,C,C平面A,BC1,所以AC∥平面A,BC1,同理可证 因为≈6,12，所以小明在疗程内每天需要饮水的杯数 AD,∥平面A,BC1.又因为ACC平面ACD,AD,C平面 ACD1,且AC∩AD,=A,所以平面ACD,∥平面ABC1· 至少是7. 因为APC平面ABC1,所以AP∥平面ACD,故②正 故选C. 确.因为BC1∥AD,所以BC,∥平面ACD,,所以点P到 ;4.C根据题意圆锥P0的底面直径为12和高是√/10-6 平面ACD,的距离不变.又因为VAD,e=VP-ACD,所以三 =8, 棱锥A-D1PC的体积不变，故①正确.连接DB,DC,! 因为圆锥底面半径与圆维的离比位为，设国柱的高00 DP,B,D(图略).因为DB=DC,所以当P为BC1的中点 =8一4t,圆柱的底面半径为3t, 时才有DP⊥BC1,故③错误.因为BB,⊥平面ABCD,AC: 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去的圆柱的侧 C平面ABCD,所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD,BB,∩ 面积， BD=B,BB,,BDC平面BB1D1D,所以AC⊥平面 圆锥表面积为π×62十π×6X10=96π，圆柱侧面积为2π BB1DD.因为B1DC平面BB1D1D,所以B1D⊥AC.同理 X3t×(8-4t), 可证B,D⊥AD1.又因为ACC平面ACD1,AD1C平面 所以剩下几何体的表面积为96π十6t(8-4t)π=120π，所 ACD,AC∩AD1=A,所以B,D⊥平面ACD.又因为 以t=1. BDC平面PDB,所以平面PDB⊥平面ACD,,故④ 所以圆柱的高OO=8一4t=4, 正确. 故选C 答案①②④ 5.ABD设圆锥的母线长为1，则母线长1为侧面展开图的 [示例2]D若a∥B,则由m⊥平面a,n⊥平面B,可得 半圆的半径，又圆锥的侧面展开图是面积为9π的半圆，所 m∥n,这与m,n是异面直线矛盾，故a与B相交. 设a∩B=a,过空间内一点P,作m'∥m,n∥n,则m'与n' 以号·x·广=9x,则1=3巨：设园维的底面半径为，则 相交，m与n'确定的平面为Y.因为1⊥m,l⊥n,所以l⊥ m,l⊥n,所以1⊥Y 没-39该属缘的高A=V个7=该同维 2π 58