作业(一) 周期变化、任意角、弧度制、三角函数的定义、诱导公式-【假期作业】2026年高一数学暑假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]在世界的历史中，每一伟大而高贵的时刻 第一部分 作业（一） 周期变化、任意角、弧度制、 诱导公式 1知识整合 1.弧度制的定义和公式 (1)定义：在单位圆中，把长度等于1的弧 所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用 符号rad表示. (2)公式 角a的弧度数 |a=上（弧长用1表示） 公式 角度与弧度的 换算 0ad1rad=(12) 1°=， 弧长公式 弧长l=|ar 扇形面积公式 lelr 2.任意角的三角函数 (1)定义 如图，设α是一个任 P(u.v 前提 意角，它的终边与单 位圆交于点P(u,) 把点P的纵坐标v定义为角α的正 正弦 弦值，记作v=sina 把点P的横坐标u定义为角a的余 余弦 弦值，记作u=cosa 卫叫作a的正切值，记作tana,即 定义正切 tana=巴(u≠0) 正弦、余弦、正切都是以角为自变 三角 量，以单位圆上的点的坐标或坐标 函数的比值为函数值的函数，将它们统 称为三角函数 (2)定义的推广 设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则 sina=义，cosa=Z(其中r=√+y), tana=y(x≠0). 都是某种热忱的胜利。 高一数学（配BSD版） 温故知新 月 日 三角函数的定义 台 星期 历 天气 3.三角函数的诱导公式 公式 三 四 五 六 角 2kπ+a(k∈Z) 元十a -a π一a 2 -a 2+a 正弦 sin a -sin a sin a sin a cos a 余弦 cos a -cos a cos a -cos a sin a sin a 正切 tan a tan a tan a -tan a 口诀 奇变偶不变，符号看象限 2基础演练 1.下列说法正确的是 A.不相等的角终边必不同 B.始边与终边均相同的角一定相等 C.第三象限的角不一定大于第二象限的角 D.第四象限的角一定是负角 2.-1650°的终边在 A.第一象限 B第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若角α终边在第一象限，则下列三角函数 值不是sina的是 A.cos(a-) B.cos(-a) C.-cos(a+2)D.cos(a+) 4.已知a是第二象限角，点P(xW5)为其终边 上一点且osa-屋，则x等于 () A.3 B.±√3 C.-√2 D.-√3 3综合演练 1.已知cos(-a)=名则sim(3x+a) ( ) C.-5 D.115 8 暑假作业贫穷是不需要计划的，致富才需要一个 2.若角α与3终边相同，则一定有( A.a+B=180 B.a+B=0° C.a-B=k·360°，k∈Z D.a+B=k·360°，k∈Z 3.(多选)若角x是第二象限角，则() A.sin x>0 B.cos x>0 C.sin(cos x)<0 D.cos(sin x)>0 4.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.若a的终边经过P(5k,12k),k≠0，则 2 sin a-13 Btan(-210)=-3 C.若cosa>0,则a为第一或第四象限角 D.若角α和角B的终边关于y轴对称，则 sin(2+a)--cos B 5.已知扇形的面积为8cm,周长为8√2cm, 则该扇形的面积与其所在圆的面积之比为 6.已知sin(g-x=3,且0<x<受，则 sin(后+x 7.如图，以Ox为始边作角α 与B(0<<<a<x,它 们的终边分别与单位圆相 交于点P,Q,已知点Q的 坐标为(，得)。 2cos(g+B）-5cos(x-B) (1)求 的值； -3sin(3x+8)-2sin(+B) (2)若OP⊥OQ,求P的坐标 周密的计划一并去实践它。 [每日格言] 8.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿， 小轮有20齿. (1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度； (2)如果大轮的转速为180r/min(转/分)， 小轮的半径为10.5cm,那么小轮圆周上 一点每1s转过的弧长是多少？ 4真题体验 (2024·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角a与角3均以Ox为始边，它们的终 边关于原点对称若e[语引 ,则cos3 的最大值为 5易误警示 易错一 忽略终边相同角的公式中分类讨 论致错 [示例】已知集合M=女经+∈ x一年+受k∈☑，则有 N=xx-4- A.M=N B.M星V C.MN D.M∩N=0 名师叮嘱 弧度制下终边相同的角的公式中π的系数为偶 数，若题中出现的π的系数为整数，则要利用分类 讨论的思想方法确定， 易错二应用三角函数的定义求值时遗漏 终边的位置 [示例2]在平面直角坐标系中，角α的终 边在直线3x十4y=0上，求sina-3cosa+ tana的值. 名师叮嘱 终边落在直线3.x十4y=0上，即终边在第二或第 四象限，需分类讨论.利用三角函数的定义求值时 必须明确终边的条件，清楚其在坐标系中的位置.[每日格言]对于最有能力的领航人，风浪总是格外的汹涌。 高一数学（配BSD版） 参考答案 第一部分温故知新 :7.解析)因为点Q在单位上且0<<受，所以x>0 作业（一）周期变化、任意角、弧度制、三角函 且+（停）=1解降25，甲Q(25), 数的定义、诱导公式 由三角函数定义知， 【基础演练】 √5 1.C2.B3.D4.D sin B- 5 2,tang=义=1 x 2 【综合演练】 1.A由cas(竖-a)os(xX2+-a)=os(受-a) 故原式=2sin+5cosg21amg+52×z+5 =一12 3sin B-2cos B 3tan B-2 1 sna=名得sn(3x十a)=-sna=一子故选A 3×2-2 2.C角a与B终边相同，则a=k·360°+B,k∈Z,只有C选 (2》由题意na=sm(计受）=c0sg=25, 5 项满足，故选C 3,ACD若角x是第二象限角，则0<sinx<1< cos a-cos(B+2)=-sin B=5 5 2-21 -1<cosx<0, 故P(-2) 则sin(cosx)<0,cos(sinx)>0,故A,C,D正确，B;8.解析 (1)相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有 错误. 20齿， 故选ACD. 当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，小轮也转动了 4.BD 当k<0时，sina= 12k 1 48齿， √25k+144k 3,故A 错误； 则小轮转动8=周，即是 20 5 X2x=24x 5 tan(-210°)=-tan210°=-tan30°= 3 ,故B正确； 3 (2)由1)可知当大轮的转速为180r/min时，是×180 cosa>0时，a的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴， 432 r/min, 故C错误； 小轮转速为432r/min, 因为sin(受十a)=cos@,角。和角B的终边关于y轴对 小轮圆周上一点每1s转过的孤度数为： 432×2x÷60=写2 72x 称，结合三角函数定义可知cosa=一c0sB, 即sin(受十a）=-cos,故D正确. 小轮的半径为10.5cm, 小轮圆周上一点每1s转过的孤长为： 故选BD. 1+2r=8√2， 2x×10.5=151.2x(cm. 5.解析设扇形的半径为r,弧长为1，则 解得 【真题体验】 解析因为Q与B的终边关于原点对称， 1=4万：则所求面积之比为 8 所以3=2kx十π十a(k∈Z), r=22, 22)π 所以cosB=cos(2kπ十r十a)=-cosa. 答案 因为[] 6.解析 因为0<x<，所以一 <-x<0→- 所以cosa 61 3 [g]所以oe[-9.-] <吾，所以os(答-x)>0. 所以c0sB的最大值为一2 则n(管+)=sim[受-（答-x门=os(答-） 答案一2 小-m(告-舌-9， 【易误警示】 [示例1]C因为集合M表示终边在第一、三象限或第二、 cos(停+x=cos[登+（答+x】--sin(后+ 四象限的角平分线上的角的集合，集合V表示终边在坐 标轴（四个位置）上和在第一、三象限或第二、四象限的角 2√2 平分线上的角的集合，故MN 3 答案2 _2② [示例2】解析当角a的终边在掰线y=-是(x>0)上 3 时，取终边上一点P(4,一3)，所以点P到坐标原点的距离 暑假作业真正的价值并不在人生的舞台上，而在我们扮演的角色中。 [每日格言] r=0p1=5,所以sina=义=二3- 3 5,cos a= : 5 由2x一 ≠受+x,∈1得x≠语+经，6∈7，所以画 数了)的定义城为≠号+经∈小，此B正确： 所以sina-3cosa+ane=-号-号-是-15 41 由x[0]，2x-∈[-，]光时画数 当角。的终边在射线y=一寻r(红<0)上时，取终边上一 f(x)单调递增， 点P'(-4,3), 故最大值为（任）=m音-截C绿送： 所以点P到坐标原点的距离r=|OP|=5,所以sina=y 由-+<2x-吾<受+x,k，得-+经<< 3 登+经z 所以sin&-3cosa+ana=是-3×(-告）-是=+ 所以高教f()的单润递增区间为（一是十经，晋十 经），∈Z.故D正确 综上，sine一3cosa十iama的位为一只或号 故选ABD. 5.ABD因为f(x)=cos(2x-F)的最小正周期为T= 作业（二）正弦、余弦、正切函数的图象和性质 经=，所以A正确：因为了(x)=0s(2红-晋)，到 【基础演练】 1.B 2.ACD 3.B 4.D f(e+)=cos(2x+吾-音)=cos2,令g(x) 【综合演练】 f(z+E）=cos2x,又g(-z)=c0s(-2x)=c0s2x= 1.B在[0,2π]上，函数y=√2simx-√2的定义城满足 2sinx-√2≥0， g(x),所以f(+音）为偶函数，故B正确：当x∈ 即n≥9结合国泉知xe[子]， [0,受]时2x-吾∈[-吾，]由y=0sz的性质知， =sin x f(x)在[0，登]上不单调，所以C错误：由2x-吾=kx, 2πx 长7得到工=音十经∈Z,令=1，得x=登所以 故选B. f()的图象关于直线x=登对称，故D正确，故运ABD 6.解析由于x∈[0，x],所以sinx∈[0,1]. 2.C周为系<1<吾，所以an1>1>sin1> >cos 1, 又函数f(x)=cosx-2sinx十3=-sinx-2sinx+4= 即ba<c -(sinx+1)+5, 故选C. 所以当sinx=0时，f(x)mx=4. 故答案为4. 3D对子A,由m--1,sim经 =一1，可知x 答案4 不是其周期（也可说明其不是周期函数），故错误； 7.解析因为函数f(x)=2026sin(awz+p)(w>0,p≤x) 对于B.y=c0s1z=(o8t之0y=e0s,其最小正 的最小正周期为，所以2西=，所以=2，故∫(z) (cos z,<0, 2026sin(2z+p)(|g|≤x), 周期为2π，故错误； 对于C,y=tanx满足tan(z十x)=|tanz|,以元为周 由2x-受<2x十<2张x十受，∈Z得x-至-号<x 期，当x∈（受，x)时y=tanx=-an,由正切函教 <x+不-号，k∈Z, 的单调性可知y=an=-anx在区间（子，x)上单 又)在[吾，]上单河递增， 调递减，故错误； 对于D,y=|cosx满足|cos(x+π)|=|cosx|,以元 则 为周期，当x∈（受，元）时y=|cosx=-cos,由余孩 函数的单调性可知，y=一c0x在区问（受，）上单调递 解得2kx-晋≤≤2x一受k∈Z. 6 增，故正确： 又9小≤，剥当=0时-晋<g<-受。 故选D. 4.ABD由周期公式得到函数f(x)的最小正周期为T= 所以的取位花同为[号一受] 受故A正确； 答案 [-] 42