作业(六) 从力的做功到向量的数量积、平面向量的应用-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（北师大版·新教材）

暑假作业生命是一条艰险的峡谷，只有勇敢的人 作业（六） 从力的做功到向量的数量积、平 1知识整合 1.向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b, 向量a与b的夹角∠AOB记为〈a,b〉或 0(0°≤0≤180°).数量|a||b|c0s0称为 a与b的数量积（或内积），记作a·b,即 a.b=lallblcos(a,b)=lallblcos 0. b 010 a (2)规定：零向量与任一向量的数量积 为0 2.投影及数量积的几何意义 (1)投影向量 iA' 0 2 已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b, 过点A向直线OB作垂线，垂足为A',得 到a在b上的投影y=OA',y称为投影 向量。 (2)投影数量 |acos(a,b)称为投影向量y的数量，也称 为向量a在向量b方向上的投影数量，可 以表示为a·b b (3)向量的数量积a·b的几何意义：b的 长度|b|与a在b方向上投影数量|a|cos0 的乘积（如图）；或a的长度|a与b在a方 向上的投影数量|bcos0的乘积. lalcos 0 A bB 1 才能通过。 [每日格言] 今 月 日 日 台 星期 面向量的应用 天气 3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=（x2,y2),0为向量 a,b的夹角. (1)数量积：a·b=a||bcos0=x1x2十 yiy2. (2)模：la=√a·a=√x十y. a·b (3)夹角：cos0=ab x1x2+yiy2 √+y·√+ (4)向量a⊥b的充要条件：a·b=0台 x1x2十y1y2=0. (5)a·b≤|a|Ib(当且仅当a∥b时等 号成立)台|x1x2+y1y2|≤√x+y· √x十y. 2基础演练 1.△ABC是顶角为120°的等腰三角形，BC 是底边，且AB=1,则AC·BA=( A号 B-1 a D.- 2 2.已知向量a=(2,1),b=(一1,1)，则 |2a-b|= A.5 B.4 C.√26 D.6 3.已知平面向量a=(4,2),b=（m,1),且 (a十b)⊥b,则m= A.-1 B.1 C.-1或-3 D.3 4.已知向量a与b的夹角为30°，a=2,a· b=3,则a-b= [每日格言]成功呈概率分布，关健是你能不能坚持 3综合演练 1.已知向量a=(2,λ)，a十b=(4,-3),若 a⊥b,则入的值可以为 A.-4 B.-2 C.2 D.3 2.(多选)已知向量a,b满足a·b=1,|b=1, 且|a十b=7,则 A.a=2 B.a⊥(a-b) C.a与b的夹角为5 D.a与b的夹角为否 3.(多选)已知向量a=(1,2),b=(一3，一1)， c=(4,入)，则下列说法正确的是 ( A.若a∥c,则λ=一2 B向量a与b的夹角为x C.若aL(b十c),则入=号 D.a+2b=25 4.已知向量a在向量b方向上的投影向量为 2b,a=4,b=2,则la-b=（) A.√10 B.3√5 C.5√2 D.4 5.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC =90°，AD=2,BC=1,P是腰DC上的动 点，则|PA+3PB的最小值为( A.√3 B.5 C.4 D.5 6.已知a=(1,2),b=(x,一4)，若a与b的夹角 是钝角，则实数x的取值范围是 7.已知平面向量a,b满足a=4,b=(1, 2√2)，且(a+2b)⊥(3a一b).则向量a与 向量b的夹角是 到成功开始呈现的那一刻。 高一数学（配BSD版） 4真题体验 1.(2024·新课标I卷)已知向量a=(0,1), b=(2,x),若b⊥(b一4a),则x=( A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足 1a|=1,|a+2b=2,且(b-2a)⊥b,则 b= c. D.1 3.（2025·全国二卷)已知平面向量a= (x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则 lal= 5易误警示 易错一 认为a与b的夹角为锐角（钝角）》 等价于a·b>0(<0)致错 [示例1]已知a=(x,1),b=(2,2x+3), 若a,b的夹角为钝角，则x的取值范围为 B.(-∞，-2)U(-2,-) c.(-,-】 D.(-2,-U(-是，+∞ 名师叮嘱 当a·b>0(<0)时，a与b的夹角为锐角（钝角） 或0°(180°)角，所以a与b的夹角为锐角（钝角）等 价于a·b>0(<0)且a与b不共线 易错二 向量夹角的概念不清致错 [示例2]已知等边三角形ABC的边长 为2，则AB·BC= ) A.2 B.-2 C.-3D.√3 名师叮嘱 对于平面图形中向量的数量积计算问题，要根据 向量夹角的定义，作出图形，准确确定向量的夹 角，然后利用向量数量积的定义计算. 13[每日格言]凡事要三思，但比三思更重要的是三思而行。 高一数学（配BSD版） [示例2]A由AB=2AE,AF-FD,知E,F分别为AB, 4.D因为向量a在向量b上的投影向量为2b AD的中点 如图，设AC与BF的交点为P,易得△APFC△CPB, 所以6b=26:所以-名又a=4b=2 D 所以a·b=2, 所以|a-b|=√(a-b)F=√a-2a·b+6=√16-4+4 =4. 故选D 5.D如图，以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐 标系， 因为点E是AB的中点，所以正=A成】 设DC=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0), 设P(0,b)(0ba), 由P,G,B三点共线知，存在m∈R,满足AG=mA户+ 则PA=(2,-b),PB=(1,a-b), 1-m)A店=子mA花+(1-m)A. ∴PA+3PB=(5,3a-4b), 由C,G,E三，点共线知， .|PA+3PB|=√5+(3a-4b)≥5， 弃在n∈R,满足G=n正+(1-)AC=之n店+ 即当3a=4b时，取得最小值5. 故选D (1-n)AC. y 所以名m花+1-m)店=之A店+1-) P 又因为AC,AB为不共线的非零向量， D 1-m= 2n, m=3 5 所以 解得 6.解析因为a与b夹角为钝角， 1 3m=1-n, 4 n=5, 可以得出a·b=1×x+2×(一4)=x一8<0， 解得x<8, 所以店=号店+号花 且a,b不平行，则1×(-4)≠2.x,x≠-2， 即x<8且x≠-2，即x∈(-o∞，-2)U(-2,8). 作业（六）从力的做功到向量的数量积、 故答案为(-∞，-2)U(-2,8). 答案(-∞，-2)U(-2,8) 平面向量的应用 7.解析因为b=(1,2√2)，所以|b|=√+8=3， 【基础演练】 由(a+2b)⊥(3a-b)可得(a+2b)·(3a-b)=3a 1.A2.C3.C4.1 2b+5a·b=48-18+5a·b=0, 【综合演练】 所以a·b=一6， 1.A因为a=(2λ)，a十b=(4,-3), 所以oab=:可号- a·b 所以b=(2,-3一1)， 因为aLb,所以a·b=0, 即4一3入一入2=0，解得入=1或入=一4. 由a,6∈[0，对，知a,6=经 故选A. 答案子 2.AC因为a+b=√7，a·b=1, 所以a2+2a·b+6=7,即a2+2×1+1=7,解得1a=2, 【真题体验】 A正确； 1.D法一（向量法十坐标法）因为b⊥(b-4a),所以b· (b-4a)=0,即b=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以 因为a·(a一b)=a一a·b=4一1≠0，所以B错误： b=4十x2,a·b=x,得4十x2=4.x,所以(x一2)2=0，解得 因为osa,6=日治=号由两向重失角的龙周是0， x=2,故选D. 法二（坐标法）因为a=(0,1),b=(2,x),所以b一4a= ],得a与b的夹角为答C正确，D错误. (2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥ 故选AC. (b-4a),所以b·(b一4a)=0,所以2×2+x(x一4)=0， 3.BC对于A,因为a∥c,则A=2×4=8,故A不正确； 所以(x一2)=0，解得x=2,故选D. 2.B由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b 对于B,由题可得，cosa,b》=Tab5X√示 a·b -3-2=-2 2' =2a·b.将a十2b=2的两边同时平方，得a十4a·b+ 因为向量夹角范围为[0，x],所以向量a与b的夹角为 46=4,即1+26+46=1+661：=4，解得161=分 辛，故B正确： 所以B=吗做遂区 对于C,由于b+c=(1,-1+A),a⊥(b+c), 3.解析a-b=(1,1-2x),因为aL(a-b),则a·(a-b) 则1-2+2入=0，解得入=7，故C正确： =0,则x十1-2x=0,解得x=1. 对于D,由于a+2b=(-5,0),所以|a+2b|=5,故D 则a=(1,1),则|a=√2. 错误； 故答案为√2. 故选BC. 答案√瓦 47 暑假作业如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 [每日格言] 【易误警示】 确：由于bsin A=2√3<√15=a<b,故三角形有两解，故 [示例1门Ba,b夹角为钝角， a·b 选项C正确：当A=晋，B=平时，inA<c0sB,故选项D 六cos(a,b〉=Ta.b<0且a.b不共线， 不正确.故选AC 即a·b=4x十3<0且x(2x+3)≠2， 6.解析由asin B=2osA知0sA=26csA_asin B0,故 解得<-子且2≠-2， tanA存在.再由正弦定理sinA x的取值范国为(-0，-2)U(-2,-) 店合，即可得到mA sin A20sin A2bsin A26.a-2. [示例2】B因为向量店.BC的矣角为登。 cosA2 bcos A-asin B a·b 故答案为2. 所以A店.B元=2X2×c0s写=-2，故选B, 答案2 7.解析 因为sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a, 作业（七）正弦定理和余弦定理 又因为b=2ac,可得b=4a2,所以b=2a, 【基础演练】 由余弦定理得cosA=6+c-a-4u+4a2-g7 2bc 2×2a×2a 8 1.C2.B3.A4.C 【综合演练】 故答案为日 1,A在△ABC中，由余弦定理可得c0sB=0+C-b 答案 2ac 8 。+3n9- 8.解析(1)由正弦定理得b+√3ac=a十c2, 12a 化简得5a2-12a-65=0,解得a=5或a= 合) 即a+2-6=Bac,所以cosB=。十c-&-区 2ac 2 故选A. 因为0<B<x,所以B=吾 2.A因为A=2B,所以sinA=sin2B, (2)由正孩定理得 故sinA=2 sin Bcos B, sin A-sin B' 年sinA=sinB,所以a=2 beos B, 由正孩定理可得0 则a=bsin A × =26 又a=√3，b=1, sin B 2 6= 所以cosB三号，又BE(0,元)，所以B=π 【真题体验】 3 故C=一A-B=受， 1.A由题意得osA=AB土AC-C-6+1+B)-2 2AB·AC 2×√6×(1+√3) 由勾股定理可得c2=a2十b=4,所以c=2, 故选A 2 ,又0°<A<180°，所以A=45°. a.B由题意，Sac=子acin号 故选A. =5，可得ac=4: 2.解析(1)法一（辅助角法） 由余孩定理，b=a十c2-2 aceos3, 由nA+5c0sA=2,得子snA+。 c0sA=1, 代入条件，可得4=(a十c)2-3ac=(a十c)2-12, 解得a十c=4. 所以sin(A+）=1, 故选B. 因为0<A<x,所以子<A+苔<经， 4.A由2sinB=3sinC,得2b=3c,又b-c= 4a, 所以A+管=登，故A=合 3 即b=4a, 法二（同角三角函数的基本关系法） 1 由sinA+√3cosA=2,得√3cosA=2-sinA, 两边同时平方，得3cos2A=4-4sinA+sinA, 故sA-6+g（子a)广+（）广- 一16 3(1-sin'A)=4-4sin A+sinA, 整理，得1-4sinA十4sinA=0, 2bc 所以1-2snA)=0,则snA=合 因为0<A<x,所以A=吾或A=积 故选A. 5.AC在△ABC中，若A>B,则a>b,由正弦定理得sinA 当A=音时，nA十5c0sA=2成立，符合条件： >sinB,故选项A正确；若sinA十sin2B-sinC>0,由正 孩定理可得a十6-c>0,则c0sC=g+一C>0,则 当A=警时inA十50sA=2不成立，不特合条件。 2ab 角C为锐角，但不确定角A,B是否为锐角，故选项B不正： 故A=吾 48