作业(十三) 平行关系-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]金钱损失了还能挽回，一旦失去信誉就很 作业（十三） 平行关系 1知识整合 1.直线与平面平行的判定定理与性质定理 类别 文宇语言 图形表示 符号表示 如果平面外一条直线 lta,a□ 判定 与此平面内的一条直 a,且l∥a 定理线平行，那么该直线与 a /o →l∥a 此平面平行 一条直线与一个平面 1∥a,lCB, 性质平行，如果过该直线的 a∩3=a→ 定理 平面与此平面相交，那 l∥a 么该直线与交线平行 2.平面与平面平行的判定定理与性质定理 类别 文宇语言 图形表示 符号表示 两个平面平行，则其中 aa a∥B,a□ 性质 一个平面内的直线平 a→a∥B 行于另一个平面 两个平面平行，如果另 a∥B, 性质 个平面与这两个平 a∩y=a, 定理 面相交，那么两条交线 B ∩Y=b 平行 →a∥b 2基础演练 1.已知两条直线a,b,若a∥平面a,b∥a,则 b与平面α的位置关系是 A.bC平面a B.b⊥平面a或bC平面a C.b∥平面a D.b∥平面a或bC平面a 2.平面a∥平面B,直线l∥a,则 A.l∥B B.ICB C.l∥B或lC3 D.1,3相交 难挽回。 高一数学（配BSD版） 今 月 日 台 星期 天气 3.若α为平面，则下列命题是真命题的是 ( A.若直线l平行于平面α内的无数条直 线，则l∥a B.若直线a在平面a外，则a∥a C.若直线a∥b,直线bC平面&，则a∥a D.若直线a∥b,b∥a,则a平行于平面a 内的无数条直线 4.如图，在三棱柱ABC-A1B,C中，过AB 的平面（非平面ABB1A1)与平面ABC交于 DE,则DE与AB的位置关系是() C A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 3综合演练 1.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直 线互相平行”的性质，可推出空间中有下列 结论中正确的序号是 ( ①垂直于同一条直线的两条直线互相 平行； ②垂直于同一条直线的两个平面互相 平行； ③垂直于同一个平面的两条直线互相 平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相 平行 A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 暑假作业每一个成功者都有一个开始。勇于开始 2.已知m,n为两条不同直线，a,B,Y为三个 不同平面，则下列说法正确的是() A.若m∥a,nCa,则m∥n B.若m∥a,a∥B,则m∥g C.若m∥a,m∥B,则a∥B D.若a∥B,B∥Y,则a∥Y 3.已知点E,F分别是正方体ABCD-A1B,CD, 的棱AB,AA1的中点，点M,N分别是线 段D,E与C,F上的点，则满足与平面 ABCD平行的直线MN有 D A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 4.（多选)如图，空间四边 形ABCD中，E,F分 H 别是边AB,BC的中 点，G,H分别在线段 DC,DA上，且满足 DG=λDC,DH=DA,λ，∈(0,1)，则下 列说法正确的是 A.当入==时，四边形EFGH是矩形 &当A-=号时，四边形FGH是梯形 C.当A≠时，四边形EFGH是空间四 边形 D.当入≠时，直线EH,FG,BD相交于 一点 5.(2024·朝阳高一期中)已知直线m和平 面a,B.给出下列三个论断：①m∥a; ②a∥B;③mCB.以其中的两个论断作为 条件，余下的一个论断作为结论，写出一个 正确的命题： 才能找到成功的路。 [每日格言] 6.如图，正三棱柱ABCA1B,C1的底面边长 是2，侧棱长是2√3，M为A,C的中点，N 是侧面BCC1B1,内的动点，且MN∥平面 ABC,,则点N的轨迹的长度为 C 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形 ABCD是平行四边形，E是侧棱PC上一 点，且PE=2EC. (1)试确定侧棱PC上一点Q的位置，使 AQ∥平面BDE; (2)在侧棱PB上是否存在一点R,使 AR/平面BDE?若存在，求曲器的值： 若不存在，请说明理由. D [每日格言]障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究利用它们，便能从失败中培养出成功。高一数学（配BSD版） 4真题体验 (2)已知Q是母线PA的中点，点C,D在 1.(浙江卷)如图已知正方体ABCD 底面圆周上，且弧AC的长为号，CD∥AB. A1BCD1,M,N分别是AD,DB的中点， 设点M在线段OC上，证明：直线QM∥平 则 ( 面PBD D B A.直线A,D与直线DB垂直，直线 MN∥平面ABCD 5易误警示 B.直线A,D与直线D,B平行，直线 MN⊥平面BDD1B 易错一 线面平行的性质定理应用不当 C.直线AD与直线D,B相交，直线 致错 [示例1] MN∥平面ABCD 如图，在三棱柱ABC-A,B,C1中， D是BC的中点，E是AC1上一点，且A,B D.直线A,D与直线D,B异面，直线 MN⊥平面BDD,B /平面BDE,则AE EC的值为 2.(2025·上海卷)如图，P 是圆锥的顶点，O是底面 圆心，AB是底面直径， 且AB=2. (1)若直线PA与圆锥底 名师可嘱 利用线面平行的性质定理解决相关的计算问题， 面所成角为弩，求圆维的侧面积： 一般要做辅助线或辅助面，此时要注意根据线面 平行的性质做辅助线或辅助面，不可盲目的做，进 而得到直线与直线的平行，再利用比例关系计算. 易错二对面面平行的性质理解不透彻 致错 [示例2]四棱柱ABCD-A,B,C1D1的底 面是平行四边形，过此四棱柱任意两条棱 的中点作直线，其中与平面DBB,D,平行 的直线共有 ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 名师可嘱 解答本题易忽视两个平面平行，其中一个平面内 的所有直线与另一个平面平行： 29[每日格言]生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 高一数学（配BSD版） 即(W3a)=a2+(3a)2-2a·(3a)·cos∠EMB, (2)若B,C,D三点共线于1，若A∈1，E∈1，则A,B,C,D, 解得cos∠EMB=E E五点一定共面，但平面不唯一： 6 若A,E中有且只有一个在1上，则A,B,C,D,E五点一定 共面， 答案 6 若A,E都不在1上，则A,B,C,D,E五点，可能共面，也可 5.证明(1)因为EF是△DB,C的中位线， 能不共面 所以EF∥B1D1, 综上，A,B,C,D,E五点的位置关系无法确定. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD, 所以EF∥BD. 作业（十三）平行关系 所以EF,BD确定一个平面，即D,B,F,E四点共面 【基础演练】 C 1.D2.C3.D4.B 【综合演练】 1.D垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，① 错误：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平 行的判定定理知②正确；垂直于同一个平面的两条直线互 D 相平行，由直线与平面垂直的性质知③正确：垂直于同一 个平面的两个平面平行或相交，④错误.故选D. A 2.D对于选项A: (2)在正方体ABCD-A B,C,D1中，设平面AA,CC为a, 若m∥a,n二a,所以m,n可能平行也可能异面，所以A 平面BDEF为B. 错误； 因为Q∈A1C1,所以Q∈a.又Q∈EF,所以Q∈B. 对于选项B: 所以Q是α与B的公共点. 若m∥a,a∥B,所以m可能与平面B平行，也可能在平面B 同理，P也是a与B的公共点.所以a∩B=PQ 内，所以B错误： 又A,C∩B=R,所以R∈A,C,R∈a,且R∈B. 对于选项C: 则R∈PQ, 若m∥a,m∥B,那么a∥B,也可能平面a,B相交，所以C 故P,Q,R三点共线 错误； (3)因为EF∥BD且EF<BD,所以DE与BF相交， 对于选项D: 设交点为M,则由M∈DE,DEC平面D,DCC,得M∈平 根据平行平面的传递性，若a∥B,B∥Y,则a∥Y.所以D 面DDCC1, 正确. 同理，点M∈平面B,BCC1 故选D 又平面D1DCC∩平面BBCC,=CC, 3.D如图所示， 所以M∈CC.所以DE,BF,CC三线交于一点M. 【真题体验】 B C对子A,若m∥e,mCa,则mm可平行或异而.北A A 错误； 对于B,若m⊥a,m⊥B,则a∥B,故B错误； 对于C,若m∥a,mLB,则a⊥B,故C正确； B 对于D,mCa,a⊥B,则m与B可平行或相交或m二B,故D 错误. 故选C. 作平面KSHG∥平面ABCD,C,F,D1E交平面KSHG于 【易误警示】 点N,M,连接MN, [示例1]D空间中共线的三点 由面面平行的性质得MN∥平面ABCD,由于平面KSHG 不能确定一个平面，所以选项A B 有无数多个， 错误；空间中两两相交的三条直 a(B) b 所以平行于平面ABCD的MN有无数多条，故选D. 线交于同一点时，可能确定一个 4.BC选项A,在△ABC中，因为E,F分别是边AB,BC的 平面也可能确定三个平面，所以选项B错误；空间中有三 中点，所以EF/AC且EF=合AC 个角为直角的四边形可能是空间图形，所以选项C错误； 选项D正确，如图，因为a∥b,所以直线a,b确定一个平面 当入==之时，H,G分别为DA,DC中点，所以在△DAC a.因为b∥c,所以直线b,c确定一个平面B.因为1二a,l二 B,由“经过两条相交直线，有且只有一个平面”可知a与B 中可得HG∥AC且HG=号AC,所以EF∥HG且EF 重合，所以ab,c,l共面. -HG. [示例2]D分两类进行讨论.(1)若B,C,D三点不共线， 所以四边形EFGH是平行四边形， 则它们确定一个平面a因为A,B,C,D共面，所以点A在 又E,H分别为AB,AD的中点，所以EH∥BD, 平面a内.因为B,C,D,E共面，所以点E在平面a内， 又EF∥AC, 所以点A,E都在平面a内，即A,B,C,D,E五点一定 当BDLAC时有EH⊥EF,平行四边形EFGH为矩形， 共面， 所以四边形EFGH不一定是矩形，A错误； 55 暑假作业积极者相信只有推动自已才能推动世界，只要推动自己就能推动世界。 [每日格言] 逸暖B当==号时，8股-B识=号 7.解析(1)如图，连接AC,交BD于点O,连接OE.显然O 为AC的中点. 所以HG=号AC,且HG/AC. 则由A可知EF∥HG且EF≠HG,所以四边形EFGH是 梯形，B正确； 选项C,当A≠以时，EF不平行于HG,又因为HGC平面 ADC,EF庄平面ADC, 所以HG,EF是异面直线，四边形EFGH是空间四边形， C正确； 选项D,不妨设直线EH,FG,BD相交于一，点O, 若AQ∥平面BDE, 因为AQC平面PAC,平面PAC∩平面BDE=OE, 所以AQ∥OE,所以E为QC的中点. 因为PE=2EC,所以PQ=号PC, D 又当PQ=专PC时，有AQ/OE,从而AQ/平面BDE B >C 所以点Q在侧投PC上满足PQ=子PC (2)如图，取PB的中点R,连接 P 因为EF∥AC,ACC平面ADC,EF庄平面ADC, AR.QR. 所以EF∥平面ADC, 由(1)知Q为PE的中点， 又因为直线EH,FG相交于点O 所以QR∥EB,而QR庄平面BDE, 所以EFC平面EHGF BEC平面BDE,所以QR∥平 因为平面EHGF∩平面ADC=HG, 面BDE. 所以EF∥HG∥AC, 所以可得入=u,矛盾，D错误.故选BC 又因为AQ∥平面BDE,AQC平 5.解析将①②作条件，③作结论：若m∥a,a∥B,则m二B. 面AQR,QRC平面AQR,且AQ∩QR=Q, 此命题为假命题（结论应为m二B或m∥B): 所以平面AQR∥平面BDE, 将①③作条件，②作结论：若m∥a,mCB,则a∥B.此命题 又ARC平面AQR,所以AR∥平面BDE 为假命题（结论应为a与B相交或a∥B): 将②③作条件，①作结论：若a∥B,m二B,则m∥a.由两平 所以侧技PB的中点R特合题意，光时器-1。 面平行的性质可知此命题为真命题 【真题体验】 答案若a∥B,mC3,则m∥a 1.A 6.解析如图，取B1C1的中点D,BB1的中点E,连接MD, D C DE,ME,则DE∥BC1, B B M 连接AD1,在正方体ABCD-A1BC1D1中， M是A1D的中点，所以M为AD1中点， 又DE丈平面ABC1,BC,C平面ABC1, 又N是D,B的中点，所以MN∥AB, 所以DE∥平面ABC1, MN中平面ABCD,ABC平面ABCD, 又M为A1C1的中点，所以MD∥A1B1∥AB, 所以MN∥平面ABCD. 又MD中平面ABC1,ABC平面ABC, 因为AB不垂直于BD,所以MN不垂直于BD, 所以MD∥平面ABC, 又DE∩MD=D,DEC平面DEM,MDC平面DEM,所以 则MN不垂直于平面BDD,B,,所以选项B,D不正确； 平面DEM∥平面ABC,, 在正方体ABCD-A1B,C1D中，AD,⊥AD, 又因为N是侧面BCC,B1上一点，且MN∥平面ABC1, ABL平面AA1D,D,所以AB⊥AD, 所以，点N的轨迹为线段DE, : AD∩AB=A,AD1,ABC平面ABD1, DE=子+I2=2, 所以AD⊥平面ABD1, D1BC平面ABD1,所以AD⊥D1B, 所以点N的轨迹的长度为2. 且直线A,D与D1B是异面直线， 答案2 所以选项C错误，选项A正确.故选A. 56 [每日格言]好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要和朋友一起分享。 高一数学（配BSD版） 2.(I)解析由题知，∠PAB=子，即轴我面△ABP是等边 作业（十四） 垂直关系 三角形，故PA=AB=2, 【基础演练】 底面周长为2xX1=2x,则侧面积为号×2X2x=2x 1ABC2A3.B4晋 (2)证明由题知AQ=QP,AO=OB,则根据中位线性质，！ 【综合演练】 得QO∥PB, 1.B若a∥a,aLb,则b与a可能平行，也可能相交，也可能 又QO中平面PBD,PBC平面PBD,则QO∥平面PBD b就在平面α内，故A错误；这是直线与平面垂直的性质 由于AC=,底面圆半径是1，则∠AOC=,又CD∥ 2 3 定理：若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条 AB,则∠0CD=冬， 也垂直于这个平面，故B正确：若a⊥a,a⊥b,则b可能在 平面a内，也可能b与a平行，故C错误；若aLb,bCa,则 又OC=OD,则△OCD为等边三角 a与a可能平行，也可能垂直，也可能相交但不垂直，也可 形，则CD=1, 能a就在平面a内，故D错误.故选B. 于是CD∥OB且CD=OB,则四边 2.B由BC⊥平面DD1C1C,D1CC平面DD1C1C,所以D1C 形OBDC是平行四边形，故OC ⊥BC, ∥BD, 又DCLBC,可知∠D,CD为二面角D1-BCD的平面角， 文OC庄平面PBD,BDC平面 因为DCC1D1为正方形，所以∠D1CD=45°， PBD,故OC∥平面PBD. B 所以二面角D1-BCD的大小是45°. 又OC∩OQ=O,OC,OQC平 C D 故选B. 面QOC, 3.AB因为lC平面B,则平面a内只要是平行于1的直线， 根据面面平行的判定，得平面QOC∥平面PBD, 都平行于平面B,故A正确；在平面B内作直线1的垂线 又M∈OC,则QMC平面QOC,则QM∥平面PBD. ,则m⊥平面a,则m垂直于平面a的任意直线；故平面a 【易误警示】 内已知直线必垂直于直线m,以及与m平行的无数条直 [示例1]解析如图，连接BC1,交 线，故B正确；平面a内垂直于两平面交线l的直线才垂直 B,D于，点F,连接EF.因为平面 于平面B,故C错误；过平面a内，且在交线1外的一点作 ABC,∩平面B,DE=EF,AB∥ 交线1的垂线，则此垂线必垂直于平面B,故D错误.故 平面B,DE,所以A,B∥EF,所以 选AB. AE BF 4.BCD因为B,C1与AC不一定垂直，所以B,C与平面 ECFC AA1C1C不一定垂直，故A错误. 因为BC∥B,C,易得△BDF△C,B1F, 由侧棱AA⊥平面ABC,可得AA,⊥CM由B,C1= 所以器-器 BD AC1及M为AB的中，点，可得C1M⊥A1B 周为D是C的中点所以盟-合 又因为AA1∩A1B,=A1,AA1,A1B1C平面A1ABB1,所 以C,ML平面AABB1,ABC平面A,ABB1,从而CM 以AE_1 ⊥AB. 所以EC2 已知AC1⊥A1B,C,M∩AC1=C1,CM,AC1C平面 答案} AMC,所以A,B⊥平面AMC,从而平面ABC⊥平面 AMC,,AB⊥AM. [示例2]D根据题意作出图形，如图，其中，E,F,G,H, 又MB,∥AN,MB,=AN,所以ANB,M是平行四边形， P,Q,M,N分别为所在棱的中点，所以PN∥B,D1.因为 所以AM∥NB,A1B⊥NB,所以B和C正确. PN寸平面DBBD,B1D1C平面DBB1D,所以PN∥平 AM∥NB1,AM中平面CNB,,NB1C平面CNB,所以 面DBB,D,.同理可证GF∥平面DBB,D,因为四边形 AM∥平面CNB, BCC,B,是平行四边形，N,F分别是B,C1,BC的中点，所 同理MC∥平面CNB1,MC∩AM=M,MC,AMC平面 以NF∥BB.文因为NF庄平面DBBD,,BBC平面 AMC1,所以平面AMC1∥平面CNB,,故D正确. DBB,D,所以NF∥平面DBBD1.同理可证PG∥平面 DBBD.又因为PN∩NF=N,PN,NFC平面PNFG, :5.解析连接AC,因为三棱柱ABCA1BC为直三棱柱， 所以平面PNFG∥平面DBB1D.因为PFC平面PNFG, 所以CC1⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以CC1⊥BC,又 NG二平面PNFG,所以PF∥平面DBBD,,NG∥平面 AC⊥CB, DBB,D1.同理可证QM,ME,EH,HQ,QE,MH也与平面 AC∩CC1=C,AC,CCC平面ACC1A1,所以BC⊥平 DBB1D1平行，所以与平面DBB1D1平行的直线共有 面ACC1A, 12条 又ACC平面ACC1A,所以AC⊥BC, 又AC=CB=1,CC1=2,所以A1C=√2+2=√5， 0 即点A到直线BC的距离为V. 答案√5 6.证明(1)，PC⊥底面ABC,BDC平面ABC, .PC⊥BD. D 由AB=BC,D为AC的中点，得BD⊥AC. 又PC∩AC=C,PC,ACC平面PAC, 57