作业(九) 同角三角函数的基本关系、两角和与差、二倍角的三角函数公式-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（北师大版·新教材）

暑假作业不要问别人为你做了什么，而要问你为别人做了什么。 [每日格言] 作亚（九） 月 日 同角三角函数的基本关系、两角和与差、二倍角 星期 的三角函数公式 历 天气 1知识整合 3.下列三角函数式的值不等于之的是（) 1.同角三角函数的基本关系 A.cos75°cos15°-sin75°sin159 (1)平方关系：sin2a+cos2a=1. B.2sin75°cos759 (2)商数关系：sinc=tana(a≠于十k元， C.2cos230°-1 cos a 2 D. tan22.5° k∈Z. -tan222.5 2.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 4.已知sina·cosa= 8,且45°<a<90,则 sin(a士B)=sin acos B.±cos asinβ. cos a-sin a- cos(a干B)=cos acos B士sin asin3. Lan(a士B=年tan etan tan a士tanB B.3 2 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 C. n±号 sin 2a=2sin acos a. cos 2a cos a-sin'a=2cos2a-1 1- 3综合演练 2sin'a. 1.已知0<a< :cos a= 25,则an2a= tan 2a= 2tan a 1-tan'a 2基础演练 A.- B.-3 4 1.已知sina= 日其中“为第二象限角，则 c D.号 tan a- ( 2.已知3tan0-2=0,则os0-3sin9_ sin 0+2cos 0 B.-② 4 D.② A.-3 B.3 3 2.已知角0的终边上一点P(-1,√3)，则sin c D.8 (9+)= ( 3.已知tana= 3cosa,则cos2a=( sin a+11 B.- 2 A- C.2 n- c D.- 18 [每日格言]再冷的石头，坐上三年也会暖。 高一数学（配BSD版） 4.已知sin3= 3,cos(a+B)=-1,则 1 (2)2√3tan15°+tan15°； (3)sin10°sin30°sin50°sin70 sin(a+23)的值为 A.1 B.-1 c n-号 5.已知cos(a+B)=sin acos3,tan atanβ= 4真题体验 分则aaa+)- ( 1.(2025·全国二卷)已知0<a<π，cos A号 B号 兽则sm。- c D.3 A得 B② 5 6.已知2simT+a)=sin(于-a),则cos2a 的值为 ( C. n.语 2.(2024·新课标I卷)已知cos(a+B)=m, A号 B号 tan atan B=2,cos(a-B)= c D A.-3m B一罗 7.(多选)下列式子的运算结果为√3的是 c号 D.3m 5易误警示 1+tan 15 A.1-tan 15 易错一 不能发现角的关系致错 B.tan20°+tan40°+√3tan20°tan409 [示例1] 已知0为锐角，c0s(0+15°)= 5 C.sin50°(3+3tan10°) 则c0s(20-15°)= D. 2tan 15 名师叮嘱 1-tan215 不能转化“20一15”为特殊角及已知角的和、差，导 8.若第二象限角&满足sina= 号则an2a 致无法求解或错解。 易错二忽视角的范围致错 [示例2] 9.已知&，B都是锐角，cosa= 7,cos(a+B)= 已知n(x-a)-1,osa-》 0<月<&<，则角B的大小是 13 则os= 10.求下列各式的值. 名师叮嘱 (1) 2c0s2a-1 本题容易忽视角的限制条件0<<a<受，导致函 2an(-aj小sim(+a 数值的符号错误. 19暑假作业任何的限制，都是从自己的内心开始的。 4.解析(1)因为√3 ccos B-bsin C=√3a, 由正弦定理得√3 sin Ccos B-sin Bsin C=√3sinA, 又因为sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 所以sin Bsin C=-√3 sin Bcos C, 因为B∈(0，r),可得sinB>0, 所以sinC=-√3cosC,可得tanC=-√3， 又因为0<C<元，所以C=2π 31 (2)由1)知C=经，又=丽， 利用余弦定理c2=a2+b-2 abcos C, 可得(a+b)2-ab=13, 因为a十b=4,所以ab=3, 所以△ABC的西款为S=名a6sinC=子X3×9-3E, 1 2 4 文因为∠ACB的角平分线CD交AB于点D, 所以S△Ax=S△AeD十S△D, 可得n-=uXCDXxin-+6 XCDX sin子 3 b 整理得CD= 2 3 B (a+b) 4 【真题体验】 1.C由题意结合正弦定理可得 sin Acos B-sin Bcos A=sin C, psin Acos B-sin Bcos A=sin (A+B) sin Acos B+sin Bcos A, 整理可得sin Bcos A=0,由于B∈(0，π)， 故sinB>0, 据此可得c0sA=0A=乏， 则B=一A-C-一受-吾-器 故选C. 2.解析(1)已知asin B=√3 bcos A, 由正弦定理a b sin A-sin B' 得asin B=bsin A=√3 bcos A,显然cosA≠0， 得tanA=V3,由0<A<π， 得A=爱 (2由0)知0sA=号，且c=26+1a=厅 由余弦定理a2=b+c2-2 bccos A, 则7=6+(2b+1)-2×26(26+1)=36+36+1 解得b=1(b=一2舍去)，故c=3. (3)由正孩定理AB b 且6=1，a=7,sinA=5. 2 得sinB=bsnA三21，且a>b,则B为锐角， a 故c0sB=5,故sin2B=2 2sin Bcos B=5y5 14 14 忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。 [每日格言] 且cos2B=1-2sinB=1-2X () 14 sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B- ×53_4W3 14 7 【易误警示】 [示例1]D设建筑物的高度为hm,由题图知， PA2h m.PB-m.PCm 在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理的推论，得 cos∠PBA=60+2n-,0 2X60×√2h cos∠PBC= 0+2- 2×60×√2h ,② 因为∠PBA+∠PBC=180°， 所以cos∠PBA+cos∠PBC=0,③ 由①②③，解得h=30√6或h=-30√6（舍去）， 即建筑物的高度为30√6m. [示例2]B因为a=反，b=厅，B=吾，由正孩定里 点6可得怎每得血A=回为a<6,所以 A<B,故A∈(0，若)小又y=sinx在(0，受)上单词递 增，故A只有一解，故选B. 作业（九）同角三角函数的基本关系、两角和 与差、二倍角的三角函数公式 【基础演练】 1.B2.C3.A4.B 【综合演练】 1.D由0<8<受，0a=25,得s如a=V-0s0 5 4=5 sin a 5 15 5 tan a= cos a 25 2 2tan a 2×2 tan 2a- 1-tan'a 1-(3)月 33 故选D 2.A由3tan6-2=0可得tan0= 2 31 则原式分子分母同除以cos日， 可得0sA-3sin9_1-31an9 3 sin 0+2cos 0 tan 0+2 故选A. 3.B因为sine=3cosa cos a sin a+11' 所以4sina+11sina-3=0, 解得sina=子或sina=一3（含去）， 所以cos2a=1-2sina=8 故选B. 50 [每日格言]只有一条路不能选择一那就是放弃的路；只有一条路不能拒绝—那就是成长的路。高一数学（配BSD版） 4.D由cosa+p=-1,得sine+p)=0,又sing=子， 9.解析 由c0sa=7c0s(a十B)=一吕以及e,9都是锐 所以sin(a+2B)=sin(a+B+B)=sin(a+B)·cosB+cos(a +B)·sinB=-3· 角可得m。=19n（a十8)= 14 所以cos3=cos(a+B-a)=cos(a+B)cosa+ 5.D因为cos(a十B)=sin acos B,即cos acos B-sin asin= sin acos B, sin(a+B)sin a=- 是×+×- 7982 等式两边同时除以cos acos B,可得l一tan atan B=tana, 答案 1 又1 tan lan产之，所以tana=子amg=1. 1 2 10.解析 (1) 2cosa-1 tan a+tan B 1+2 2am(-a)sim(交+a） 则tan(a十B)= -tana·tanB1- =3. cos 2a 2 故选D 2am(-a)os[受-(+a)] cos 2a 6.D由条件可知，2 sincos a+2 cos "sin a= 2m(牙-a)os(任-a】 sncosa-cossine cos 2a cos 2a 即sin平cosa+3os子sina=0,得1ama= 1 2sim(至-a)co(年-a）sim[2x(年-a）] 3 cos 2a 所以cos2a=cosa-sin'a=cosa-sine=1-tae= in(经-2a cos 2a-1. 5 cos 2a cos'a+sin a 1+tan a 故选D. (2)2√3tan15°+tan15°=√5tan30°(1-tan215°)+ 7.ABC 对于A: 1+tan15° tan45°+tan15° 1-tan 159 1-tan45°tan15 am15°=5×5×1-am16)+am15°=1 3 tan(45°+15)=tan60°=√3，故A正确； tan215°+tan215°=1. 对于B:tan60°=tan(20°+40°)=an20°+ian40 1-tan20°tan40° (3)sim10°sin30°sin50°sin70°= 2c0s20°cos40°cos80°= =√3， 2sin20°cos20°cos40°cos80° sin40°cos40°cos80° 所以tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°=√3，故B正确； 4sin20° 4sin 20 对于C:sin50°（√3+3tan10°） 2sin40°cos40°cos80°2sin80°cos80°sin160° sin20° 8sin 20 16sin20° 16sin20°-16sin20 =sin50°· (3cos10°+3sin10 c0s10 16 (gcas10+91o】 231 【真题体验】 =sin50°. c0s10 1.D cos a=2cos°- -1=2×(5)-1=-， =sin50°.23sin(10°+30°) c0s10 因为0<a<,则受<a<, 2V3sin40°sin50°_2√3sin40°cos40 cos 10 c0s109 则sime=-cos8=√-（-号)=专， =Bsin80-3cos1 10=3,故C正确； c0s10 c0s10° 2tan 15 对子D:-1am15 =tan(2X15)=tan30°=E ,故D错 3 : 2101 误.故选ABC. 故选D. 8.解析因为sina= 3且a为第二象限角，所以cosa= 2.A由cos(a十B)=m得cos acos B-sin asin B=m①. 由tan atan B=2得sin asin=2②， 9 4 cos acos B V1-sin2a=- 1-25 5 cos acos B=一m, 由①②得 3 【sin asin B=-2m, tan a= sin a 5 2tan a 所以cos(a一3)=cos a cos3+sin asin B=-3m,故选A. cos a 4,tan 2a 1-tan'a 5 【易误警示】 [示例1]解析 0为锐角，c0s(0+159）=号 1-(-￥) sin(0+15)=青 答案一 .sin(20+30°)=2sin(6+15°)cos(0+15°) 24 251 51 暑假作业当一个人先从自已的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。 [每日格言] 0s(20+30）=20s(0+15)）-1=2×号-1=-元 0-交=kx(k∈Z,∴0=交十k元(k∈D, 3 2 ∴.c0s(28-15°)=c0s(28+30°-45°) 当=0时，9=子 =cos(20+30°)·cos45°+sin(20+30°)sin45 故选B. =一×号+×1 501 4.C f (x)=cos x-3sin 2x=cos x-2 3sin xcos x 答案17② =cosx(1-2√3sinx), 50 [示例2]解析因为sin(r-a)=4 令f(x)=0,得cosx=0或sinx=3<， 62 7 又z[0,1],所以c0sx=0有两个解，分别为受和经。 所以sina=4B 7 m=停在02幻]上有两个屏， 因为0<a<受，所以c0sa=√-sina=子. 业y=x在[号]上单词递培m2=0,m号 6 因为cosa-m=是且0<Ka<专， sin 6261 所以0a-K至， 所以sinx= 所以sin(a-B)=V个-cos(a-)=33 侣在[2号]上有-个解 6 141 综上所速f(x)=0在[0,1]上有5个解， 所以cosB=cos[a-(a-B)] =cos acos(a-B)+sin asin(a-B) 即f2)在[0,1]上有5个零点， ×+4×3- 故选C. 14=2 因为0<9<受，所以日=吾 5.AB对于A:f)=sin(3x-3）+cos(3x-3平) Esim[(3x-）+]-Esin(3x-受）=-2os3z. 答案音 显然f(x)为偶函数，故A正确： 作业（十）三角恒等变换的应用 对子B:最小正周期T=三，故B正确： 【基础演练】 对于C:当xe()时，3xe(,) 1.B2.B-音+kez 3 因为y=c0x在（云，受）上单调递减， 4x（答爱)开闭区间均可) 所以∫(x)=-2cos3z在（泛，）上单调递增，故C 【综合演练】 错误； 1C-2x<a<-x-<号<-， 对于D:由3x= 受十，k∈，得x=吾+经∈。 sin号<0，eos号<0， 所以2)在[0，]上的零点有吾，合，语，共3个，故D 1-cos a. 错误. 2 osg=-sn号+cos号 2 故选AB. =sin(受+要）-sin[x-(受+)] 6.解析f(x)=cos(2x+牙）-2 cos --sin(号-年）： =cos(2x+年）-2(1+c0s2x) 故选C. 2.D f(-x)=2cos(-z)-cos 2(-x)=2cos x-cos 2x (停2+9m2）E=a(2x-吾）E =f(x),所以函数为偶函数.f(x）=2cosx-cos2x= 所以函数f(x)的最小正周期为元.故答案为π 答案 -2mex+2msx+1=-2(os-号）广+g.所以当c0s2 7,解析由题意f(x)=√3 sin wxcos wx十cosw.r一 =号时)取最大位是。 2sin 2ox+1+cos 2uz1 3 2 2 3.B y=3sin (x+0)+cos(x+0), ÷y=2os(x+0-3） 号sin2aur+?cos2wr=sim(2ax+答）， :y=√3sin(x+8)十cos(x十)的图象关于y轴对称， 因为ze[0,],所以2+吾∈[，2o+若] 52