第3讲 两条直线的平行和垂直-《知识提炼 能力训练》2023年新高二数学暑假衔接作业课程

第 3 讲 两条直线的平行和垂直 一．知识点梳理 1.两条直线平行的判定 （1） 1 1 1 2 2 2: ; :l y k x b l y k x b    平行： 1 2k k 且 1 2b b （注意验证 1 2b b ） （2） 1 1 1 1 2 2 2 2: 0; : 0l A x B y C l A x B y C      平行： 1 2 2 1A B A B 且 1 2 2 1AC A C （验证） （3）当斜率不存在时，两直线平行，倾斜角为 90. 2.两条直线垂直的判定 （1） 1 1 1 2 2 2: ; :l y k x b l y k x b    垂直： 1 2 1k k   （2） 1 1 1 1 2 2 2 2: 0; : 0l A x B y C l A x B y C      垂直： 1 2 1 2 0A A B B  （3）当一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为 0. 3.平行和垂直直线的求法 与直线 0Ax By C   平行的直线可设为： 0Ax By m   直线 0Ax By C   垂直的直线可设为： 0Bx Ay n   二．典型例题 例 1.（多选）若 1l 与 2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是 1 ， 2 ，下列命题是真 命题的为 ( ) A．若 1 2/ /l l ，则两条直线的斜率相等 B．若两条直线的斜率相等，则 1 2/ /l l C．若 1 2/ /l l ，则 1 2  D．若 1 2  ，则 1 2/ /l l 例 2.（1）“ 1m   ”是“直线 1 : 2 1 0l mx y   与直线 2 1 1: 0 2 2 l x my   平行”的 ( ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）已知直线 1 : 3 0l kx y   ， 2 : 3 0l x ky   ，且 1 2/ /l l ，则 k的值 ． 例 3.（1）已知直线 1 : ( 1) 2 1 0l a x y    与直线 2 : 3 0l x ay   垂直，则 a等于 ． （2）已知倾斜角为 的直线 l与直线3 4 1 0x y   垂直，则 cos 的值为 ( ) A． 3 5  B． 4 5  C． 3 5 D． 4 5 （3）直线 l过点 ( 1,2) 且与直线 2 3 4 0x y   垂直，则直线 l的方程是 ( ) A．3 2 1 0x y   B．3 1 0x y   C．3 2 1 0x y   D．3 1 0x y   例 4.（1）直线 l过点 (1, 4) ， ①若直线 l与直线 2 3 5 0x y   平行，则直线 l的方程是 ； ②若直线 l与直线 2 3 5 0x y   垂直，则直线 l的方程是 ． （2）①当m为何值时，直线 1 : 2 ( 1) 4 0l x m y    与直线 2 : 3 2 0l mx y   平行？ ②当 a为何值时，直线 1 : ( 2) (1 ) 1 0l a x a y     与直线 2 : ( 1) (2 3) 2 0l a x a y     互相垂 直？ （3）已知直线 1 : ( 1) 1 0l k x y    和 2 : ( 3) 1 0l k x ky    ，若 1l 与 2l 有公共点，则 k的取 值范围为 ( ) A． 1k  且 3k   B． 3k   C． 1k  D． 1k  且 3k   例 5.（1）若点 (5, )b 在两条平行直线 6 8 1 0x y   与 3 4 5 0x y   之间，则整数b的值为 ( ) A．5 B． 5 C．4 D． 4 （2）（多选）已知等腰直角三角形 ABC的直角顶点为 (3,3)C ，点 A的坐标为 (0,4)，则点 B 的坐标为 ( ) A． (2,0) B． (6,4) C． (4,6) D． (0,2) （3）直线 l过点 (3,4)A ，且与点 ( 3,2)B  的距离最远，则直线 l的方程是 ( ) A．3 5 0x y   B． 3 9 0x y   C．3 13 0x y   D． 3 15 0x y   例 6.（1）关于 x、 y的二元一次方程组 7 3 5 2 x by ax y      有无穷多组解，则 a与 b的积是 ． （2）（多选）