作业(十二) 空间点、直线、平面之间的位置关系-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（北师大版·新教材）

暑假作业伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。[每日格言] 作业（十二》 今 月 日 星期 空间点、直线、平面之间的位置关系 历 天气 1知识整合 1.与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 过不在一条直线上的 基本 ·B A,B,C三点不共线→存在唯一的平面a使A, 三个点，有且只有一个 事实1 aA.C B,C∈a 平面 如果一条直线上的两 基本 个点在一个平面内，那 A∈l,B∈l,且A∈a,B∈a→lCa 事实2 么这条直线在这个平 B 面内 如果两个不重合的平 基本 面有一个公共点，那么 B P∈a,P∈B=a∩B=-l,且P∈l 事实3 它们有且只有一条过 a 该点的公共直线 (2)基本事实1和基本事实2的三个推论 推论 内容 图形 作用 条直线和该直线外一点确定一 推论1 个平面 推论2 两条相交直线确定一个平面 确定平面的依据 推论3两条平行直线确定一个平面 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 图形 a 语言 a B 平行 关系 符号 a∥b a∥a a∥B 语言 (a∩b=) (a∩a=d) (a∩B=0) 24 [每日格言]再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。 高一数学（配BSD版） 续表 关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 图形 语言 a 相交 关系 符号 a∩b=A a∩a=A a∩B=l 语言 图形 语言 独有 关系 符号 a,b是 aCa 语言 异面直线 3.基本事实4和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4.异面直线所成的角 已知两条异面直线a,b,过空间任一点O作直线a'∥a,b∥b,这时a',b共面，我们把a'与b' 所成的不大于90的角称为异面直线a,6所成的角（或夹角）.其范围是(0，引： 2基础演练 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面 直线AD1与AB所成的角等于() 1.若直线l不平行于平面a,则下列结论正确 的是 ( A.平面α内的所有直线都与直线l异面 B.平面α内不存在与直线l平行的直线 C.平面α内的所有直线都与直线L相交 B. c.3 D. D.直线l与平面a一定有公共点 A晋 2.能确定一个平面的条件是 3综合演练 A.空间三个点 1.下列说法其中正确的是 B.一个点和一条直线 A.四边相等的四边形是菱形 C.无数个点 B.如果一个角的两边和另一个角的两边 D.两条相交直线 分别平行，那么这两个角相等 C.如果一个平面内有无数条直线平行于 3.如果直线aC平面a,直线bC平面a, 另一个平面，那么这两个平面平行 M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则 D.两条直线a,b分别和异面直线c,d都 A.ICa B.ICa 相交，则直线a,b的位置关系可能是异 C.l∩a=M D.l∩a=N 面直线，也可能是相交直线 25 暑假作业山不辞土，故能成其高；海不辞水，故能成其深！ [每日格言] 2.如图是某个正方体的侧面展开图，11，l2是 4真题体验 侧面的两条对角线，则在正方体中，11与12 (2025·天津卷)已知m,n为两条直线，a, 3为两个平面，则下列结论中正确的是 A.若m∥a,nCa,则m∥n B.若m⊥a,m⊥3，则a⊥3 A.互相平行 C.若m∥a,m⊥3，则a⊥3 B.相交且夹角为行 D.若mCa,a⊥3，则m⊥3 5易误警示 C.异面且夹角为等 易错一 对基本事实理解不透彻致错 D.异面且互相垂直 [示例1] 下列说法正确的是 ( 3.(多选)已知m、n是两条不同直线，a,B,Y A.空间中不同的三点确定一个平面 是三个不同的平面，则下列结论一定成立 B.空间中两两相交的三条直线确定一个 的有 ) 平面 A.若m⊥a,n⊥a,则m∥n C.空间中有三个角为直角的四边形一定 B.若a⊥B,a⊥Y,则B∥Y 是平面图形 C.若m⊥a,m⊥B,则a∥3 D.和同一条直线相交的三条平行直线一 D.若m∥a,n∥a,则m∥n 定在同一个平面内 4.在棱长为2a的正四面体（四个面都是正三角 名师叮嘱 形)ABCD中，点M为CD的中点，则直线 忽视基本事实1中的关键词“不在一条直线上”， AC与直线BM所成角的余弦值为 就会错选A;若对两两相交的三条直线的情况考 5.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F 虑不全，就会错选B;空间想象能力不够，就会错 分别为DC1,CB,的中点，AC∩BD=P, 选C. AC1∩EF=Q.求证： 易错二利用基本事实忽略前提条件致错 (1)D,B,F,E四点共面； [示例2]已知A,B,C,D,E五点中，A,B, (2)若A,C交平面DBFE于点R,则P,Q, C,D共面，B,C,D,E共面，则A,B,C,D, R三点共线； E五点的位置关系是 (3)DE,BF,CC1三线交于一点. A.共面 B.不共面 C.共线 D.不确定 名师叮嘱 解本题时易误认为因为A,B,C,D共面，所以点A 在B,C,D所确定的平面内.因为B,C,D,E共面， 所以点E也在B,C,D所确定的平面内，所以点 A,E都在B,C,D所确定的平面内，即A,B,C,D, E五点一定共面，以上错解忽略了“不在一条直线 上的三个点”这个重要条件，实际上B,C,D三点 有可能共线. 26暑假作业没有人富有得可以不要别人的帮助，也没有人穷得不能在某方面给他人帮助。 [每日格言] 对于C,复数之=2一i在复平面内对应的点为(2，一1)，位！[示例2]解析设x。是方程的实数根，代入方程并整理得 于第四象限，故C正确； (x6+kx。+2)+(2.x。+)i=0, 对于D,将之=2-i代入方程x2-4x+6=0左边， x号+kx。+2=0 解得 或 x=-√2， 即(2-i)2-4(2-i)+6=4-4i+2-8+4i+6=1≠0， 2x。+k=0, k=-22k=22, 也即心不是该方程的根，故D错误， 故选AC. .实数的值为士2√2 6.CD对于A,显然若名=1十i,2=-1十i,则|名|= 答案士2√2 ||=√2， 作业（十二） 空间点、直线、平面之间的 但=2i,=一2i,故A错误； 对于B,举例x=3十i,则满足x一(2十i)>0,但是复数不能 位置关系 直接比较大小，即x>2十i不成立，故B错误； 【基础演练】 对于C,由1=0，得|1|=0，即|10|=0，因此 1.D2.D3.A4.C |x1|=0或|2|=0,1=0或=0，C正确： 【综合演练】 对于D,设之=x十yi,x,y∈R, 1.D只有平面内四边相等的四边形才是菱形，空间内四边 则x2+y2=1,∴y∈[-1,1]，|x-2i=Wx2+(y-2) 相等的四边形可以构成立体图形，故A错误；如果一个角 的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或 =√/1-y+(y-2)=√5-4y∈[1,3]，则1之-2最大 互补，故B错误；若平面内无数条直线均平行，则两个平面 值为3，故D正确. 可以平行或相交，故C错误；两条直线口，b分别和异面直 故选CD. 线c,d都相交，则直线a,b的位置关系可能是异面直线， 7.解析由一2十3i是关于x的方程2x2十px十g=0的一 也可能是相交直线，故D正确，故选D 个根， 2.B将平面展开图还原成正方体如图所示， 则2(-2+3i)2+(-2+3i)+q=0, 整理得(g-2-10)十(3力-24)i=0, l2 时8海释 B(C) g=26, 所以p+q=34. 答案34 8解析由题意可得：=学=c0s号十m号”= 则B,C两，点重合，可知1与12相交，连接AD, eos(x-子）+isin(4x-子)=cos音-isin音=合 则AB=AD=BD,可知△ABD为正三角形，所以1与12 昌所以：的虚年为 2 的夹角为子 故选B. 答案 2 3.AC选项A:若m⊥a,n⊥a,由线面垂直的性质可知 【真题体验】 m∥n,故A选项正确； 1.C因为(1+5i)i=i+5=一5+i,所以其虚部为1，故 选项B:若a⊥B,a⊥Y,则B∥y不一定正确，因为3与Y可 选C. 能相交，故选项B不正确： 1=1==-i 2.A周为=1十i,所以中白宁京 选项C:若m⊥a,m⊥3，由线面垂直的性质和面面平行的 定义或判定定理可知a∥B,故C选项正确； 故选A. 选项D:若m∥a,n∥a,则m∥n不一定正确，因为m与n 3.B由i·十2=21可得，=-2+21=2+2，所以1= 可能相交，也可能m与n异面，选项D不正确 i 故选AC √2+22=2√2 4.解析因为点M为CD的中点，取 故选B. AD中点E,连接EM,BM,BE, 4.解析先由题得3+-i(3+i)=1-3i, 则EM∥AC,如图， 所以直线AC与直线BM所成角的 所以中=下+(-=而 余弦值转化为直线BM与直线EMB 所成角的余弦值， 故答案为√10. 因为该四面体为正四面体，△ABD,△BCD为等边三 答案√10 角形， 【易误警示】 [示例1]解析(1)当m满足m2十3m十2=0，且m-2m 所以BE=BM=Ea,EM=合AC=a 一2>0，即m=一2或m=一1时，之是实数. 所以在△BEM中， (2)当m满足m2+3m+2≠0且m-2m-2=1, 由余弦定理，BE=EM+BM-2EM·BM· 即m=3时，义是纯虚数」 cos∠EMB, 54 [每日格言]生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 高一数学（配BSD版） 即(W3a)=a2+(3a)2-2a·(3a)·cos∠EMB, (2)若B,C,D三点共线于1，若A∈1，E∈1，则A,B,C,D, 解得cos∠EMB=E E五点一定共面，但平面不唯一： 6 若A,E中有且只有一个在1上，则A,B,C,D,E五点一定 共面， 答案 6 若A,E都不在1上，则A,B,C,D,E五点，可能共面，也可 5.证明(1)因为EF是△DB,C的中位线， 能不共面 所以EF∥B1D1, 综上，A,B,C,D,E五点的位置关系无法确定. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD, 所以EF∥BD. 作业（十三）平行关系 所以EF,BD确定一个平面，即D,B,F,E四点共面 【基础演练】 C 1.D2.C3.D4.B 【综合演练】 1.D垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，① 错误：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平 行的判定定理知②正确；垂直于同一个平面的两条直线互 D 相平行，由直线与平面垂直的性质知③正确：垂直于同一 个平面的两个平面平行或相交，④错误.故选D. A 2.D对于选项A: (2)在正方体ABCD-A B,C,D1中，设平面AA,CC为a, 若m∥a,n二a,所以m,n可能平行也可能异面，所以A 平面BDEF为B. 错误； 因为Q∈A1C1,所以Q∈a.又Q∈EF,所以Q∈B. 对于选项B: 所以Q是α与B的公共点. 若m∥a,a∥B,所以m可能与平面B平行，也可能在平面B 同理，P也是a与B的公共点.所以a∩B=PQ 内，所以B错误： 又A,C∩B=R,所以R∈A,C,R∈a,且R∈B. 对于选项C: 则R∈PQ, 若m∥a,m∥B,那么a∥B,也可能平面a,B相交，所以C 故P,Q,R三点共线 错误； (3)因为EF∥BD且EF<BD,所以DE与BF相交， 对于选项D: 设交点为M,则由M∈DE,DEC平面D,DCC,得M∈平 根据平行平面的传递性，若a∥B,B∥Y,则a∥Y.所以D 面DDCC1, 正确. 同理，点M∈平面B,BCC1 故选D 又平面D1DCC∩平面BBCC,=CC, 3.D如图所示， 所以M∈CC.所以DE,BF,CC三线交于一点M. 【真题体验】 B C对子A,若m∥e,mCa,则mm可平行或异而.北A A 错误； 对于B,若m⊥a,m⊥B,则a∥B,故B错误； 对于C,若m∥a,mLB,则a⊥B,故C正确； B 对于D,mCa,a⊥B,则m与B可平行或相交或m二B,故D 错误. 故选C. 作平面KSHG∥平面ABCD,C,F,D1E交平面KSHG于 【易误警示】 点N,M,连接MN, [示例1]D空间中共线的三点 由面面平行的性质得MN∥平面ABCD,由于平面KSHG 不能确定一个平面，所以选项A B 有无数多个， 错误；空间中两两相交的三条直 a(B) b 所以平行于平面ABCD的MN有无数多条，故选D. 线交于同一点时，可能确定一个 4.BC选项A,在△ABC中，因为E,F分别是边AB,BC的 平面也可能确定三个平面，所以选项B错误；空间中有三 中点，所以EF/AC且EF=合AC 个角为直角的四边形可能是空间图形，所以选项C错误； 选项D正确，如图，因为a∥b,所以直线a,b确定一个平面 当入==之时，H,G分别为DA,DC中点，所以在△DAC a.因为b∥c,所以直线b,c确定一个平面B.因为1二a,l二 B,由“经过两条相交直线，有且只有一个平面”可知a与B 中可得HG∥AC且HG=号AC,所以EF∥HG且EF 重合，所以ab,c,l共面. -HG. [示例2]D分两类进行讨论.(1)若B,C,D三点不共线， 所以四边形EFGH是平行四边形， 则它们确定一个平面a因为A,B,C,D共面，所以点A在 又E,H分别为AB,AD的中点，所以EH∥BD, 平面a内.因为B,C,D,E共面，所以点E在平面a内， 又EF∥AC, 所以点A,E都在平面a内，即A,B,C,D,E五点一定 当BDLAC时有EH⊥EF,平行四边形EFGH为矩形， 共面， 所以四边形EFGH不一定是矩形，A错误； 55