高效作业(八) 向量的数量积-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高效作业(八)　向量的数量积 １．平面向量的数量积 非零向量a,b的夹角为θ,数量　　　　　叫 作向量a与b的数量积(或内积),记作a􀅰b, 即a􀅰b＝　　　　　,规定:零向量与任一 向量的数量积等于　　　　　　　． ２．投影向量 在平面内任取一点O,作OM → ＝a,ON → ＝b,过 点M 作直线ON 的垂线,垂足为M１,则　　 　　　就是向量a在向量b上的投影向量． 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹 角为θ,则OM１ → 与e,a,θ之间的关系为OM１ → ＝ 　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 ３．数量积的性质 设向量a与b 都是非零向量,它们的夹角为 θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (１)a􀅰e＝e􀅰a＝|a|􀅰cosθ． (２)a⊥b⇔a􀅰b＝０． (３)当a∥b时,a􀅰b ＝ 　　　　　,a与b同向, 　　　　　,a与b反向．{ 特别地,a􀅰a＝　　　　　或|a|＝　　　 　　． (４)|a􀅰b|　　|a||b|． 一、选择题 １．(多选题)对于互不共线的向量a,b,c,下列 命题正确的是 (　　) A．a􀅰b＝b􀅰a B．a􀅰３c＝c􀅰３a C．(a－b)􀅰２c＝２a􀅰c－２b􀅰c D．(a􀅰b)c＝a(b􀅰c) ２．在腰长为１的等腰直角△ABC中,A＝π２． 记 e是与BC→同向的单位向量,则BA→在BC→上的 投影向量为 (　　) A．１２e B． ２ ２e C．e D．２e ３．△ABC是边长为２的等边三角形,已知向量 a,b满足AB→＝２a,AC→＝２a＋b,则下列结论 正确的是 (　　) A．|b|＝１ B．a⊥b C．a􀅰b＝１ D．(４a＋b)⊥BC→ ４．设a,b是平面上的两个单位向量,a􀅰b＝３５． 若m∈R,则|a＋mb|的最小值是 (　　) A．３４ B． ４ ３ C．４５ D． ５ ４ ５．已知非零向量a,b满足|a|＝２|b|,且(a－b) ⊥b,则a与b的夹角为 (　　) A．π６ B． π ３ C．２π３ D． ５π ６ ６．点O 在△ABC 所在的平面内,给出下列关 系式: ①OA→􀅰OB→＝OB→􀅰OC→＝OC→􀅰OA→; ② OA→ 􀅰 AC→ |AC→| － AB → |AB→| æ è ç ö ø ÷ ＝ OB→ 􀅰 BC→ |BC→| － BA → |BA→| æ è ç ö ø ÷＝０; ③(OA→＋OB→)􀅰AB→＝(OB→＋OC→)􀅰BC→＝０． 则点O依次为△ABC的 (　　) A．内心、外心、垂心 B．外心、内心、垂心 C．垂心、内心、外心 D．外心、垂心、内心 二、填空题 ７．已知△ABC 的三边长均为１,且AB→＝c,BC→ ＝a,CA→＝b,则a􀅰b＋b􀅰c＋a􀅰c＝　　 　　． ８．已知单位向量a,b的夹角为４５°,ka－b与a 垂直,则k＝　　　　． ９．已知非零向量a,b 满足|a|＝|a－b|,则 a－１２b æ è ç ö ø ÷􀅰b＝　　　　． １０．已知|a|＝ ２,|b|＝１,a与b 的夹角为４５°, 则使向量２a－λb 与λa－３b的夹角是锐角 的实数λ的取值范围为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１􀅰 三、解答题 １１．已知|a|＝２|b|＝２,且a与b 的夹角θ 为 ２ ３π． (１)求(a－２b)􀅰b; (２)当λ为何值时向量λa＋b与向量a－３b 互相垂直? １２．如图,扇形AOB 的