专题01 三角形中的线段与角（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“三角形中的线段与角”核心知识点，系统梳理三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边）、大边对大角及高、中线、角平分线的概念与性质，从基础概念到性质应用层层递进，为几何学习构建知识支架。 资料通过典例与变式题（如三角形三边关系的实际应用、中线面积计算）培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），借助推理证明（如大边对大角的折叠证明）发展逻辑思维（数学思维），结合实际问题（如木工选木条）体现应用意识（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后通过巩固与强化训练帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

专题01 三角形中的线段与角 1.三角形三边关系和大边对大角及其应用； 2.三角形的高、中线、角平分线的概念和性质； 3.区分三角形的高、中线、角平分线的性质，并能灵活运用； 4.通过观察、操作、推理等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。 1、三角形的三边关系：由两点之间线段最短可知，三角形的任意两边之和 大于 第三边；任意两边之差 小于 第三边。这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差＜第三边＜两边之和建立不等式。 相关知识复习：（1）三角形的内角和180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 2、三角形的边角关系：大边对大角，大角对大边（新增内容） 在同一个三角形中，较大的边所对的 角 也比 较大 ，较大的角所对的边也比较大。 3、三角形中线的定义： 在三角形中，连接一个顶点与它的 对边中点 的线段叫做三角形的中线。如图，AM是△ABC的中线。 4、三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 中点 BM = CM＝ 1/2 BC。 ②中线平分三角形的 面积 。即： ③中线分三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有 3 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 重心 。 5、三角形角平分线的定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的 线段 是三角形的角平分线。如图，AD是△ABC的角平分线。 6、三角形角平分线的性质： ①AD是三角形的角平分线∠1 = ∠2。 ②三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比。即 。（利用角平分线的性质证明） ③三角形有 3 条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的 内心 。 7、三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点 与 垂足 之间的线段是三角形的高线。如图，BD是△ABC的高线BD⊥AC。 8、三角形高线的性质： 1. 三角形的垂心：三角形有 3 条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的 垂心 。 2. 高线与垂心的位置与三角形形状的关系： 锐角三角形的三条高都在 三角形内部 ，垂心在 三角形内部 。 直角三角形有两条高是 三角形的边 ，垂心在 三角形的直角顶点上 。 钝角三角形有两条高在 三角形外 ，垂心在 三角形外 。 题型01 三角形的边角关系 【典例】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中，，______________________（___________） （对顶角相等），_____________________， ，______________________，（___________） 【变式1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【变式3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·山东·校考期中）折叠可以解决很多问题．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，那么不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢? 【问题情境】如图1，在中，，怎样判断与的大小关系呢? 解答：将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D． 由折叠可得．又，； 结论：在三角形中，大边对大角；反之，大角对大边． （1）若，，求的度数；（2）若，判断，与之间的数量关系，并说明理由； 题型02 确定三角形的条件 【典例】（2026·江苏连云港·二模）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，6 C．5，4，10 D．6，2，3 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，2 ，3 C．1，4，7 D．2，3，4 【变式2】（2025·广东广州·二模）下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11 【变式3】（2025·河北衡水·模拟预测）将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 题型02 求三角形第三边的取值范围 【典例】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）等腰三角形的周长为16厘米，腰长为厘米，底边长为厘米，其中的取值范围是 ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如果一个三角形的两边长为3和6，那么第三边的长有可能是（   ） A．3 B．7 C．9 D．10 【变式2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的两边长为4和9，则第三边长不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【变式4】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围；(2)化简． 题型04 三角形的三边关系的实际运用 【典例】（2026·福建南平·二模）一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）一木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择（   ）的木条合适． A．3cm B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：． 【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）【阅读材料】在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用）如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法）如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升）如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新）如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 题型05 中线平分三角形的面积 【典例】（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，．若的面积为18，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ． 【变式4】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 题型06 中线中的周长差与边的差 【典例】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，的周长为，是边上的中线，已知，，则的长为_____． 【变式1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 【变式2】（2025·广东·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式3】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，，分别是的高和中线． (1)若，，求高的长；(2)若，，求与的周长之差． 【变式4】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，．(1)求，的长；(2)求的长；(3)直接写出的周长． 题型07 重心的相关问题 【典例】（25-26八年级上·福建福州·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态． 【提出问题】探究的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】任务1：若的面积为6，求的面积．任务2：求的值． 【变式1】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 【变式2】30．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点______； 【变式3】（24-25八年级下·湖北·阶段练习）如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式4】（25-26八年级上·北京海淀·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】教材P24页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】（1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的而积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得:___________ 【拓展应用】（4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E，若，，，直接利用上面的结论，求的面积． 题型8画三角形的高线 【典例】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高；(2)过点作直线的垂线，垂足为；(3)点到直线的距离是线段_______的长度；(4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【变式1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C．D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式3】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高；(2)过点画的垂线，垂足为；(3)过点画的平行线，交于点；(4)点到直线的距离是线段___________的长度． 题型09 与高线相关的计算 【典例】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是 ． 【变式1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等腰三角形，，，边上的高＝______．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则______． 【变式2】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，，，为边上的高，平分，交于点，交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；（2）如图2，在中，，，求的高与的比；（3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【变式4】（2023·宁夏中卫·三模）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则，∵，∴． 【性质应用】(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝__________，＝_________；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 题型10 与角平分线相关的计算 【典例】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是 ． 【变式2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于若，，则的度数为 ． 【变式3】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则 ， ． 题型11 三角形中的“三线”相关角度运算 【典例】（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，AD平分交BC于点D，AE是BC边上的高，，则的度数为 ． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为的平分线，为边上的高．若，，则 度． 【变式3】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，则的度为 ． 【变式4】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，为边上的高．(1)若，，求的度数；(2)在（1）的条件下，求的度数； (3)若，直接写出、、的关系． 题型12 三角形中的“三线”相关综合运算 【典例】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏无锡·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，、分别是的高线和中线．若的面积为12，，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（） A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线 B．三角形的高就是顶点到对边的距离 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的三条中线必交于一点 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，人字梯支架，的长度都是2.2米（连接处的长度忽略不计），B、C两点间的距离可能是（    ） A．6米 B．5.5米 C．5米 D．4米 3．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知三角形两边长分别是3和5，若第三边长是偶数，则最短是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2025·河北邯郸·二模）如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接 甲：能够比较与的大小；乙：能够比较与的长短。下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的说法都正确 B．甲、乙的说法都不正确 C．甲的说法正确，乙的说法不正确 D．甲的说法不正确，乙的说法正确 5．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图在中，是的高．若为内角的平分线．当，，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________．    8．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，，，则的面积为_______． 9．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为 ． 10．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．(1)画出中边上的高；(2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______．(4)，直接写出______． 11．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，．(1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 【强化训练】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，将三角形纸片按下列方式折叠，所得为中线的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，为边上的中线，于点E，于点F， ，则（   ） A． B．3 C．2 D． 4．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为边上的高，，，则 ． 7．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为 ． 8．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高；(2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出．(4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 9．（25-26八年级上·河北衡水·期中）龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． (1)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 10．（25-26八年级上·福建厦门·期中）综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心 材料准备：厚度均匀的三角形薄板、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 实践操作：如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究，请你帮助他们解决问题：          (1)根据实践操作，小组成员在三角形薄板上画出中线，请你在图②中作出三角形薄板的重心O（尺规作图，不写作法，保留痕迹）； (2)（ⅰ）我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验可再次验证这一事实；如图③，在中，分别是的三条中线，点O是的重心，可以得到________； （ⅱ）小景通过测量发现三角形重心到顶点的距离和到对边中点的距离存在特殊的数量关系，结合①中的结论，试猜想线段和的数量关系，并用你所学的数学知识进行证明． 23 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形中的线段与角 1.三角形三边关系和大边对大角及其应用； 2.三角形的高、中线、角平分线的概念和性质； 3.区分三角形的高、中线、角平分线的性质，并能灵活运用； 4.通过观察、操作、推理等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。 1、三角形的三边关系：由两点之间线段最短可知，三角形的任意两边之和 大于 第三边；任意两边之差 小于 第三边。这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差＜第三边＜两边之和建立不等式。 相关知识复习：（1）三角形的内角和180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 2、三角形的边角关系：大边对大角，大角对大边（新增内容） 在同一个三角形中，较大的边所对的 角 也比 较大 ，较大的角所对的边也比较大。 3、三角形中线的定义： 在三角形中，连接一个顶点与它的 对边中点 的线段叫做三角形的中线。如图，AM是△ABC的中线。 4、三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 中点 BM = CM＝ 1/2 BC。 ②中线平分三角形的 面积 。即： ③中线分三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有 3 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 重心 。 5、三角形角平分线的定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的 线段 是三角形的角平分线。如图，AD是△ABC的角平分线。 6、三角形角平分线的性质： ①AD是三角形的角平分线∠1 = ∠2。 ②三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比。即 。（利用角平分线的性质证明） ③三角形有 3 条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的 内心 。 7、三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点 与 垂足 之间的线段是三角形的高线。如图，BD是△ABC的高线BD⊥AC。 8、三角形高线的性质： 1. 三角形的垂心：三角形有 3 条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的 垂心 。 2. 高线与垂心的位置与三角形形状的关系： 锐角三角形的三条高都在 三角形内部 ，垂心在 三角形内部 。 直角三角形有两条高是 三角形的边 ，垂心在 三角形的直角顶点上 。 钝角三角形有两条高在 三角形外 ，垂心在 三角形外 。 题型01 三角形的边角关系 【典例】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中，，______________________（___________） （对顶角相等），_____________________， ，______________________，（___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；；；在三角形中，大角对大边 【详解】证明：在中，，（在三角形中，大边对大角）， （对顶角相等），， ，，（在三角形中，大角对大边）． 【变式1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：在中，∵，边的对角为，边的对角为， ∴，即 ．故选A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【详解】解：∵，∴．故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，∴， 在中，，∴，∴，故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·山东·校考期中）折叠可以解决很多问题．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，那么不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢? 【问题情境】如图1，在中，，怎样判断与的大小关系呢? 解答：将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D． 由折叠可得．又，； 结论：在三角形中，大边对大角；反之，大角对大边． （1）若，，求的度数；（2）若，判断，与之间的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）；（2），理由见解析； 【详解】解：（1）∵在中，，，∴， ∵将沿折叠，点C落在上，点C的对应点为，如图1所示：∴， ∵，∴，∴； （2），与之间的数量关系是：，理由如下： 将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D，如图2所示： 根据折叠的性质得：，，，∵，∴， 又∵，∴， ∴，∴，∴，∴； 题型02 确定三角形的条件 【典例】（2026·江苏连云港·二模）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，6 C．5，4，10 D．6，2，3 【答案】B 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； B．∵，∴能构成三角形，符合题意； C．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； D．∵，∴不能构成三角形，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，2 ，3 C．1，4，7 D．2，3，4 【答案】D 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形．B、∵，∴不能组成三角形． C、∵，∴不能组成三角形．D、∵，∴能组成三角形．故选：D． 【变式2】（2025·广东广州·二模）下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11 【答案】C 【详解】A、3，4，7，∵，∴3，4，7的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； B、6，8，15，∵，∴6，8，15的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； C、5，12，13，∵，∴5，12，13的三根小木棒首尾顺次相接，能摆成三角形； D、5，5，11，∵，∴5，5，11的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形．故选：C． 【变式3】（2025·河北衡水·模拟预测）将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由，此选项不符合题意；B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项不符合题意；D、由，此选项符合题意；故选：D． 题型02 求三角形第三边的取值范围 【典例】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）等腰三角形的周长为16厘米，腰长为厘米，底边长为厘米，其中的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：依题意， 根据三边关系可得解得： 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如果一个三角形的两边长为3和6，那么第三边的长有可能是（   ） A．3 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴，即， ∵选项中只有7在这个范围内，∴故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的两边长为4和9，则第三边长不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：设第三边长为∵三角形两边长为4和9 ∴根据三角形三边关系，得 即 ∵选项中只有5不在这个范围内∴第三边长不可能是5，故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则_____ ． 【答案】9 【详解】解：∵，∴，，∴，， 根据三角形三边关系，有，即， ∵为奇数，∴．故答案为：9． 【变式4】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围；(2)化简． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，，即； （2）解：的三边长为，， 原式． 题型04 三角形的三边关系的实际运用 【典例】（2026·福建南平·二模）一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【详解】解：①选30厘米、50厘米、60厘米， ∵，∴选30厘米、50厘米、60厘米能钉成一个三角木架，符合题意； ②选30厘米、50厘米、90厘米， ∵，∴选30厘米、50厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ③选30厘米、60厘米、90厘米， ∵，∴选30厘米、60厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ④选50厘米、60厘米、90厘米， ∵，∴选50厘米、60厘米、90厘米能钉成一个三角木架，符合题意； 综上所述，木工的选法有2种． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期中）一木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择（   ）的木条合适． A．3cm B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设三角形框架的第三边长为x，根据题意，可得 ，即， 故选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意．故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：． 【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ． 【答案】直接应用：见解析；深化应用：见解析；拓展应用： 【详解】解：[直接应用]：由三角形三边关系得，， ∴，即； [深化应用]：如图，延长交于点D， ∵①，②， ∴得， ∴，即； [拓展应用]：在中，， 同理，，， 得，， ∴,得， ∵点是内的任意一点，当点无限接近三角形的某一顶点时，就无限接近三角形的周长，但始终小于三角形的周长， ∴，∴，故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）【阅读材料】在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用）如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法）如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升）如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． (4)（拓展创新）如图4，是内任意一点．我们定义比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．利用第二问的结论或方法，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)(2)见解析(3)见解析(4) 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系可得，， ∴，∴，故答案为：； （2）证明：如图，延长交于点， 在中，，，∴， 在中，，∴， ∴即； （3）证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，，在中，，在中，， ∴， ∴，即； （4）解：由（2）得，，，， ∴，∴，即； 在中，；在中，；在中，； ∴，∴，即； 综上，，故答案为：． 题型05 中线平分三角形的面积 【典例】（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，．若的面积为18，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【详解】解：由中线性质可得：， ，， ．故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，点F是的中点， ∴的底是，的底是，即，而高相等，∴， ∵E是的中点，∴，∴，∴， ，∴，即阴影部分的面积为．故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接、、； ，，，， ，同理可得，， ， ；故选：B 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ． 【答案】3 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线，， 是的中线，，， 于点，， 即，解得：，故答案为：3． 【变式4】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点， ，，，， ，， ，， ，，同理可得：， ，同理可得：， 依此类推：． 故选：D． 题型06 中线中的周长差与边的差 【典例】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，的周长为，是边上的中线，已知，，则的长为_____． 【答案】5 【详解】解：∵是边上的中线，∴，即， ∵的周长为，∴， ∴．故答案为:5． 【变式1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 【答案】 【详解】解：∵是的中线，∴， ∴的周长的周长，故答案为：． 【变式2】（2025·广东·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解：的周长为，∴， ∵是边上的中线，∴，则，∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为，故选：A ． 【变式3】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，，分别是的高和中线． (1)若，，求高的长；(2)若，，求与的周长之差． 【答案】(1)4(2)1 【详解】（1），， ，解得，高的长为4． （2）的中线是，， 与的周长之差为：． 【变式4】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，．(1)求，的长；(2)求的长；(3)直接写出的周长． 【答案】(1)，(2)(3)的周长为30 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线，∴点分别为的中点． ∵，，∴，． （2）解：∵的周长比的周长长2， ∴，由（1）得，∴， （3）解： 由（1）（2）得，，，∴的周长为：． 题型07 重心的相关问题 【典例】（25-26八年级上·福建福州·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态． 【提出问题】探究的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】任务1：若的面积为6，求的面积．任务2：求的值． 【答案】任务1：；任务2： 【详解】解：任务1：以点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点．∴，． ∴．∴． 任务2：由题意可知．又．∴． ∵与同高，∴，即， ． 【变式1】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（   ）    A．三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B．三角形匀质薄板三边中线的交点 C．三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D．三角形匀质薄板三边上高的交点 【答案】B 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点．故选：B． 【变式2】30．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点______； 【答案】D 【详解】解：如下图，则有，由网格可知，∴，分别是，的中点， ∴、均为的中线，∴点D是的重心．故答案为：D． 【变式3】（24-25八年级下·湖北·阶段练习）如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵F是的重心，∴ ∴，∴；故选：A． 【变式4】（25-26八年级上·北京海淀·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】教材P24页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】（1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的而积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得:___________ 【拓展应用】（4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E，若，，，直接利用上面的结论，求的面积． 【答案】（1），，；（2），，；（3），；（4）48 【详解】解：（1）在中，由于点是边中点，那么与的面积相等， 同理可得与的面积相等；与的面积相等，故答案为：，，； （2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等， 故答案为：，，； （3）由的面积是的面积的2倍，可得；同理可得：， 故答案为：，； （4）由上面的结论可知，， ∵，，，， ∵，∴的面积为． 题型8画三角形的高线 【典例】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高；(2)过点作直线的垂线，垂足为；(3)点到直线的距离是线段_______的长度；(4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)；(4)，； 【详解】（1）解：如下图所示，线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度，故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离，故答案为：，； 【变式1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意；B．是任何边上的高，故符合题意； C．是任何边上的高，故不符合题意；D．不是任何边上的高，故不符合题意；故选B． 【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 纵观各图形，D选项符合高线的定义，故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高；(2)过点画的垂线，垂足为；(3)过点画的平行线，交于点；(4)点到直线的距离是线段___________的长度． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4) 【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于D，则即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：∵，∴，∴点到直线的距离是线段的长度． 题型09 与高线相关的计算 【典例】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：线段，分别是的边，上的高，，，， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等腰三角形，，，边上的高＝______．若点是底边边上的任意一点，于点，于点．则______． 【答案】 4 4 【详解】解：∵，，∴边上的高 连接，如图所示：由图可得：， 又∵，，∴， ∵，∴， 即，解得：cm，故答案为：4；4 【变式2】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，，，为边上的高，平分，交于点，交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∵平分，， ∵为边上的高，，，，故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【详解】（1）解：，，； （2）解：，，，； （3）解：，，， ，， 又，，即． 【变式4】（2023·宁夏中卫·三模）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则，∵，∴． 【性质应用】(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝__________，＝_________；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵是等高三角形，∴；故答案为：； （2）解：∵，，∴，∴； ∵，∴，∴；故答案为：； （3）解：∵，，∴，∴； ∵，∴，∴； 题型10 与角平分线相关的计算 【典例】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点在内部，且到三边的距离相等， 平分，平分，，， ，， ，，故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：是的角平分线，，， 是的角平分线，，故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于若，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【详解】解：如图，连接，，， ，， 是的平分线，是的平分线， ，，， ，故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 【答案】 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线，∴，， 又∵，，∴，∴， ∵，∴；同理可得，……∴，∴，故答案为：； 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则 ， ． 【答案】 【详解】解：，， ，，， 平分，平分，，， ，， ，，，， 同理可得：，， ，， ，，， 归纳类推得：，其中为正整数， ∴，故答案为：；． 题型11 三角形中的“三线”相关角度运算 【典例】（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：，平分，； ，，， ，． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，AD平分交BC于点D，AE是BC边上的高，，则的度数为 ． 【答案】9 【详解】解：∵平分交于点D，于点E，∴，， ∵∴，∴，∵，∴．故答案为：9 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为的平分线，为边上的高．若，，则 度． 【答案】20或60 【详解】解：∵为边上的高，∴， ∵，∴，分以下两种情况： 如图，当点E在点D左边时，∵，∴， ∵是平分线，∴， ∴； 如图，当点E在点D右边时，∵，∴， ∵是平分线，∴， ∴．故答案为：20或60． 【变式3】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，则的度为 ． 【答案】或 【详解】解：如图：当时， ∵是的角平分线，，∴， ∴中，； 如图∶当时，同理可得， ∵，∴， ∴．综上所述：的度数为或．故答案为：或． 【变式4】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，为边上的高．(1)若，，求的度数；(2)在（1）的条件下，求的度数； (3)若，直接写出、、的关系． 【答案】(1)(2)；(3)，理由见解析 【详解】（1）解：在中，，，； 又是的平分线，； （2）解：是边上的高，， 在中，，，， 由（1）知，，，即； （3）解：，理由如下： 且是的平分线，， ，． 题型12 三角形中的“三线”相关综合运算 【典例】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是的中线，是的高，， 是的角平分线，，故、、都正确，不正确，故选：． 【变式1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是的高，即,所以，故A不符合题意； B、是的角平分线，即平分,所以，故B不符合题意； C、是的中线,即是中点，所以，故C不符合题意； D、无法由的高、角平分线、中线得出，故D符合题意．故选：D． 【变式2】（2025·江苏无锡·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意；故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：∵是的中线，，∴， ∵是的高线，∴，即，解得，故选：B． 【变式4】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，、分别是的高线和中线．若的面积为12，，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是的中线，的面积为 12 ，， ∵是的高线，，∴，则，故选：D． 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（） A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线 B．三角形的高就是顶点到对边的距离 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的三条中线必交于一点 【答案】D 【详解】解：A、三角形的中线就是连接三角形一个顶点与它对边中点的线段，故选项不符合题意； B、三角形的高就是三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段，故选项不符合题意； C、三角形的角平分线是线段，故选项不符合题意； D、三角形的三条中线必交于一点，说法正确，故选项符合题意；故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，人字梯支架，的长度都是2.2米（连接处的长度忽略不计），B、C两点间的距离可能是（    ） A．6米 B．5.5米 C．5米 D．4米 【答案】D 【详解】解：∵，，∴，即． ∴．∴B、C两点间的距离可能是．故选：D． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知三角形两边长分别是3和5，若第三边长是偶数，则最短是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：设三角形的第三边长为， ∵三角形两边长分别是3和5，∴，即， ∵第三边长是偶数，∴最短是，故选：B． 4．（2025·河北邯郸·二模）如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接 甲：能够比较与的大小；乙：能够比较与的长短。下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的说法都正确 B．甲、乙的说法都不正确 C．甲的说法正确，乙的说法不正确 D．甲的说法不正确，乙的说法正确 【答案】A 【详解】解：根据折叠可得， ，根据折叠可得，， 在中，，即，∴甲、乙的说法都正确，故选：A． 5．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是边上的中线，∴， ∵的周长比的周长多，∴， ∵，∴，故选：D． 6．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图在中，是的高．若为内角的平分线．当，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∵是的角平分线，∴， ∵是的高，∴，∵，∴， ∴．故选：B． 7．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________．    【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：这种设计应用了一个重要的数学原理是三角形具有稳定性． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，，，则的面积为_______． 【答案】15 【详解】解：∵，，，∴， ∵是边上的中线，∴，的面积为15．故答案为：15． 9．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为 ． 【答案】6 【详解】解：∵为的中线，的面积为6，∴， ∵为的高线，∴，∵，∴，故答案为：6． 10．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．(1)画出中边上的高；(2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______．(4)，直接写出______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(4) 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：； （4）解：∵，，∴． 11．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，．(1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 【答案】(1)(2)的周长为21 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：，即，是偶数，； （2）解：的周长为13，， ，，是的中线，，， ，的周长． 【强化训练】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，将三角形纸片按下列方式折叠，所得为中线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由折叠可知，，则所得为的中线，符合题意； B、由折叠可知，，则所得不为的中线，不符合题意； C、由折叠可知，，即，则所得为的高，不符合题意； D、由折叠可知，，则所得为的角平分线，不符合题意；故选：A． 2.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【详解】解：如图，连接．∵点D是的中点，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵点D是的中点，∴．故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，为边上的中线，于点E，于点F， ，则（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】解：∵为边上的中线，∴， ∵于点E，于点F，∴， 则，∴， ∵，∴，∴，故选：A． 4．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵是的中线，∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线，∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高，∴，∴，C说法正确，不符合题意； ∵，∴，D说法错误，符合题意．故选：D． 5．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 【答案】 30 4 【详解】解：∵是的中线，∴， ∵，的周长为，∴， ∵，∴的周长为； ∵分别是、的中线，， ∴，；故答案为30；4． 6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为边上的高，，，则 ． 【答案】或 【详解】解：①如图，在的内部， ∵为边上的高，∴，∵，∴， ∴； ②如图，在的外部， ∵为边上的高，∴，∵，∴， ∴；故答案为或． 7．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵，∴，∵，∴， ∴，同理可得，，， ∴，故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高；(2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出．(4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析(2)(3)中线(4)30 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度，故答案为：； （3）解：如图，∴线段是的中线，故答案为：中线； （4）解：， ，故答案为：． 9．（25-26八年级上·河北衡水·期中）龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． (1)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 【答案】(1)兔子的路线长，乌龟的路线短，过程见解析(2)路线②和③相比，路线③更短，见解析 【详解】（1）解：补全过程如下： 在中，，∴， ∴，∴兔子的路线长，乌龟的路线短． （2）解：如图，延长交于点M，延长交于点N． 在中，，① 在中，，② 在中，∵，∴，③ ∴由①②③式得， ∴，∴， ∴路线②和③相比，路线③更短． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期中）综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心 材料准备：厚度均匀的三角形薄板、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 实践操作：如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平．数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究，请你帮助他们解决问题：          (1)根据实践操作，小组成员在三角形薄板上画出中线，请你在图②中作出三角形薄板的重心O（尺规作图，不写作法，保留痕迹）； (2)（ⅰ）我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验可再次验证这一事实；如图③，在中，分别是的三条中线，点O是的重心，可以得到________； （ⅱ）小景通过测量发现三角形重心到顶点的距离和到对边中点的距离存在特殊的数量关系，结合①中的结论，试猜想线段和的数量关系，并用你所学的数学知识进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ），证明见解析 【详解】（1）解：如图所示，点为所求； （2）解：（ⅰ）是的一条中线，是的中线， ，同理可得，，， ，，，， ，同理可得，， ∴， ∴，故答案为：； （ⅱ），证明如下： 由（ⅰ）可知，，， 的边上的高与的边上的高相同，． 35 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $