作业(八) 解三角形的综合问题及应用举例-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（北师大版·新教材）

暑假作业勤奋学习，善于思考，不断总结是成功的法宝。 [每日格言] 作亚（八） 今 月 星期 解三角形的综合问题及应用举例 台 历 天气 1知识整合 2.在△ABC中，若A= 否，AB=1,AC=E, 1.仰角和俯角 则BC边上的高为 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线 A.1 B.2 的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角， D.2 目标视线在水平视线下方叫俯角（如图1）. 北 3.如图所示，为测量一棵树HP的高度，在 目标视线 地面上选取A,B两点(A,B,H三点共 垂 仰角 文俯角 水平视线 东 线)，从A,B两点分别测得树尖P的仰角 为30°，45°，且A,B两点之间的距离为 目标视线 南 图1 图2 30m,则树的高度为 2.方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之 间的水平夹角叫作方位角.如B点的方位 角为α（如图2）. A.15m B.30√3m 3.方向角 C.(15+15√3)m D.(305-15)m 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐 4.一游客在C处望见在北偏东40°的方向上 角，如南偏东30°，北偏西45°等， 有一塔A,在南偏东80°的方向上有一塔 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正 B,测得A,C间的距离为1.25km,B,C两 切值. 点间的距离为2km,则塔A与塔B间的 5.解三角形应用题的常见步骤 距离为 km. 抽象概括 推理演算 实际问题 解三角形问题 3综合演练 还原说明 三角形问题的解 实际问题的解 1.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一 座灯塔P的南偏西75°，距灯塔64海里的 2基础演练 M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向 1.一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为 V处，则该船航行的速度为 ) 一条直线)，当船航行到点A时，测得远处 A.8√6海里/小时 B.16√2海里/小时 座灯塔T在其北偏东45°的方向上.渔 C.16√6海里/小时 D.322海里/小时 船继续向北航行10km到达点B,此时测 2.某校兴趣小组想要测量 得灯塔T在其北偏东75°的方向上，则此 宁德市海慧塔的高度 时渔船与灯塔T的距离为 ( AB,在塔附近选取了相距 A.10√2km B.10√3km 60米的C,D(C,D与该 C.5√2km D.5√3km 塔的塔底B在同一水平 16 [每日格言]任何业绩的质变都来自于量变的积累。 高一数学（配BSD版） 面上)两个测量点，从C点观测该塔塔顶 2.(2025·天津卷)在△ABC中，角A,B,C的 A的仰角为否，从D点观测该塔塔顶A的 对边分别为a,b,c.已知asin B=√3 bcos A, c-2b=1,a=√7. 仰角为至，且∠CDB=晋，则这座塔的高度 (1)求A的值： AB为 (2)求c的值； A.15米 B.15√2米 (3)求sin(A+2B)的值. C.30米 D.30√2米 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, △ABC的面积为35，且b=1.C=号，则 4 AB边上的中线长为 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,且3 ccos B-bsin C=√3a. 5易误警示 (1)求C; 易错一 把空间问题误解为平面问题 (2)已知∠ACB的角平分线CD交AB于 「示例1门如图，在地面上共 点D.若a十b=4,c=√13.求△ABC面积 线的三点A,B,C处测得一 及CD的长. 个建筑物的仰角分别为 30°，45°，60°，且AB=BC= 30° 45 60m,则建筑物的高度为 60 ) A.15√6m B.20√6m C.256m D.30√6m 名师叮嘱 根据实际情境抽象出空间图形是解决这类问题的 关键，注意区分是“立体图形”还是“平面图形”，区 分构成三角形的边与角，标清其中的已知边、角， 明确所求变量 易错二忽视三角形中的大边对大角致错 [示例2]在△ABC中，角A,B,C的对边 分别为a,b,c,其中a=√2，b=5,B=, 6 则满足条件的△ABC 4真题体验 A.有两个解 B.有一个解 1.(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角 C.无解 D.不能确定 A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B 名师叮嘱 bcos A=-c,且C=5,则∠B= 本题由正弦定理求得sinA= 6 后，容易忽略需要 6 A.10 B c 2π 利用“大边对大角”对角A是否可以为钝角进行 0. 取舍： 17[每日格言]股票有涨有落，然而打着信心标志的股票将使你永涨无落。 高一数学（配BSD版） (2)由√2 bsin C=csin2B,得√2 bsin C=2 csin Bcos B, 作业（八） 解三角形的综合问题及应用举例 由正弦定理，得2bc=2 cbeos B,所以cosB=巨， 2 【基础演练】 因为0<B<x,所以B= 4 1.A2.c3.c4.子 【综合演练】 C=x-A+B)-7晋， 1.A如图所示， 所以snC=sim晋=sim(管+平）=sin音cos吾+ 北 n-×9+×号-6 →东 4 75°。 M N 由正弦定 sin A sin B-sin C.asin B2sin 6 在△PNM中，由题意可知∠PNM=45°，∠MPN=75°+ sin A sin 6 45°=120°，PM=64(海里)， PM MN 由正弦定理 sin∠PNM =sin∠MPN,可得MN= -2,c=asin C_ 2n音 =6+√2. sin A sin PM·sin∠MPV_ =32√6（海里）， sin∠PNM 所以△ABC的周长为a+b+c=2+√6+3√2. 2 3.解析(1)由余弦定理得c0sC=Q+6-c2=巨 2ab 2 且该船航行时间为4小时，所以该船航行的速度为32⑤ 4 叉0<C<π，C=红 =8√6（海里/小时）. 4 故选A. EosB=sinc-9cosB=之 2.C设这座塔的高度AB为h米， 又0<B<B=子 因为从C点观测该塔塔预A的钾角为石，从D点观测该 (2)由1D择A=x-B-C-晋， 塔塔预A的仰角为不， 由正弦定理，Q sin A sin C,得 a 在△ABC中，∠ACB=答，BC=FA米：在△ABD中， 2+6迈 4 2 ∠ADB=冬，BD=A米， a=1+3 2 在△BCD中，∠CDB=号，CD=60米， △ABC的面积S=1。 csnB=1+,x9=3+5. 由余弦定理得： 49 2 a∠Cni=CD克DnC,中子-t 120h 得c=2√2 整理得2+30h-1800=0,即(h+60)(h-30)=0,解得 【易误警示】 h=30或h=-60(舍) [示例1]C,B=2A,.sinB=sin2A, 所以，这座塔的高度AB为30米. 由正弦定理得b=sinB-sin2A=2cosA. 故选C a sin A sin A :0<2A<受，0-3A<受∴看<A<至， 品解析由Sam=子bin C=合aX1×sn子-a= :e <sA<号<2osA<F,即E<<E 33,解得a=3, 故选C. 设AB的中点为D,则C=(C+C). [示例2]C根据题意，将三边都截掉xm后，三角形的三 边长分别为(4-x)m,(5-x)m,(6-x)m,且0<x<4. 则亦=(c+C)=C济+C序+2ci. 设长为(6一x)m的边所对的角为a,则a为钝角， =(1+9+2×1×3×2)=g 4-x>0,5-x>0,6-x>0, osa=4=2t5==（6-z<0, 则1c1= 21 2(4-x)(5-x) .1<x<4. 即AB意上的中线长为里 4-x+5-x>6-x,.x<3,.1<x<3, 故x的取值范围是(1,3).故选C. 答案√3 2 49 暑假作业任何的限制，都是从自己的内心开始的。忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。 [每日格言] 4.解析(1)因为√3 ceos B-bsin C-=3a, 且cos2B=1-2sinB=1-2X 21 14 由正弦定理得√3 sin Ccos B-sin Bsin C=√3sinA, 又因为sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, sA+2B)=nAo2B+sAm2B=9×号+号 1 所以sin Bsin C=-√3 sin Bcos C, 因为B∈(0，r),可得sinB>0, ×53-43 14 7 所以sinC=-√3cosC,可得tanC=-√3， 【易误警示】 又周为0<C<,所以C=经 [示例1]D设建筑物的高度为hm,由题图知， 2)由1)知C=行，又c=E. hm mPm. 在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理的推论，得 利用余弦定理c2=a2+b-2 abcos C, cos∠PBA=60+2h-4h,0 可得(a+b)2-ab=13, 2×60×√2h 因为a+b=4,所以ab=3, 60+2- 所以△ABC的西积为5=宁a6sinC-}×8x9-35 1 cos∠PBC -,② 2 4 2×60×√2h 文因为∠ACB的角平分线CD交AB于点D, 因为∠PBA+∠PBC=180°， 所以S△A=S△AcD十S△xD, 所以cos∠PBA十cos∠PBC=0,③ 可得6sin等-aX CDX sin-+6 XCDX sin， 由①②③，解得h=30√6或h=-30√6（舍去）， 3 即建筑物的高度为30√6m 整理得CD= 3 [示例2】B国为a=反.b=,B=看，由正發定理A (a+b) 4 2 流B可得品解泽如A-吾司为6：所以 【真题体验】 2 1.C由题意结合正弦定理可得 A<B,故A∈(0，若)小又y=sinx在(0，受)上单调递 sin Acos B-sin Bcos A=sin C, Ep sin Acos B-sin Bcos A=sin (A+B) 增，故A只有一解，故选B. sin Acos B+sin Bcos A, 作业（九） 同角三角函数的基本关系、两角和 整理可得sin Bcos A=0,由于B∈(0，π)， 故sinB>0, 与差、二倍角的三角函数公式 【基础演练】 据此可得c0sA=0,A=受， 1.B2.C3.A4.B 则B=x-A-C=-吾-吾-语 【综合演练】 故选C 1D由0<e<音0s8=25,得如e=-oa 5 2.解析(1)已知asin B=√3 bcos A, 5 5. 由正弦定理，a, b 4=5 sin a 里sin A-sin B 1- 5.tan a= cosa25 2 得asin B=bsin A=√3 bcos A,显然cosA≠0， 得tanA=√3，由0<A<π， 2tan a 2x2 tan 2a= 1-tan'a 得A= 1-(3 33 故选D (2)由1)知c0sA=,且c=2b+1,a=厅， 2.A由3tan0-2=0可得tan6=3, 由余弦定理a2=b+c2-2 bccos A, 则原式分子分母同除以cos, 则7=6+(2b+1D-2×合6(26+1)=36+36+1， 可得9os0-3sin9--3tan0--3 sin 0+2cos 0 tan 0++2 81 解得b=1(b=-2舍去)，故c=3. 故选A. (3)由正孩定理品B: 3.B因为sine=3cosa cos a sin a+11' 且b=1,a=7,sinA=5, 所以4sin°a+11sina-3=0, 2 得snB=A=日，且a>6:剥B为锐角， 解得sina=或sina=一3（含去 a 7 所以cos2a=1-2sina=8 故c0sB5改im2B=2 sin Beos=5y月 141 故选B. 50