专题02全等三角形及判定（暑假预习讲义）-2026-2027学年苏科版数学八年级上册.

专题02全等三角形及判定 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺学习目标： 知识理解：精准理解全等图形、全等三角形的核心定义，清晰区分全等图形与相似图形的区别，明确“形状相同、大小相等”是全等的必备双重条件，杜绝概念混淆。 基础辨识：熟练掌握全等三角形的对应顶点、对应边、对应角的查找方法，能根据全等书写规范快速定位对应元素，掌握公共边、公共角、对顶角等常见对应关系的辨识技巧。 性质掌握：牢固记忆全等三角形的核心性质（对应边相等、对应角相等），熟练掌握周长、面积、对应中线、对应高、对应角平分线相等的拓展性质，并理解性质的推导逻辑。 应用解题：能利用全等三角形的性质，完成边长、角度的基础计算，规范简单几何填空题、解答题的解题步骤，初步建立“全等→边角相等”的几何解题思维。 规范书写：掌握全等三角形的标准书写符号和书写规则，做到对应顶点顺序书写准确，杜绝书写不规范导致的解题错误。 ✺题型归纳： 题型1.图形的全等 题型2.将已知图形分割成几个全等图形 题型3.全等三角形的概念 题型4.全等三角形的性质 题型5.尺规作图——作三角形 题型6.用SAS证明三角形全等 题型7.用SAS间接证明三角形全等 题型8.全等的性质和SAS综合 题型9.用ASA（AAS）证明三角形全等 题型10.全等的性质和ASA（AAS）综合 题型11.用SSS证明三角形全等 题型12.用SSS间接证明三角形全等 题型13.全等的性质和SSS综合 题型14.三角形的稳定性及应用 题型15.四边形的不稳定性 题型16.用HL证全等 题型17.全等的性质和HL综合 题型18.利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型19.添加条件使三角形全等 题型20.灵活选用判定方法证全等 题型21.结合尺规作图的全等问题 题型22.连接两点构造全等三角形 题型23.证明一条线段等于两条线段的和差 题型24.倍长中线模型 题型25.垂线模型 题型26.其他全等辅助线模型 题型27.全等三角形综合问题 题型28. ✺知识◆清单 一、全等图形与全等三角形 1.全等图形 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 核心特征：必须同时满足形状相同、大小相等。 易错判断：仅形状相同、大小不同 → 不是全等图形（相似图形） 仅大小相同、形状不同 → 不是全等图形 全等图形 → 周长相等、面积相等 2.全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形。 书写规范（必考）： 符号：≌，读作：全等于。书写时对应顶点必须一一对应、顺序一致。 示例：△ABC和DEF全等，顶点顺序严格对应：点A和点D,点B和点E,点C和点F分别是对应顶点.记作△ABC≌DEF.AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边；∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角. 补充：长边对长边，最大角对最大角，最小角对最小角. 核心结论：图形经过平移、翻折、旋转后，位置改变，形状、大小不变，变换前后的图形全等。 二、全等三角形核心性质 只有三角形全等，才能使用以下边角等量性质，是计算、证明的核心依据。 性质分类 具体内容 标准符号语言 基础性质 1. 对应边相等 2. 对应角相等 ∵△ABC≌△DEF.∴AB=DE,BC=EF,AC=DF. ∠A=D,∠B=∠E,∠C=∠F. 衍生性质 1. 周长相等 2. 面积相等 ∵△ABC≌△DEF ∴=, . 拓展性质 1.对应边上的高相等 2.对应边上的中线相等 3.对应角的角平分线相等 全等三角形所有对应线段、 对应量全部相等 三、全等三角形五大判定定理 普通三角形、直角三角形专属判定。 判定简称 适用范围 定理内容 关键考点/注意事项 SSS 边边边 任意三角形 三边对应相等的两个三角形全等 无需角度，对应三边全部相等；解释三角形稳定性 边角边（SAS） 任意三角形 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 必考易错：必须是两边夹角，SSA（边边角）不能判定全等 角边角 （ASA） 任意三角形 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 相等的边必须是两组角的公共夹边 角角边 （AAS） 任意三角形 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 可由三角形内角和推导，考试高频使用 斜边直角边 （HL） 仅限直角三角形 斜边和一条直角边对应相等的两个Rt△全等 直角三角形专属判定，无需夹角，默认直角相等 四、几何证明常用隐含条件（直接套用） 题目不写、图形自带，是找全等条件的关键！ 1.公共边相等、公共角相等 2.两直线相交，对顶角相等 3.两直线平行，内错角、同位角相等 4.垂直定义：垂直可推出90°直角 5.线段/角度和差：等量加等量、等量减等量，结果仍相等 五、全等证明标准解题步骤 1.找准需要证明全等的两个三角形； 2.梳理题干已知条件，挖掘图形隐含条件； 3.根据现有边、角条件，匹配最合适的判定定理； 4.规范罗列3组相等条件，标注依据（已知/公共边/对顶角等）； 5.写出全等结论，后缀标注判定简写； 6.利用全等性质，推导最终要证的边、角关系。 ✺题型◆精讲 题型1.图形的全等 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【答案】C 【分析】能够完全重合的两个图形是全等图形，根据概念逐一判断各选项即可得到正确答案． 【详解】解：A、形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，因此不一定全等，本选项错误． B、两个长方形的长和宽不一定对应相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． C、两个全等图形能够完全重合，因此面积一定相等，本选项正确． D、两个正方形的边长不一定相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． 2．对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有______个． 【答案】1 【分析】本题考查了全等形的概念，熟练掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对各项进行验证可得答案． 【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②面积相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确， 故答案为：1． 3．图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键． （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形即可； （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可． 【详解】（1）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形， ； （2）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形， ． 题型2.将已知图形分割成几个全等图形 1．如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 2．如图，下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号）______． 【答案】 ②③/③② 【分析】根据图形剪开后的形状，结合平行四边形和三角形的拼接条件逐一判断．图①剪开后是两个梯形，无法拼成三角形；图②剪开后是一个三角形和一个梯形，且剪痕过中点，既能拼成平行四边形又能拼成三角形；图③剪开后是两个三角形，既能拼成平行四边形又能拼成三角形；图④剪开后是两个矩形，无法拼成三角形；图⑤剪痕不过中点，无法拼成三角形． 【详解】解：①剪开后是两个直角梯形，能拼出平行四边形，但无法拼出三角形，不符合题意； ②剪开后是一个直角三角形和一个直角梯形，且右侧边被平分，将剪下的三角形绕中点旋转可拼成一个大三角形，将剪下的三角形平移可拼成平行四边形，符合题意； ③剪开后是两个全等的直角三角形，能拼成平行四边形和三角形，符合题意； ④剪开后是两个矩形，只能拼出平行四边形，无法拼出三角形，不符合题意； ⑤剪开后是一个直角三角形和一个直角梯形，但剪痕未经过中点，无法拼出三角形，不符合题意， ∴符合条件的图形为②③． 3．用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【答案】见详解 【分析】题目主要考查了全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题关键； 观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【详解】解：如图所示即为所求． 题型3.全等三角形的概念 1．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 2．如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 3．如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【答案】，，，， 【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴①的对应角为； ②的对应角为； ③的对应角为； ④的对应边为； ⑤的对应边为； 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键． 题型4.全等三角形的性质 1．如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 2．如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 【答案】24 【分析】利用全等三角形的性质求出和的长可得结论． 【详解】解：， ，， ， ， ． 3．如图，． (1)写出这两个三角形的对应边和对应角． (2)若，求的度数． 【答案】(1)对应边：与；与；与；对应角：与；与；与 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，写出对应边和对应角即可； （2）根据全等三角形的性质得出，从而求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴两个三角形的对应边为：与；与；与； 两个三角形的对应角为：与；与；与； （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型5.尺规作图——作三角形 1．已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，根据尺规作三角形的步骤，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作的步骤如下： 作直线，在上截取； 分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； 连接，则为所作的三角形； 故正确的顺序为②①③； 故选C． 2．如图，已知，线段，求作，使得． 作法： （1）作线段___________； （2）在的同旁，作___________，作___________，与交于点___________，故就是所求作的三角形． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，先截取线段，在的同旁，再作两个角等于已知角，交于点C，可得答案． 【详解】先在射线上截取，在的同旁，作，作，与交于点C，故就是所求作的三角形． 故答案为：c，． 3．根据条件画图，并回答问题： (1)画一个锐角三角形三边均不相等)； (2)作出边上的中线和高； 【答案】(1)三角形见解析(答案不唯一)； (2) 见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图，掌握垂直平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据锐角三角形的定义，画出三个内角均为锐角且三边不等的三角形即可； （2）用尺规作出线段的垂直平分线与边的交点，从而确定的中点，连接得到中线；再用尺规作过点且垂直于的线段，得到高． 【详解】（1）解：如图，即为所求锐角三角形(答案不唯一)； （2）解：①分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接两点的直线交于(为中点)，连接，则为边上的中线； ②以为圆心，任意长为半径画弧，与直线交于两点，再分别以这两点为圆心，大于它们距离的一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接该点与点，并延长交于，则，为边上的高； 边上的中线和高如图所示： 题型6.用SAS证明三角形全等 1．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余，求出，再证明，根据全等三角形的对应角相等得出结论． 【详解】如图，在中，， 则， 在和中， ， ， ． 2．如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】根据，可得要使以点，，为顶点的三角形与全等，利用，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵以点，，为顶点的三角形与全等， ∴当，时，此时，点与点重合，， 当，时，， 综上所述：或时，以点，，为顶点的三角形与全等． 3．已知：如图，．求证：． 【答案】见详解 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 题型7.用SAS间接证明三角形全等 1．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 2．如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    【答案】/边角边 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据即可证明是解题的关键． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 3．如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得，然后根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 题型8.全等的性质和SAS综合 1．如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， 即， ∵的面积为15， ∴，即， ∴． 2．如图，平分，，为上任一点，要证，应先证________，得________=________，________=________，继而有________，理由是________． 【答案】 【分析】要证，需要证．而证所需的和，可由（SAS）得到． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ∵，，， ， ，， 在和中， ∵，，， ， ． 3．如图，在中，，上有一点 满足． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点 在上方作 ，射线交 于点；在射线上截取线段使 ，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中的条件下，证明： ．请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 解：在和 中， ， ， （ ② ）， ， ∴ ③ ， 在中，， ④ ， ． 【答案】(1)作图如图所示． (2)① ；②全等三角形对应角相等；③；④ 【分析】（1）根据题干信息要求作 ， 即可； （2）根据题干信息要求逐步完善推理依据与推理过程即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：在和 中， ， ， ， （②全等三角形对应角相等）， ， ∴， 在中，， ， ． 题型9.用ASA（AAS）证明三角形全等 1．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 2．如图所示，，如果利用证明，那么需要添加的一个直接条件是______．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据“角角边”判定定理即可得到答案． 【详解】解：在和中， ， ， 利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，在和中，三点共线，三点共线，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据证明两个三角形全等即可． 【详解】证明：∵三点共线，三点共线， ∴与是对顶角， ∴． 在和中， ∴． 题型10.全等的性质和ASA（AAS）综合 1．如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 2．如图，三角形中，平分，，若，，则___________． 【答案】 【分析】延长交于点E，证明，得到，，，可证明得到，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，据此可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵平分 ∴ 又∵， ∴， ∴，，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．如图，在和中，，求的长． 【答案】3 【分析】先根据平行线的性质得到一组角相等，再结合已知条件证明两个三角形全等，最后利用全等三角形的性质求出的长． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ． 题型11.用SSS证明三角形全等 1．如图是作的尺规作图，其中三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三边对应相等的两三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意知，，， ． 2．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是______（填字母）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（1）已知的直角边和斜边分别等于如图所示的线段a、c的长，请用直尺和圆规作出．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在下面的网格图中的顶点都在格点上，请在网格图中找出所有符合条件的点D，使得． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，尺规作三角形， （1）作直线l，在直线l上取点C，以点C为圆心，a为半径画弧，交l于点B，D，然后作出的垂直平分线，以点B为圆心，以c为半径画弧，交的垂直平分线于点A，连接即可； （2）根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，点D即为所求． 题型12.用SSS间接证明三角形全等 1．如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 【详解】解：如图，连接    甲：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故甲的作法正确； 乙：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故乙的作法正确． 故选A． 2．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【详解】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 3．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 【分析】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明． 本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 题型13.全等的性质和SSS综合 1．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其截面如图所示，支撑杆，，当沿滑动时，油纸伞开闭，小亮由油纸伞的状态判断，，他的判定依据为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题公共边，可考虑证明三角形全等，从而推出角相等． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴他的判定依据为． 故选：C． 2．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．若，则_____． 【答案】/125度 【分析】本题主要运用全等三角形的判定定理以及全等三角形的性质来求解．先通过线段的等量关系证明三角形全等，再利用全等三角形对应角相等求出角度． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，，点在上，且，是上一点．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，得到，再证明，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型14.三角形的稳定性及应用 1．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：根据三角形的稳定性可得，具有稳定性的是． 2．港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【答案】稳定性 【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形， ∴运用的数学原理是三角形的稳定性． 3．如图是一个四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是 ； (2)若，平分，且，，求四边形木架的周长． 下面是（2）的解答过程，请大家补充完整： 解：∵平分， ∴_______， 在和中， ， ∴（ ）， ∴，，（ ）， ∴四边形木架的周长为． 【答案】(1)三角形的稳定性 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）由平分，得，再根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的稳定性等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形木架加上木条后，四边形由和拼接而成， ∵三角形具有稳定性， ∴此时木架不易变形， 故答案为：三角形的稳定性； （2）解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，（全等三角形的对应边相等）， ∴四边形木架的周长为， 故答案为：，，，，，，全等三角形的对应边相等． 题型15.四边形的不稳定性 1．以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（     ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 【答案】B 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性； 选项B伸缩门是用到了四边形的不稳定性． 2．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 【答案】四边形的不稳定性 【详解】解：小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是四边形的不稳定性． 3．根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【答案】(1)两点确定一条直线 (2)三角形的稳定性 (3)四边形的不稳定性 【分析】本题考查了两点确定一条直线，三角形的稳定性，四边形的不稳定性等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键 【详解】（1）两个钉子把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线； （2）有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子，利用的是三角形具有稳定性； （3）三个边长相同的四边形做成的挂衣架是运用四边形的不稳定性的性质 题型16.用HL证全等 1．在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作法可得到，，，再加上公共边，则可利用“”判断． 【详解】解：由作法可得，，， 则， 在和中 ， ∴． 2．如图，已知于点，且点是的中点，连接、，添加一个条件后可直接用“”证明，则所添加的条件是__________． 【答案】 【分析】根据垂直的定义可得 ，由线段中点的定义可得，根据直角三角形全等的判定定理“HL”可知，已知一条直角边对应相等，需添加斜边对应相等． 【详解】 和均为直角三角形 点是的中点 若利用“”证明 已知直角边对应相等根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等则需添加斜边． 3．如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【详解】略 题型17.全等的性质和HL综合 1．如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故选：B． 2．如图，，，，一动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为射线上一动点，随着点的运动而运动，且始终保持，当点（不与点重合）经过___________时，和全等． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，分四种情况，分别利用全等三角形的性质求解即可，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ①当E在线段上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，， 这时E在B点处，不合题意舍去； ④当E在上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； 综上：当点（不与点重合）经过或或时，和全等， 故答案为：或或． 3．如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【分析】由，得，由得，可证，可得，即可证明． 【详解】略 题型18.利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】首先利用“边角边”求出△和△全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：如图，在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（SAS）， ∴∠2＝∠3， 在Rt△ABC中，∠1+∠3＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 2．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 题型19.添加条件使三角形全等 1．如图，，，要使，需要添加下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质可得 ，结合已知 ，再根据全等三角形的判定定理分析即可． 【详解】解： 在 和 中，已知，， ∴需要添加，则 或添加，则 或添加，则 A、B、C选项均不符合题意， D、若添加 ，则，即，故D符合题意． 2．如图，点，，，在一条直线上，，，请添加一个条件________（写出一个即可），使． 【答案】 【分析】先由得到，由得到，再结合全等三角形的判定证明即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴， ∴当时，； 或当时，； 或当时，， 或时，则，． ∴可添加条件为：或或或（答案不唯一，只需填一个）． 3．如图，点在线段上，，请只添加一个合适的条件，使． (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 【答案】(1) (2)选择及证明过程见解析 【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，并证明，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由题中条件可知，按照“”，“”，使所缺的条件添加即可得到答案； （2）由（1）中不同的判定定理及添加的条件，利用两个三角形全等的判定定理证明即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，， ， 根据“”，使，需添加的条件是； 根据“”，使，需添加的条件是； 故答案为：； （2）解：选择“”，添加， 证明过程如下： ， ，即， 在和中， ； 选择“”，添加， 证明过程如下： ，， ，即， 在和中， ． 题型20.灵活选用判定方法证全等 1．如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 【答案】 【分析】借助网格作出与全等的三角形，一共可以作出三个三角形，所以符合条件的点最多有个． 【详解】解：如下图所示， 一共可以作出三个三角形与全等， 符合条件的点最多有个． 3．如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 题型21.结合尺规作图的全等问题 1．根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，画出的不唯一，该选项符合题意； 故选：． 2．锐角与锐角，若，，，则与是否全等．填是或否______． 【答案】否 【分析】以E为圆心，EF长为半径画弧，交DF于，由图即可判定． 【详解】解：如图所示：以E为圆心，EF长为半径画弧，交DF于， 和中，，，， 由图可知和不全等， 故答案为：否． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 3．如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)图见解析，见解析 【分析】（1）由，，可得，即得，即可证明；延长，交于点，由，，可得，故，由知，可得，因，即可证明； （2）根据作一个角等于已知角的步骤即可，由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知点，，这三个点在同一直线上． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ②理由：分别延长，交于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． （2）解：①以E为圆心，任意长为半径画弧交于M，交于N，②以B为圆心，的长为半径画弧交于K，③以K为圆心，的长为半径画弧，交前弧于G，④作射线，则即为所求；    ∵， ∴， 由（1）②知，， ∴过B的直线都与平行， ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点，，这三个点在同一直线上． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质, 平行线的判定与性质，尺规作图等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 题型22.连接两点构造全等三角形 1．如图，为等腰直角三角形，D为三角形外一点，连接，过D作交于点E，F为上一点且，连接，N为中点，延长至点M，交于点G，使得，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤若， ， ，则．其中正确的个数为（　　）      A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】连接，交于H，连接，，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由等腰直角三角形的性质和三角形的三边关系以及三角形的面积公式依次判断可求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故①正确； 如图1，连接，交于H，连接，，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，，故②正确； ∴， 又∵， ∴， ∴，故③错误； ∵是等腰直角三角形，， ∴， 在中，， ∴， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故⑤正确， 故选：B． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系等关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 2．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 3．数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】延长到点使，构造使，根据全等三角形对应边相等可知，根据三角形三边关系可得，从而可得； 延长交的延长线于点，构造，从而可证，，，可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可得 【详解】（1）解：如下图所示，延长到点使， 是边上的中线， ， 在和中， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，延长交的延长线于点， 是的中线， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形三边的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的关系找边之间的关系． 题型23.证明一条线段等于两条线段的和差 1．如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 _____个．    【答案】1 【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上结论可以推导出 ，，即可求解． 【详解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AC＝BE， ∵在Rt△BEC中，BE＜BC， ∴AC＜BC， ∴①错误； ∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD， ∴∠D≠∠BED， ∴AD和BE不平行， ∴②错误； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE， ∵∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°， ∴③正确； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AD＝CE，CD＝BC， CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC， ∵BE＜BC， ∴AD+DE＞BE， ∴④错误； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 2．如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 3．如图，，点在线段上，且，连接，若． 证明：且．请将以下推导过程补充完成． 证明：∵， ① ． ， ② ，即． 在和中， （ ④ ）； ． （___⑤_____） 【答案】①，②，③，④，⑤内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差，逐步分析解答即可． 【详解】证明：∵， ． ， ，即． 在和中， ； ． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①，②，③，④，⑤内错角相等，两直线平行． 题型24.倍长中线模型 1．如图，，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点是的重心 B．和的面积相等 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，重心的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的中线性质是解答的关键． 根据三角形中线的性质，重心的定义，全等三角形的判定与性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点， ∴点是的重心，故A正确， ∴，， ∴ ∴ ∴ 同理可得 ∴ ∴ 又∵是的中点，则 ∴，故B正确， ∵不一定成立， ∴不一定成立，故C错误； 如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， 又， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故D正确 故选：C． 2．如图，是中边上的中线，若，，设，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，三角形中线性质，三角形三边关系，解题的关键在于倍长中线构造全等三角形． 延长至点，取，连接，结合三角形中线性质证明，得到，再利用三角形三边关系求解，即可解题． 【详解】解：延长至点，取，连接， 是中边上的中线， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 故答案为：． 3．【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 【详解】证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型25.垂线模型 1．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 2．如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据等腰直角三角形构造一线三垂直模型证明全等，再求坐标即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图，在笔直的高速公路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离村庄到公路的距离，现要在之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到服务区E的距离相等． (1)若，试说明：； (2)若C，D两点间的距离为，求C，E两点间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先根据余角的性质证明，然后根据可证； （2）设，则，根据，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 又∵ ∴ 在在中： ∴ （2）解：设，则 在中，，即：， 在中，，即  ， 又∵， ∴   解得 即C，E两点间的距离. .题型26.其他全等辅助线模型 1．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为_____． 【答案】1 【分析】延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积； 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 2．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【答案】见解析 【分析】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形． 3．如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD 【分析】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论； （Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论； （Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）∵AC＝AE， ∴∠ACF＝∠AEG， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°＝∠CAB， ∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG， ∴∠CAF＝∠EAG， 在△AGE和△AFC中， ， ∴△AGE≌△AFC（ASA）； （Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠AGE＝∠AFC， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC， ∴∠AGC＝∠AFG， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠AGC＝∠CFM， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴∠BAC+∠ACM＝180°， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠AGC， ∴∠CFM＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AM＝AF+CM， ∴AD＝AF+BD； （Ⅲ）AD＝AF﹣BD； 过点C作CM⊥AC，交AF于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠G＝∠F， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠G， ∴∠F＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AF＝AM+CM＝AD+BD， 故答案为：AF＝AD+BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键． 题型27.全等三角形综合问题 1．如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 【详解】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 2．如图，四边形沿直线l对折后重合，如果，则下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【分析】根据折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解答即可． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：四边形沿直线l对折后重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 故④正确； ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， 故①②都正确；③错误， 故答案为：①②④． 3．，点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点． (1)求证：是的中点． (2)若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂线的性质得到，进而得到，证得，根据全等三角形的性质得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，从而得到结论； （2）根据，结合，得到，同（1）可证是的中点． 【详解】（1）证明：， 即 在和中， 在和中， ，即是的中点； （2）解：成立，理由如下： ， ，即 ， 在和中， 在和中， ，即是的中点． ✺巩固测试 一、单选题 1．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由图可知A，B，D都应用了三角形的稳定性， C应用了四边形的不稳定性． 2．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 3．若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应角相等，进行求解即可. 【详解】解：∵两个三角形全等，且的两条邻边分别为， ∴. 4．手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是两边的夹角，所以不能判定其全等； 乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个三角形全等； 丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等， 所以，和老师的三角形全等的是乙和丙． 5．如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， 故选项C符合题意. 二、填空题 6．如图，若沿直线对折，与重合，则________，的对应边是________，的对应边是________，的对应角是________，的对应角是________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换及全等三角形的相关概念，解题的关键是掌握翻折的性质及找全等三角形对应边、角的方法． 根据翻折的性质解答即可． 【详解】解：若沿直线对折，与重合，则，的对应边是，的对应边是，的对应角是，的对应角是， 故答案为：，，，，． 7．如图，，，添加条件__________，可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 【详解】解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，．以为腰向内作等腰，以为腰向外作等腰，且，已知点A到直线的距离为3，，则_______，点D到直线的距离为_______． 【答案】 10 2.5 【分析】根据题意证明，即可得到；设点D到直线的距离为h，利用三角形面积求解即可． 【详解】解：∵以为腰向内作等腰，以为腰向外作等腰， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设点D到直线的距离为h， ∵点A到直线的距离为3，， ∴， ∴， 解得， ∴点D到直线的距离为2.5． 9．在四边形中，，，，，则对角线的长为______． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是构建全等三角形，同时运用勾股定理进行计算． 过点，作，，根据勾股定理得出和的长度，再得出、的长度，进而得出和的长度，最后利用勾股求出的长度． 【详解】解：分别过点，，作，，，垂足分别为，，，连接，如图， ，，， ，． ，． ． ，， 为等腰直角三角形． 设，则， 在中，， ，解得． ． ． ，， ． 在和中， ． ，． ． 在中，． 故答案为：． 三、解答题 10．如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是关键；由全等三角形的性质得，结合得，由平行线的判定即可证明． 【详解】解：， ． ， ． ． 11．如图，已知点B，D在上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得，再由推出，然后根据证明； （2）由（1），根据全等三角形对应边相等可得结论． 【详解】（1）证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴． 12．如图，在中，，于点． (1)用尺规完成以下基本作图：在线段上截取，作线段交射线于点，作，交于点；（不写作法和证明，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号） 证明：， ①_________； 在和中， ， ③_________； 在和中， ， ， ． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【详解】（1）解：以点C为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，此时；以点E为圆心，长为半径画弧，交射线于点F，此时；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点，保持半径不变，以点C为圆心画弧交于一点，进一步作图即可； （2）略 13．如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1)全等，理由见详解 (2) 【分析】（1）由两个直角三角形全等的判定定理判定即可； （2）由全等的性质得到长，数形结合表示出求解即可． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 由题意可知，，，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， ，， 线段． 14．（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，从而得到，，，再结合，可得到，可证明，可得，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，利用倍长中线模型构造全等三角形转化线段关系是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02全等三角形及判定 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺学习目标： 知识理解：精准理解全等图形、全等三角形的核心定义，清晰区分全等图形与相似图形的区别，明确“形状相同、大小相等”是全等的必备双重条件，杜绝概念混淆。 基础辨识：熟练掌握全等三角形的对应顶点、对应边、对应角的查找方法，能根据全等书写规范快速定位对应元素，掌握公共边、公共角、对顶角等常见对应关系的辨识技巧。 性质掌握：牢固记忆全等三角形的核心性质（对应边相等、对应角相等），熟练掌握周长、面积、对应中线、对应高、对应角平分线相等的拓展性质，并理解性质的推导逻辑。 应用解题：能利用全等三角形的性质，完成边长、角度的基础计算，规范简单几何填空题、解答题的解题步骤，初步建立“全等→边角相等”的几何解题思维。 规范书写：掌握全等三角形的标准书写符号和书写规则，做到对应顶点顺序书写准确，杜绝书写不规范导致的解题错误。 ✺题型归纳： 题型1.图形的全等 题型2.将已知图形分割成几个全等图形 题型3.全等三角形的概念 题型4.全等三角形的性质 题型5.尺规作图——作三角形 题型6.用SAS证明三角形全等 题型7.用SAS间接证明三角形全等 题型8.全等的性质和SAS综合 题型9.用ASA（AAS）证明三角形全等 题型10.全等的性质和ASA（AAS）综合 题型11.用SSS证明三角形全等 题型12.用SSS间接证明三角形全等 题型13.全等的性质和SSS综合 题型14.三角形的稳定性及应用 题型15.四边形的不稳定性 题型16.用HL证全等 题型17.全等的性质和HL综合 题型18.利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型19.添加条件使三角形全等 题型20.灵活选用判定方法证全等 题型21.结合尺规作图的全等问题 题型22.连接两点构造全等三角形 题型23.证明一条线段等于两条线段的和差 题型24.倍长中线模型 题型25.垂线模型 题型26.其他全等辅助线模型 题型27.全等三角形综合问题 题型28.巩固测试 ✺知识◆清单 一、全等图形与全等三角形 1.全等图形 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 核心特征：必须同时满足形状相同、大小相等。 易错判断：仅形状相同、大小不同 → 不是全等图形（相似图形） 仅大小相同、形状不同 → 不是全等图形 全等图形 → 周长相等、面积相等 2.全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形。 书写规范（必考）： 符号：≌，读作：全等于。书写时对应顶点必须一一对应、顺序一致。 示例：如下图：△ABC和DEF全等，顶点顺序严格对应：点A和点D,点B和点E,点C和点F分别是对应顶点.记作△ABC≌DEF.AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边；∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角. 补充：长边对长边，最大角对最大角，最小角对最小角. 核心结论：图形经过平移、翻折、旋转后，位置改变，形状、大小不变，变换前后的图形全等。 二、全等三角形核心性质 只有三角形全等，才能使用以下边角等量性质，是计算、证明的核心依据。 性质分类 具体内容 标准符号语言 基础性质 1. 对应边相等 2. 对应角相等 ∵△ABC≌△DEF.∴AB=DE,BC=EF,AC=DF. ∠A=D,∠B=∠E,∠C=∠F. 衍生性质 1. 周长相等 2. 面积相等 ∵△ABC≌△DEF ∴=, . 拓展性质 1.对应边上的高相等 2.对应边上的中线相等 3.对应角的角平分线相等 全等三角形所有对应线段、 对应量全部相等 三、全等三角形五大判定定理 普通三角形、直角三角形专属判定。 判定简称 适用范围 定理内容 关键考点/注意事项 边边边 （SSS） 任意三角形 三边对应相等的两个三角形全等 无需角度，对应三边全部相等；解释三角形稳定性 边角边（SAS） 任意三角形 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 必考易错：必须是两边夹角，SSA（边边角）不能判定全等 角边角 （ASA） 任意三角形 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 相等的边必须是两组角的公共夹边 角角边 （AAS） 任意三角形 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 可由三角形内角和推导，考试高频使用 斜边、直角边 （HL） 仅限直角三角形 斜边和一条直角边对应相等的两个Rt△全等 直角三角形专属判定，无需夹角，默认直角相等 四、几何证明常用隐含条件（直接套用） 题目不写、图形自带，是找全等条件的关键！ 1.公共边相等、公共角相等 2.两直线相交，对顶角相等 3.两直线平行，内错角、同位角相等 4.垂直定义：垂直可推出90°直角 5.线段/角度和差：等量加等量、等量减等量，结果仍相等 五、全等证明标准解题步骤 1.找准需要证明全等的两个三角形； 2.梳理题干已知条件，挖掘图形隐含条件； 3.根据现有边、角条件，匹配最合适的判定定理； 4.规范罗列3组相等条件，标注依据（已知/公共边/对顶角等）； 5.写出全等结论，后缀标注判定简写； 6.利用全等性质，推导最终要证的边、角关系。 ✺题型◆精讲 题型1.图形的全等 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 2．对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有______个． 3．图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 题型2.将已知图形分割成几个全等图形 1．如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号）______． 3．用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 题型3.全等三角形的概念 1．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 3．如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 题型4.全等三角形的性质 1．如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 2．如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 3．如图，． (1)写出这两个三角形的对应边和对应角． (2)若，求的度数． 题型5.尺规作图——作三角形 1．已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 2．如图，已知，线段，求作，使得． 作法： （1）作线段___________； （2）在的同旁，作___________，作___________，与交于点___________，故就是所求作的三角形． 3．根据条件画图，并回答问题： (1)画一个锐角三角形三边均不相等)； (2)作出边上的中线和高； 题型6.用SAS证明三角形全等 1．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 3．已知：如图，．求证：． 题型7.用SAS间接证明三角形全等 1．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    3．如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 题型8.全等的性质和SAS综合 1．如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，平分，，为上任一点，要证，应先证________，得________=________，________=________，继而有________，理由是________． 3．如图，在中，，上有一点 满足． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点 在上方作 ，射线交 于点；在射线上截取线段使 ，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中的条件下，证明： ．请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 解：在和 中， ， ， （ ② ）， ， ∴ ③ ， 在中，， ④ ， ． 题型9.用ASA（AAS）证明三角形全等 1．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，，如果利用证明，那么需要添加的一个直接条件是______．（写出一种即可） 3．如图，在和中，三点共线，三点共线，，．求证：． 题型10.全等的性质和ASA（AAS）综合 1．如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，三角形中，平分，，若，，则___________． 3．如图，在和中，，求的长． 题型11.用SSS证明三角形全等 1．如图是作的尺规作图，其中三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，，分别为，的中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中（不加任何其余线段），利用两个三角形全等，总能得到，则判定两个三角形全等的依据是______（填字母）． 3．（1）已知的直角边和斜边分别等于如图所示的线段a、c的长，请用直尺和圆规作出．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在下面的网格图中的顶点都在格点上，请在网格图中找出所有符合条件的点D，使得． 题型12.用SSS间接证明三角形全等 1．如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 2．如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 3．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 题型13.全等的性质和SSS综合 1．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其截面如图所示，支撑杆，，当沿滑动时，油纸伞开闭，小亮由油纸伞的状态判断，，他的判定依据为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．若，则_____． 3．如图，，点在上，且，是上一点．求证：． 题型14.三角形的稳定性及应用 1．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．B． C． D． 2．港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 3．如图是一个四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是 ； (2)若，平分，且，，求四边形木架的周长． 下面是（2）的解答过程，请大家补充完整： 解：∵平分， ∴_______， 在和中， ， ∴（ ）， ∴，，（ ）， ∴四边形木架的周长为． 题型15.四边形的不稳定性 1．以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（     ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 2．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 3．根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 题型16.用HL证全等 1．在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知于点，且点是的中点，连接、，添加一个条件后可直接用“”证明，则所添加的条件是__________． 3．如图，在与中，于点．若，求证：． 题型17.全等的性质和HL综合 1．如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，，一动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为射线上一动点，随着点的运动而运动，且始终保持，当点（不与点重合）经过___________时，和全等． 3．如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．求证：． 题型18.利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 2．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 3．如图所示是一个的正方形，求的度数． 题型19.添加条件使三角形全等 1．如图，，，要使，需要添加下列选项中的（   ） A． B． C． D． 2．如图，点，，，在一条直线上，，，请添加一个条件________（写出一个即可），使． 3．如图，点在线段上，，请只添加一个合适的条件，使． (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 题型20.灵活选用判定方法证全等 1．如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 2．如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 3．如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 题型21.结合尺规作图的全等问题 1．根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．锐角与锐角，若，，，则与是否全等．填是或否______． 3．如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 题型22.连接两点构造全等三角形 1．如图，为等腰直角三角形，D为三角形外一点，连接，过D作交于点E，F为上一点且，连接，N为中点，延长至点M，交于点G，使得，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤若， ， ，则．其中正确的个数为（　　）      A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 3．数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． (1)【问题初探】如图：在中，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图：在中，是的中线，于点且． 求的长度． 题型23.证明一条线段等于两条线段的和差 1．如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 _____个．    2．如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 3．如图，，点在线段上，且，连接，若． 证明：且．请将以下推导过程补充完成． 证明：∵， ① ． ， ② ，即． 在和中， （ ④ ）； ． （___⑤_____） 题型24.倍长中线模型 1．如图，，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点是的重心 B．和的面积相等 C． D． 2．如图，是中边上的中线，若，，设，则的取值范围是____________． 3．【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 题型25.垂线模型 1．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 2．如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 3．如图，在笔直的高速公路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离村庄到公路的距离，现要在之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到服务区E的距离相等． (1)若，试说明：； (2)若C，D两点间的距离为，求C，E两点间的距离． .题型26.其他全等辅助线模型 1．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为_____． 2．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 3．如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 题型27.全等三角形综合问题 1．如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 2．如图，四边形沿直线l对折后重合，如果，则下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有______． 3．，点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点． (1)求证：是的中点． (2)若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由． ✺巩固测试 一、单选题 1．以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 3．若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 4．手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 5．如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，若沿直线对折，与重合，则________，的对应边是________，的对应边是________，的对应角是________，的对应角是________． 7．如图，，，添加条件__________，可以根据“”得到． 8．如图，在中，．以为腰向内作等腰，以为腰向外作等腰，且，已知点A到直线的距离为3，，则_______，点D到直线的距离为_______． 9．在四边形中，，，，，则对角线的长为______． 三、解答题 10．如图，已知线段与相交于点E，且，点F在线段的延长线上，，求证：． 11．如图，已知点B，D在上，，，．求证： (1)； (2)． 12．如图，在中，，于点． (1)用尺规完成以下基本作图：在线段上截取，作线段交射线于点，作，交于点；（不写作法和证明，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号） 证明：， ①_________； 在和中， ， ③_________； 在和中， ， ， ． 13．如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若，，，求线段的长度． 14．（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $