作业(七) 正弦定理和余弦定理-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（北师大版·新教材）

暑假作业如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 [每日格言] 【易误警示】 确：由于bsin A=2√3<√15=a<b,故三角形有两解，故 [示例1门Ba,b夹角为钝角， a·b 选项C正确：当A=晋，B=平时，inA<c0sB,故选项D 六cos(a,b〉=Ta.b<0且a.b不共线， 不正确.故选AC 即a·b=4x十3<0且x(2x+3)≠2， 6.解析由asin B=2osA知0sA=26csA_asin B0,故 解得<-子且2≠-2， tanA存在.再由正弦定理sinA x的取值范国为(-0，-2)U(-2,-) 店合，即可得到mA sin A20sin A2bsin A26.a-2. [示例2】B因为向量店.BC的矣角为登。 cosA2 bcos A-asin B a·b 故答案为2. 所以A店.B元=2X2×c0s写=-2，故选B, 答案2 7.解析 因为sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a, 作业（七）正弦定理和余弦定理 又因为b=2ac,可得b=4a2,所以b=2a, 【基础演练】 由余弦定理得cosA=6+c-a-4u+4a2-g7 2bc 2×2a×2a 8 1.C2.B3.A4.C 【综合演练】 故答案为日 1,A在△ABC中，由余弦定理可得c0sB=0+C-b 答案 2ac 8 。+3n9- 8.解析(1)由正弦定理得b+√3ac=a十c2, 12a 化简得5a2-12a-65=0,解得a=5或a= 合) 即a+2-6=Bac,所以cosB=。十c-&-区 2ac 2 故选A. 因为0<B<x,所以B=吾 2.A因为A=2B,所以sinA=sin2B, (2)由正孩定理得 故sinA=2 sin Bcos B, sin A-sin B' 年sinA=sinB,所以a=2 beos B, 由正孩定理可得0 则a=bsin A × =26 又a=√3，b=1, sin B 2 6= 所以cosB三号，又BE(0,元)，所以B=π 【真题体验】 3 故C=一A-B=受， 1.A由题意得osA=AB土AC-C-6+1+B)-2 2AB·AC 2×√6×(1+√3) 由勾股定理可得c2=a2十b=4,所以c=2, 故选A 2 ,又0°<A<180°，所以A=45°. a.B由题意，Sac=子acin号 故选A. =5，可得ac=4: 2.解析(1)法一（辅助角法） 由余孩定理，b=a十c2-2 aceos3, 由nA+5c0sA=2,得子snA+。 c0sA=1, 代入条件，可得4=(a十c)2-3ac=(a十c)2-12, 解得a十c=4. 所以sin(A+）=1, 故选B. 因为0<A<x,所以子<A+苔<经， 4.A由2sinB=3sinC,得2b=3c,又b-c= 4a, 所以A+管=登，故A=合 3 即b=4a, 法二（同角三角函数的基本关系法） 1 由sinA+√3cosA=2,得√3cosA=2-sinA, 两边同时平方，得3cos2A=4-4sinA+sinA, 故sA-6+g（子a)广+（）广- 一16 3(1-sin'A)=4-4sin A+sinA, 整理，得1-4sinA十4sinA=0, 2bc 所以1-2snA)=0,则snA=合 因为0<A<x,所以A=吾或A=积 故选A. 5.AC在△ABC中，若A>B,则a>b,由正弦定理得sinA 当A=音时，nA十5c0sA=2成立，符合条件： >sinB,故选项A正确；若sinA十sin2B-sinC>0,由正 孩定理可得a十6-c>0,则c0sC=g+一C>0,则 当A=警时inA十50sA=2不成立，不特合条件。 2ab 角C为锐角，但不确定角A,B是否为锐角，故选项B不正： 故A=吾 48 [每日格言]股票有涨有落，然而打着信心标志的股票将使你永涨无落。 高一数学（配BSD版） (2)由√2 bsin C=csin2B,得√2 bsin C=2 csin Bcos B, 作业（八） 解三角形的综合问题及应用举例 由正弦定理，得2bc=2 cbeos B,所以cosB=巨， 2 【基础演练】 因为0<B<x,所以B= 4 1.A2.c3.c4.子 【综合演练】 C=x-A+B)-7晋， 1.A如图所示， 所以snC=sim晋=sim(管+平）=sin音cos吾+ 北 n-×9+×号-6 →东 4 75°。 M N 由正弦定 sin A sin B-sin C.asin B2sin 6 在△PNM中，由题意可知∠PNM=45°，∠MPN=75°+ sin A sin 6 45°=120°，PM=64(海里)， PM MN 由正弦定理 sin∠PNM =sin∠MPN,可得MN= -2,c=asin C_ 2n音 =6+√2. sin A sin PM·sin∠MPV_ =32√6（海里）， sin∠PNM 所以△ABC的周长为a+b+c=2+√6+3√2. 2 3.解析(1)由余弦定理得c0sC=Q+6-c2=巨 2ab 2 且该船航行时间为4小时，所以该船航行的速度为32⑤ 4 叉0<C<π，C=红 =8√6（海里/小时）. 4 故选A. EosB=sinc-9cosB=之 2.C设这座塔的高度AB为h米， 又0<B<B=子 因为从C点观测该塔塔预A的钾角为石，从D点观测该 (2)由1D择A=x-B-C-晋， 塔塔预A的仰角为不， 由正弦定理，Q sin A sin C,得 a 在△ABC中，∠ACB=答，BC=FA米：在△ABD中， 2+6迈 4 2 ∠ADB=冬，BD=A米， a=1+3 2 在△BCD中，∠CDB=号，CD=60米， △ABC的面积S=1。 csnB=1+,x9=3+5. 由余弦定理得： 49 2 a∠Cni=CD克DnC,中子-t 120h 得c=2√2 整理得2+30h-1800=0,即(h+60)(h-30)=0,解得 【易误警示】 h=30或h=-60(舍) [示例1]C,B=2A,.sinB=sin2A, 所以，这座塔的高度AB为30米. 由正弦定理得b=sinB-sin2A=2cosA. 故选C a sin A sin A :0<2A<受，0-3A<受∴看<A<至， 品解析由Sam=子bin C=合aX1×sn子-a= :e <sA<号<2osA<F,即E<<E 33,解得a=3, 故选C. 设AB的中点为D,则C=(C+C). [示例2]C根据题意，将三边都截掉xm后，三角形的三 边长分别为(4-x)m,(5-x)m,(6-x)m,且0<x<4. 则亦=(c+C)=C济+C序+2ci. 设长为(6一x)m的边所对的角为a,则a为钝角， =(1+9+2×1×3×2)=g 4-x>0,5-x>0,6-x>0, osa=4=2t5==（6-z<0, 则1c1= 21 2(4-x)(5-x) .1<x<4. 即AB意上的中线长为里 4-x+5-x>6-x,.x<3,.1<x<3, 故x的取值范围是(1,3).故选C. 答案√3 2 49暑假作业读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。 [每日格言] 作亚（七》 今 月 日 台 星期 正弦定理和余弦定理 历 天气 1知识整合 3.在△ABC中，满足a2=b+c2十√3bc,则 A- ) 1.正弦定理和余弦定理 A.150° B.30°或150 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别 C.60 D.60°或120° 是a,b,c,R为△ABC外接圆半径 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a, 定理 正弦定理 余弦定理 b,c,若acos A=bcos B,则△ABC的形 a2=62+c2-2bccos A; 状是 公式 6 sin Asin Bsin C-2R b2=c2+a2-2cacos B; A.等腰三角形 B.直角三角形 c2=a+62-2abcos C C,等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B. c=2Rsin C; 3综合演练 (2)sin A= 2R'sin B= b 2R' cos A=tc2-a 2bc 1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 常见 sin C=2R' cos B=c2ta262 变形 2ac (3)a:b:c=sin A:sin B: 为a,b.若=7，c=6,c0sB=号，则a cos C=2+b2-c2 sin C; 2ab (4)asin B=bsin A,bsin C A.5 B.6 =csin B,asin C=csin A C.8 D.10 2.三角形中常用的面积公式 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 (1)S=1 a·h(h,表示边a上的高). 为a,b,c,a=√3，b=1,A=2B,则c= 2 absin C=1 ( ) (2)S=1 A.2 B.3 abc 4R C.√2 D.1 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 (3)S= 2r(a+b十c)(r为三角形的内切圆 a,b,c,且b=2,B= 答，△ABC的面积 半径) 2基础演练 S△ABc=√3，则a十c= A.3 B.4 1.在△ABC中，已知A=30°，B=45°，a=4, C.5 D.6 则b= 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 A.2√2 B.32 是a,b,c,已知b-c= a,2sin B-3sin C, C.42 D.5√2 则cosA= 2.在△ABC中，已知a=√3，b=√2，A=60°， 则角B的值为 ( A. B. 4 A.45°或135 B.45 C.135° D.30°或150° c- D.3 14 [每日格言]平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 高一数学（配BSD版） 5.(多选)在△ABC中，角A,B,C所对的边 3.(2024·新课标I卷)记△ABC的内角A, 分别为a,b,c,对于以下命题，其中正确 B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC= 的是 √2cosB,a2+b2-c2=√2ab. A.若A>B,则sinA>sinB (1)求B; B.若sin2A+sin2B-sinC>0,则△ABC 是锐角三角形 (2)若△ABC的面积为3十√3，求c. C.若A=60°，a=√15，b=4,则满足条件的 三角形有两个 D.若角A,B都是锐角，则sinA>cosB 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,若asin B=2 bcos A,则tanA= 7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若b=2ac且sinC=2sinA,则 cosA的值为 8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 5易误警示 且sin2B+√3 sin Asin C=sinA+sinC. 易错一忽视隐含条件致错 (1)求B的大小： [示例1]在锐角三角形ABC中，a,b,c分 (2)若6=25，A=-,求a, 别是内角A,B,C的对边，若B=2A,则b 的取值范围是 A.(-2,2) B.(0,2) C.(√2,3) D.(√2,2) 名师可嘱 4真题体验 本题的易错之处是忽视锐角三角形的各角均为锐 角这一条件而不能准确求出角A的范围而出现错 1.(2025·全国二卷)在△ABC中，BC=2, 误，易只考虑A是锐角，而不是C为锐角时角A AC=1+√3，AB=√6，则A= 的范围，因此涉及锐角三角形时，要综合考虑三个 A.45° B.60° C.120° D.135 角均为锐角的条件。 2.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A, 易错二忽视构成三角形的条件致错 B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ [示例2]已知△ABC的三条边的长度分别 √3cosA=2 为4m,5m,6m,将三边都截掉xm后，剩 (1)求A: 余的部分组成一个钝角三角形，则x的取 (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC 值范围是 () 的周长. A.(0,5) B.(1,5)C.(1,3)D.(1,4) 名师叮嘱 若要长度分别为4一x,5一x,6一x的线段构成三角 形，需要满足4-x十5一x>6-x(两边之和大于第三 边)，忽视构成三角形的条件是出错的主要原因. 15