作业(五) 平面向量基本定理及坐标表示-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（北师大版·新教材）

暑假作业坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久够大声，终会把人唤醒的。 [每日格言] 作业（五） 平面向量基本定理及坐标表示 设A(x,y),B(m,n),C(,9), 1=x+m,2=m+饣.3=x+p 【基础演练】 2 2 2 则有 1.D2.C3.B4.A 2=y+n 2 【综合演练】 解得A(2,4),B(0,0),C(4,0),故C正确： 1.C如图，由2BD=3CD可得BD =成 由C可知Sam=之×4X4=8,Samm=×4X2=4, 所以△ABF的面积为S△-S△F=8一4=4，故D正确. 则AD=AB+BD=AB+是BC=A 故选ACD. 7,解析取a=BA,b=BC作为基底，因为E是AD中点，则 AB+是（花-）=号+号A花 B正-BA+A正=BA+AD-BA+2BC=a+2b 故选C. 因为B下=3FE, 2.CAC=AB+BC=(8,6+m),因为A,C,D三点共线， 所以之心共线，截8X2m=-6-m,截m=一员 所以B求-是B店-是(a+2)小-子a+是b, 故选C. 所以正-萨-欣-子a+骨0b=子a-音 3.A设点D的坐标为(x,y), 答案 因为AB=(3-1,0-(-2))=(2,2),DC-(4-x3-y. 8.解析在矩形ABCD中，F为DC的中点，E为AF的 因为ABCD是平行四边形，所以AB=DC, 中点， 年传#释 由向量的线性运算法则，可得A正=A亦=子(A方+D 所以点D的坐标为(2,1). 故选A. =(D+2A成)-+2成. 4.CD如图， 因为症=店十市所以x=十y= 1 所以x+y=是 D 答率号 B 【真题体验】 对于A,BC=AC-AB,故A错误； 1.Ca⊥b台x2+x+2.x=0台x=0或x=-3,所以x=-3 是a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错 对子B,元=C+A市=C+号A店=C+ 误，C正确.a∥b台2x十2=x台x2-2x-2=0曰x=1士 兰（店-C=C+号Ci,故B错送： W3,故B、D错误 .3 2.B由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b=0,即a2-lb=0, 对于C,AE=合(C+AD)=(C+号AB) 所以|a=|bl,当a=(1,1),b=(-1,1)时，a=|b|,但 a≠b且a≠一b,故充分性不成立；当a=一b或a=b时， 君店+2心，放C正确： (a十b)·(a-b)=0,故必要性成立.所以“(a十b)· (a一b)=0”是“a=一b或a=b”的必要不充分条件， 对于D,AC=AB+BC=3DB+BC=3(CB-CD)-CB 【易误警示】 =2CB-3CD,故D正确. [示例1门解析设O为坐标原点， 故选CD. 花-成成-=-0成。 5.AC向量a=(2,1),b=(-3,4), .0元=20A-0B=(3,-6). |a=√22+1=5，|bl=√-3)+=5，|a= ∴点C的坐标为(3，-6). |b,A正确： 4a-3b=(8,4)-(-9,12)=(17,-8),B错误； 又：C=E可，且E在DC的延长线上， 因为2×4-1×(-3)≠0，所以a,b不共线，即a,b可以作 为平面向量的一组基底，C正确： c-成 a-b=(5,-3),由5×4-(-3)×(-3)≠0，得a-b与b 设E0,则(x-3y+6)=-十(4-，-3- 不共线，D错误.故选AC 6.ACD因为E(2,0),F(3,2),所以 x-3=- 4-0, EF=(3,2)-(2,0)=(1,2),故A 解得=受 y+6= y=-7, 正确； 因为D,E分别为AB,BC的中点， 点E的坐标为（号-7）小 所以C下=ED=(1,2)-(2,0)= B (-1,2),故B错误； 答案（受-7） 46 [每日格言]凡事要三思，但比三思更重要的是三思而行。 高一数学（配BSD版） [示例2]A由AB=2AE,AF-FD,知E,F分别为AB, 4.D因为向量a在向量b上的投影向量为2b AD的中点 如图，设AC与BF的交点为P,易得△APFC△CPB, 所以6b=26:所以-名又a=4b=2 D 所以a·b=2, 所以|a-b|=√(a-b)F=√a-2a·b+6=√16-4+4 =4. 故选D 5.D如图，以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐 标系， 因为点E是AB的中点，所以正=A成】 设DC=a,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0), 设P(0,b)(0ba), 由P,G,B三点共线知，存在m∈R,满足AG=mA户+ 则PA=(2,-b),PB=(1,a-b), 1-m)A店=子mA花+(1-m)A. ∴PA+3PB=(5,3a-4b), 由C,G,E三，点共线知， .|PA+3PB|=√5+(3a-4b)≥5， 弃在n∈R,满足G=n正+(1-)AC=之n店+ 即当3a=4b时，取得最小值5. 故选D (1-n)AC. y 所以名m花+1-m)店=之A店+1-) P 又因为AC,AB为不共线的非零向量， D 1-m= 2n, m=3 5 所以 解得 6.解析因为a与b夹角为钝角， 1 3m=1-n, 4 n=5, 可以得出a·b=1×x+2×(一4)=x一8<0， 解得x<8, 所以店=号店+号花 且a,b不平行，则1×(-4)≠2.x,x≠-2， 即x<8且x≠-2，即x∈(-o∞，-2)U(-2,8). 作业（六）从力的做功到向量的数量积、 故答案为(-∞，-2)U(-2,8). 答案(-∞，-2)U(-2,8) 平面向量的应用 7.解析因为b=(1,2√2)，所以|b|=√+8=3， 【基础演练】 由(a+2b)⊥(3a-b)可得(a+2b)·(3a-b)=3a 1.A2.C3.C4.1 2b+5a·b=48-18+5a·b=0, 【综合演练】 所以a·b=一6， 1.A因为a=(2λ)，a十b=(4,-3), 所以oab=:可号- a·b 所以b=(2,-3一1)， 因为aLb,所以a·b=0, 即4一3入一入2=0，解得入=1或入=一4. 由a,6∈[0，对，知a,6=经 故选A. 答案子 2.AC因为a+b=√7，a·b=1, 所以a2+2a·b+6=7,即a2+2×1+1=7,解得1a=2, 【真题体验】 A正确； 1.D法一（向量法十坐标法）因为b⊥(b-4a),所以b· (b-4a)=0,即b=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以 因为a·(a一b)=a一a·b=4一1≠0，所以B错误： b=4十x2,a·b=x,得4十x2=4.x,所以(x一2)2=0，解得 因为osa,6=日治=号由两向重失角的龙周是0， x=2,故选D. 法二（坐标法）因为a=(0,1),b=(2,x),所以b一4a= ],得a与b的夹角为答C正确，D错误. (2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥ 故选AC. (b-4a),所以b·(b一4a)=0,所以2×2+x(x一4)=0， 3.BC对于A,因为a∥c,则A=2×4=8,故A不正确； 所以(x一2)=0，解得x=2,故选D. 2.B由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b 对于B,由题可得，cosa,b》=Tab5X√示 a·b -3-2=-2 2' =2a·b.将a十2b=2的两边同时平方，得a十4a·b+ 因为向量夹角范围为[0，x],所以向量a与b的夹角为 46=4,即1+26+46=1+661：=4，解得161=分 辛，故B正确： 所以B=吗做遂区 对于C,由于b+c=(1,-1+A),a⊥(b+c), 3.解析a-b=(1,1-2x),因为aL(a-b),则a·(a-b) 则1-2+2入=0，解得入=7，故C正确： =0,则x十1-2x=0,解得x=1. 对于D,由于a+2b=(-5,0),所以|a+2b|=5,故D 则a=(1,1),则|a=√2. 错误； 故答案为√2. 故选BC. 答案√瓦 47暑假作业你希望别人怎样对待你，你就应该怎样对待别人。 [每日格言] 作业（五） 月 日 星期 平面向量基本定理及坐标表示 台 历 天气 1知识整合 2.已知点A(1,3),B(4,一1)，则与BA同方 向的单位向量为 () 1.平面向量的基本定理 (1)定理：如果e1,e2是同一平面内两个不 A(层) B.(3,-4) 共线的向量，那么对该平面内任意一个向 量a,存在唯一的一对实数入1,2，使a= c(是) D.(-3,4) 入1e1+入2e2. 3. 已知平面向量a=(1,十1)，b= (2)基：把不共线的向量e1,e2叫作表示这 (2k-1,2k2),若a∥b,则k= () 一平面内所有向量的一组基.记作 A.-1 B.1 {e1,e2冫.若基中的两个向量互相垂直，则 C.2 D.3 称这组基为正交基，在正交基下向量的线 4.在△ABC中，D为BC边上的中点，E是 性表示称为正交分解.若基中的两个向量 AD上靠近A的四等分点，则BE=() 是互相垂直的单位向量，则称这组基为标 准正交基 +d A.- 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 C.- 店-吉Ad D.- 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 3综合演练 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2, y-y2),a=(x1,y1),a=√+y. 1.在△ABC中，D是BC边上一点且2BD= (2)向量坐标的求法 3CD,则AD ( ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标 A.号A店+号AC BA店+Ad 即为向量的坐标， ②设A(x1,y),B(x22),则AB=(x2一x1, C号店+元 2-y),AB1=√/(a2-x1)+(02-y)了. 2.已知向量AB=(5,6),BC=(3,m),AD= 3.平面向量平行的坐标表示 (一1,2m),若A,C,D三点共线，则m= 设a=(x1,y),b=(x2,y2),向量a,b(b≠0) 共线的充要条件是x1y2一x2y1=0, 6 2基础演练 A.7 B名 6 1.如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上 c.一i7 D.- 的单位向量，且A(2,3),B(3,m),若AB= 3.已知平行四边形ABCD满足A(1,一2)， i-3j,则m= B(3,0),C(4,3),则点D的坐标为() A.-1 B.1 A.(2,1) B.(1,4) C.2 D.0 C.(3,2) D.(5,1) 10 [每日格言]成功与不成功之间有时距离很短一只要后者再向前几步。 高一数学（配BSD版） 4.(多选)在△ABC中，D在AB边上，AD= C.x=0是a⊥b的充分条件 2DB,E是CD的中点，则 D.x=-1十3是a∥b的充分条件 A.BC=AB-AC 2.(2024·北京卷)设a,b是向量，则“(a+b)· (a-b)=0”是“a=-b或a=b”的() BCi-=号C+c A.充分不必要条件 C.AE=专A店+gAC B.必要不充分条件 C.充要条件 D.AC=2 CB-3 CD D.既不充分也不必要条件 5.(多选)已知向量a=(2,1),b=(-3,4), 则 ( 5易误警示 A.a2=b 易错一 转换向量关系致误 B.4a-3b=(17,8) [示例1] 平面上有A(2,一1)，B(1,4), C.a,b可以作为平面向量的一组基底 D(4,-3)三点，点C在直线AB上，且AC= D.(a-b)∥b 6.(多选)已知△ABC中，点D(1,2), ,连接DC并延长至点E,使 E(2,0),F(3,2)分别为AB,BC,CA的中 点，则 ( ) 寻ED1,则点E的坐标为 A.EF=(1,2) 名师叮嘱 B.CF=(1,-2) 在将模的关系转换为向量之间的关系时，需要从 C.点A的坐标为(2,4) 方向角度加以分析，若不能确定，则需分类讨论、 D.△ABF的面积为4 易错二忽视方程的思想在向量运算中的 7.如图，平行四边形ABCD中，E是AD的 应用 中点，F在线段BE上，且BF=3FE,记 [示例2]如图，在平行四边形ABCD中， BA=a,BC=b,则CF= AB=2AE,AF-FD,点G为CE与BF D 的交点，则AG= B 8.如图，在矩形ABCD中，F为DC的中点， E为AF的中点.若AE=xAB十yAD,则 x十y A.号A店+ad B.TAB+2AC C号A店+告d D店+号d 名师叮嘱 4真题体验 对于向量的分解问题，求解的一个重要方法是待 定系数法，然后利用向量相等求解参数.若不能正 1.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x), 确设出向量的分解式，则难以求解.如本例由P, b=(x,2),则 G,B三点共线知，存在m∈R,满足AG=mAP十 A.x=一3是a⊥b的必要条件 B.x=一3是a∥b的必要条件 1-m)A店=子mAC+1-m)AB. 11